リニアマップ（線形写像）の定義
話題
About: モジュール（加群）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、%リング（環）名%モジュール（加群）の定義を知っている。
- 読者は、マップ（写像）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、リニアマップ（線形写像）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( R\): \(\in \{\text{ 全てのリング（環）たち }\}\)
\( M_1\): \(\in \{\text{ 全ての } R \text{ モジュール（加群）たち }\}\)
\( M_2\): \(\in \{\text{ 全ての } R \text{ モジュール（加群）たち }\}\)
\(*f\): \(: M_1 \to M_2\)
//
コンディションたち:
\(\forall r_1, r_2 \in R, \forall m_1, m_2 \in M_1 (f (r_1 m_1 + r_2 m_2) = r_1 f (m_1) + r_2 f (m_2))\).
//
2: 注
\(M_1\)と\(M_2\)のリング（環）たちは同じでなければならない、\(r_1 f (m_1) + r_2 f (m_2)\)が意味をなすために; \(M_2\)のリング（環）は\(M_1\)のそれのスーパーセットでもよいという議論もあるかもしれないが、そのケースを含める即座の必要性を私たちは見ない。例えば、コンプレックスナンバー（複素数）たちフィールド（体）（1種のリング（環））は厳密にはリアルナンバー（実数）たちフィールド（体）（1種のリング（環））のスーパーセットではない（\(1 + 0 i \in \mathbb{C}\)と\(1 \in \mathbb{R}\)は厳密には同じでない、標準の定義たちによると: 直感的に言うと、\((1, 0)\)と\(1\)は同じでない）、\(\mathbb{R}\)から\(\mathbb{C}\)の中へのカノニカル（正典）マップ（写像）はあるものの。
\(0\)要素は不可避に\(0\)要素へマップされる、なぜなら、\(f (0) = f (0 m) = 0 f (m) = 0\)、任意の\(m \in M_1\)に対して。
任意のリニアマップ（線形写像）はモジュール（加群）ホモモーフィズム（準同形写像）に他ならない。
