1014: テンソルのいくつかの引数たちに関するシンメトライゼーション（対称化）

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テンソルのいくつかの引数たちに関するシンメトライゼーション（対称化）の定義

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話題

About: ベクトルたちスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、フィールド（体）、フィールド（体）上方のk個のベクトルたちスペース（空間）たちおよびベクトルたちスペース（空間）に関するテンソルたちスペース（空間）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、テンソルのいくつかの引数たちに関するシンメトライゼーション（対称化）の定義を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$F$: $\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}$
$\{V_1,...,V_k,W\}$: $\subseteq \{\text{ 全ての }F\text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}$、ここで、$V_{j_1}=...=V_{j_l}:=V$、いくつかの$\{V_{j_1},...,V_{j_l}\}\subseteq \{V_1,...,V_k\}$たちに対して
$L(V_1,...,V_k:W)$: $=\text{ 当該テンソルたちスペース（空間） }$
$P_{\{j_1,...,j_l\}}$: $=(1,...,k)\text{ の、 }(j_1,...,j_l)\text{ たちだけを動かす全てのパーミュテーション（並べ替え）たちのグループ（群） }$
$\ast Sy{m}_{\{j_1,...,j_l\}}$: $:L(V_1,...,V_k:W)\to L(V_1,...,V_k:W)$
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コンディションたち:
$\mathrm{\forall }f\in L(V_1,...,V_k:W),\mathrm{\forall }(v_1,...,v_k)\in V_1\times ...\times V_k(Sy{m}_{\{j_1,...,j_l\}}(f)(v_1,...,v_k)=1/l!\sum _{\sigma \in P_{\{j_1,...,j_l\}}}f(v_{{\sigma }_1},...,v_{{\sigma }_k}))$
//

$\{V_{j_1},...,V_{j_l}\}=\{V_1,...,V_k\}$である時、$Sy{m}_{\{j_1,...,j_l\}}$は単に$Sym$とも記される。

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2: 注

$V_{j_1}=...=V_{j_l}:=V$が要求されている理由は、そうでなければ、$v_{{\sigma }_{j_m}}$（それは、$\{v_{j_1},...,v_{j_l}\}$の中にあった）を$j_m$-番目引数の中へ入れることは意味をなさないだろう。

それは$V_{j_1}=...=V_{j_l}:=V$を要求するが、別の$V_j$$V$に等しくてもよい: $V$に等しい全てのベクトルたちスペース（空間）たちに関してシンメトライゼーション（対称化）を行なう必要はない。

$Sy{m}_{\{j_1,...,j_l\}}$は本当に$L(V_1,...,V_k:W)$の中へのものであることを見よう。

各$f\in L(V_1,...,V_k:W)$に対して、$Sy{m}_{\{j_1,...,j_l\}}(f)$は明らかに$:V_1\times ...\times V_k\to F$である。

$Sy{m}_{\{j_1,...,j_l\}}(f)$のマルチリニア性を見よう: $(v_1,...,v_k)=(v_1,...,r^{\prime }{v}_j^{\prime }+r^{″}{v}_j^{″},...,v_k)$に対して、$Sy{m}_{\{j_1,...,j_l\}}(f)(...,r^{\prime }{v}_j^{\prime }+r^{″}{v}_j^{″},...)=r^{\prime }Sy{m}_{\{j_1,...,j_l\}}(f)(...,v_j^{\prime },...)+r^{″}Sy{m}_{\{j_1,...,j_l\}}(f)(...,v_j^{″},...)$？

There are 2 cases: 1) $j\notin \{j_1,...,j_l\}$; 2) $j\in \{j_1,...,j_l\}$. 2つのケースたちがある: 1) $j\notin \{j_1,...,j_l\}$; 2) $j\in \{j_1,...,j_l\}$。

$j\notin \{j_1,...,j_l\}$であるとしよう。

$Sy{m}_{\{j_1,...,j_l\}}(f)(v_1,...,v_k)=1/l!\sum _{\sigma \in P_{\{j_1,...,j_l\}}}f(v_{{\sigma }_1},...,v_{{\sigma }_k}))=1/l!\sum _{\sigma \in P_{\{j_1,...,j_l\}}}f(v_{{\sigma }_1},...,r^{\prime }{v}_j^{\prime }+r^{″}{v}_j^{″},...,v_{{\sigma }_k}))$、ここで、$r^{\prime }{v}_j^{\prime }+r^{″}{v}_j^{″}$はどの$\sigma$によっても動かされない、$=1/l!\sum _{\sigma \in P_{\{j_1,...,j_l\}}}(r^{\prime }f(v_{{\sigma }_1},...,v_j^{\prime },...,v_{{\sigma }_k}))+r^{″}f(v_{{\sigma }_1},...,v_j^{″},...,v_{{\sigma }_k})))=r^{\prime }1/l!\sum _{\sigma \in P_{\{j_1,...,j_l\}}}f(v_{{\sigma }_1},...,v_j^{\prime },...,v_{{\sigma }_k})+r^{″}1/l!\sum _{\sigma \in P_{\{j_1,...,j_l\}}}f(v_{{\sigma }_1},...,v_j^{″},...,v_{{\sigma }_k})=r^{\prime }Sy{m}_{\{j_1,...,j_l\}}(f)(...,v_j^{\prime },...)+r^{″}Sy{m}_{\{j_1,...,j_l\}}(f)(...,v_j^{″},...)$。

$j\in \{j_1,...,j_l\}$であるとしよう。

$Sy{m}_{\{j_1,...,j_l\}}(f)(v_1,...,v_k)=1/l!\sum _{\sigma \in P_{\{j_1,...,j_l\}}}f(v_{{\sigma }_1},...,v_{{\sigma }_k}))$、ここで、$v_j=r^{\prime }{v}_j^{\prime }+r^{″}{v}_j^{″}$は$j_m$-番目引数へ$v_{{\sigma }_{j_m}}$として動かされる、それが意味するのは、${\sigma }_{j_m}=j$、$=1/l!\sum _{\sigma \in P_{\{j_1,...,j_l\}}}f(v_{{\sigma }_1},...,v_{{\sigma }_{j_m}},...,v_{{\sigma }_k}))=1/l!\sum _{\sigma \in P_{\{j_1,...,j_l\}}}f(v_{{\sigma }_1},...,r^{\prime }{v}_j^{\prime }+r^{″}{v}_j^{″},...,v_{{\sigma }_k}))=1/l!\sum _{\sigma \in P_{\{j_1,...,j_l\}}}(r^{\prime }f(v_{{\sigma }_1},...,v_j^{\prime },...,v_{{\sigma }_k}))+r^{″}f(v_{{\sigma }_1},...,v_j^{″},...,v_{{\sigma }_k})))$、しかし、$v_j^{\prime }$および$v_j^{″}$は$v_{{\sigma }_{j_m}}^{\prime }$および$v_{{\sigma }_{j_m}}^{″}$として記すことができる、$=r^{\prime }1/l!\sum _{\sigma \in P_{\{j_1,...,j_l\}}}f(v_{{\sigma }_1},...,v_{{\sigma }_{j_m}}^{\prime },...,v_{{\sigma }_k}))+r^{″}1/l!\sum _{\sigma \in P_{\{j_1,...,j_l\}}}f(v_{{\sigma }_1},...,v_{{\sigma }_{j_m}}^{″},...,v_{{\sigma }_k})))=r^{\prime }Sy{m}_{\{j_1,...,j_l\}}(f)(...,v_j^{\prime },...)+r^{″}Sy{m}_{\{j_1,...,j_l\}}(f)(...,v_j^{″},...)$。

したがって、はい、$Sy{m}_{\{j_1,...,j_l\}}(f)$は本当にマルチリニアであり、$Sy{m}_{\{j_1,...,j_l\}}(f)\in L(V_1,...,V_k:W)$。

$Sy{m}_{\{j_1,...,j_l\}}(f)$は$\{j_1,...,j_l\}$引数たちに関してシンメトリック（対称）であることをみよう、それが、$Sy{m}_{\{j_1,...,j_l\}}$が"シンメトライゼーション（対称化）"と呼ばれている理由である。

${\sigma }^{\prime }\in P_{\{j_1,...,j_l\}}$は任意のものであるとしよう。見る必要のあることは、$Sy{m}_{\{j_1,...,j_l\}}(f)(v_{{\sigma }_1^{\prime }},...,v_{{\sigma }_k^{\prime }})=Sy{m}_{\{j_1,...,j_l\}}(f)(v_1,...,v_k)$である。

$Sy{m}_{\{j_1,...,j_l\}}(f)(v_{{\sigma }_1^{\prime }},...,v_{{\sigma }_k^{\prime }})=1/l!\sum _{\sigma \in P_{\{j_1,...,j_l\}}}f(v_{(\sigma \circ {\sigma }^{\prime }{)}_1},...,v_{(\sigma \circ {\sigma }^{\prime }{)}_k}))$、しかし、任意のグループ（群）に対して、任意の固定された要素による左からまたは右からのマルチプリケーション（積）マップ（写像）はバイジェクション（全単射）であるという命題によって、$\sigma \circ {\sigma }^{\prime }$は$P_{\{j_1,...,j_l\}}$の各要素を一度だけ訪問する、したがって、$=1/l!\sum _{\sigma \circ {\sigma }^{\prime }\in P_{\{j_1,...,j_l\}}}f(v_{(\sigma \circ {\sigma }^{\prime }{)}_1},...,v_{(\sigma \circ {\sigma }^{\prime }{)}_k}))=Sy{m}_{\{j_1,...,j_l\}}(f)(v_1,...,v_k)$。

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参考資料

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