517: リニアマップ（線形写像）

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リニアマップ（線形写像）の定義

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話題

About: モジュール（加群）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、%リング（環）名%モジュール（加群）の定義を知っている。
• 読者は、マップ（写像）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、リニアマップ（線形写像）の定義を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$R$: $\in \{\text{ 全てのリング（環）たち }\}$
$M_1$: $\in \{\text{ 全ての }R\text{ モジュール（加群）たち }\}$
$M_2$: $\in \{\text{ 全ての }R\text{ モジュール（加群）たち }\}$
$\ast f$: $:M_1\to M_2$
//

コンディションたち:
$\mathrm{\forall }{r}_1,r_2\in R,\mathrm{\forall }{m}_1,m_2\in M_1(f(r_1{m}_1+r_2{m}_2)=r_{1}f(m_1)+r_{2}f(m_2))$.
//

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2: 注

$M_1$と$M_2$のリング（環）たちは同じでなければならない、$r_{1}f(m_1)+r_{2}f(m_2)$が意味をなすために; $M_2$のリング（環）は$M_1$のそれのスーパーセットでもよいという議論もあるかもしれないが、そのケースを含める即座の必要性を私たちは見ない。例えば、コンプレックスナンバー（複素数）たちフィールド（体）（1種のリング（環））は厳密にはリアルナンバー（実数）たちフィールド（体）（1種のリング（環））のスーパーセットではない（$1+0i\in \mathbb{C}$と$1\in \mathbb{R}$は厳密には同じでない、標準の定義たちによると: 直感的に言うと、$(1,0)$と$1$は同じでない）、$\mathbb{R}$から$\mathbb{C}$の中へのカノニカル（正典）マップ（写像）はあるものの。

$0$要素は不可避に$0$要素へマップされる、なぜなら、$f(0)=f(0m)=0f(m)=0$、任意の$m\in M_1$に対して。

任意のリニアマップ（線形写像）はモジュール（加群）ホモモーフィズム（準同形写像）に他ならない。

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参考資料

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