リニア（線形）マップ（写像）の定義
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、%フィールド（体）名%ベクトルたちスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、マップ（写像）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、リニア（線形）マップ（写像）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( F\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
\( V_1\): \(\in \{F\text{ 上方の全てのベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\( V_2\): \(\in \{F\text{ 上方の全てのベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(*f\): \(: V_1 \to V_2\)
//
コンディションたち:
\(\forall r_1, r_2 \in F, \forall v_1, v_2 \in V_1 (f (r_1 v_1 + r_2 v_2) = r_1 f (v_1) + r_2 f (v_2))\).
//
2: 自然言語記述
任意のフィールド（体）\(F\)、\(F\)上方の任意のベクトルたちスペース（空間）たち\(V_1, V_2\)に対して、以下を満たす任意のマップ（写像）\(f: V_1 \to V_2\)、つまり、任意の\(r_1, r_2 \in F\)および任意の\(v_1, v_2 \in V_1\)に対して、\(f (r_1 v_1 + r_2 v_2) = r_1 f (v_1) + r_2 f (v_2)\)
3: 注
\(V_1\)と\(V_2\)のフィールド（体）たちは同一でなければならない、\(r_1 f (v_1) + r_2 f (v_2)\)が意味をなすためには; \(V_2\)のフィールド（体）は\(V_1\)のそれのあるスーパセットでもよいという議論があるかもしれないが、そのケースを含む直近の必要性を私たちは見ない。例えば、コンプレックスナンバー（複素数）たちフィールド（体）は厳密にリアルナンバー（実数）たちフィールド（体）のスーパセットというわけではない（\(1 + 0 i \in \mathbb{C}\)と\(1 \in \mathbb{R}\)は厳密に同一ではない、スタンダードな定義たちによると: 直感的に言うと、\((1, 0)\)と\(1\)は同一ではない）、\(\mathbb{R}\)から\(\mathbb{C}\)の中へのカノニカル（自然な）マップ（写像）はあるものの。
\(0\)ベクトルは不可避に\(0\)ベクトルにマップされる、なぜなら、任意の\(v \in V_1\)に対して、\(f (0) = f (0 v) = 0 f (v) = 0\)。
任意のリニア（線形）マップ（写像）は、'ベクトルたちスペース（空間）たち'ホモモーフィズム（準同形写像）に他ならない。
