テンソルのいくつかの引数たちに関するアンチシンメトライゼーション（反対称化）の定義
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、テンソルのいくつかの引数たちに関するアンチシンメトライゼーション（反対称化）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( F\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
\( \{V_1, ..., V_k, W\}\): \(\subseteq \{\text{ 全ての } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)、ここで、\(V_{j_1} = ... = V_{j_l} := V\)、いくつかの\(\{V_{j_1}, ..., V_{j_l}\} \subseteq \{V_1, ..., V_k\}\)たちに対して
\( L (V_1, ..., V_k: W)\): \(= \text{ 当該テンソルたちスペース（空間） }\)
\(P_{\{j_1, ..., j_l\}}\): \(= (1, ..., k) \text{ の、 } (j_1, ..., j_l) \text{ たちだけを動かす全てのパーミュテーション（並べ替え）たちのグループ（群） } \)
\(*Asym_{\{j_1, ..., j_l\}}\): \(: L (V_1, ..., V_k: W) \to L (V_1, ..., V_k: W)\)
//
コンディションたち:
\(\forall f \in L (V_1, ..., V_k: W), \forall (v_1, ..., v_k) \in V_1 \times ... \times V_k (Asym_{\{j_1, ..., j_l\}} (f) (v_1, ..., v_k) = 1 / l! \sum_{\sigma \in P_{\{j_1, ..., j_l\}}} sgn \sigma f (v_{\sigma_1}, ..., v_{\sigma_k}))\)
//
2: 注
\(V_{j_1} = ... = V_{j_l} := V\)が要求されている理由は、そうでなければ、\(v_{\sigma_{j_m}}\)（それは、\(\{v_{j_1}, ..., v_{j_l}\}\)の中にあった）を\(j_m\)-番目引数の中へ入れることは意味をなさないだろう。
それは\(V_{j_1} = ... = V_{j_l} := V\)を要求するが、別の\(V_j\)\(V\)に等しくてもよい: \(V\)に等しい全てのベクトルたちスペース（空間）たちに関してシンメトライゼーション（対称化）を行なう必要はない。
\(Asym_{\{j_1, ..., j_l\}}\)は本当に\(L (V_1, ..., V_k: W)\)の中へのものであることを見よう。
各\(f \in L (V_1, ..., V_k: W)\)に対して、\(Asym_{\{j_1, ..., j_l\}} (f)\)は明らかに\(: V_1 \times ... \times V_k \to F\)である。
\(Asym_{\{j_1, ..., j_l\}} (f)\)のマルチリニア性を見よう: \((v_1, ..., v_k) = (v_1, ..., r' v'_j + r'' v''_j, ..., v_k)\)に対して、\(Asym_{\{j_1, ..., j_l\}} (f) (..., r' v'_j + r'' v''_j, ...) = r' Asym_{\{j_1, ..., j_l\}} (f) (..., v'_j, ...) + r'' Asym_{\{j_1, ..., j_l\}} (f) (..., v''_j, ...)\)？
2つのケースたちがある: 1) \(j \notin \{j_1, ..., j_l\}\); 2) \(j \in \{j_1, ..., j_l\}\)。
\(j \notin \{j_1, ..., j_l\}\)であるとしよう。
\(Asym_{\{j_1, ..., j_l\}} (f) (v_1, ..., v_k) = 1 / l! \sum_{\sigma \in P_{\{j_1, ..., j_l\}}} sgn \sigma f (v_{\sigma_1}, ..., v_{\sigma_k})) = 1 / l! \sum_{\sigma \in P_{\{j_1, ..., j_l\}}} sgn \sigma f (v_{\sigma_1}, ..., r' v'_j + r'' v''_j, ..., v_{\sigma_k}))\)、ここで、\(r' v'_j + r'' v''_j\)はどの\(\sigma\)によっても動かされない、\(= 1 / l! \sum_{\sigma \in P_{\{j_1, ..., j_l\}}} sgn \sigma (r' f (v_{\sigma_1}, ..., v'_j, ..., v_{\sigma_k})) + r'' f (v_{\sigma_1}, ..., v''_j, ..., v_{\sigma_k}))) = r' 1 / l! \sum_{\sigma \in P_{\{j_1, ..., j_l\}}} sgn \sigma f (v_{\sigma_1}, ..., v'_j, ..., v_{\sigma_k}) + r'' 1 / l! \sum_{\sigma \in P_{\{j_1, ..., j_l\}}} sgn \sigma f (v_{\sigma_1}, ..., v''_j, ..., v_{\sigma_k}) = r' Asym_{\{j_1, ..., j_l\}} (f) (..., v'_j, ...) + r'' Asym_{\{j_1, ..., j_l\}} (f) (..., v''_j, ...)\)。
\(j \in \{j_1, ..., j_l\}\)であるとしよう。
\(Asym_{\{j_1, ..., j_l\}} (f) (v_1, ..., v_k) = 1 / l! \sum_{\sigma \in P_{\{j_1, ..., j_l\}}} sgn \sigma f (v_{\sigma_1}, ..., v_{\sigma_k}))\)、ここで、\(v_j = r' v'_j + r'' v''_j\)は\(j_m\)-番目引数へ\(v_{\sigma_{j_m}}\)として動かされる、それが意味するのは、\(\sigma_{j_m} = j\)、\(= 1 / l! \sum_{\sigma \in P_{\{j_1, ..., j_l\}}} sgn \sigma f (v_{\sigma_1}, ..., v_{\sigma_{j_m}}, ..., v_{\sigma_k})) = 1 / l! \sum_{\sigma \in P_{\{j_1, ..., j_l\}}} sgn \sigma f (v_{\sigma_1}, ..., r' v'_j + r'' v''_j, ..., v_{\sigma_k})) = 1 / l! \sum_{\sigma \in P_{\{j_1, ..., j_l\}}} sgn \sigma (r' f (v_{\sigma_1}, ..., v'_j, ..., v_{\sigma_k})) + r'' f (v_{\sigma_1}, ..., v''_j, ..., v_{\sigma_k})))\)、しかし、\(v'_j\)および\(v''_j\)は\(v'_{\sigma_{j_m}}\)および\(v''_{\sigma_{j_m}}\)として記すことができる、\(= r' 1 / l! \sum_{\sigma \in P_{\{j_1, ..., j_l\}}} sgn \sigma f (v_{\sigma_1}, ..., v'_{\sigma_{j_m}}, ..., v_{\sigma_k})) + r'' 1 / l! \sum_{\sigma \in P_{\{j_1, ..., j_l\}}} sgn \sigma f (v_{\sigma_1}, ..., v''_{\sigma_{j_m}}, ..., v_{\sigma_k}))) = r' Asym_{\{j_1, ..., j_l\}} (f) (..., v'_j, ...) + r'' Asym_{\{j_1, ..., j_l\}} (f) (..., v''_j, ...)\)。
したがって、はい、\(Asym_{\{j_1, ..., j_l\}} (f)\)は本当にマルチリニアであり、\(Asym_{\{j_1, ..., j_l\}} (f) \in L (V_1, ..., V_k: W)\)。
\(Asym_{\{j_1, ..., j_l\}} (f)\)は\(\{j_1, ..., j_l\}\)引数たちに関してシンメトリック（対称）であることをみよう、それが、\(Asym_{\{j_1, ..., j_l\}}\)が"アンチシンメトライゼーション（反対称化）"と呼ばれている理由である。
\(\sigma' \in P_{\{j_1, ..., j_l\}}\)は任意のものであるとしよう。見る必要のあることは、\(Asym_{\{j_1, ..., j_l\}} (f) (v_{\sigma'_1}, ..., v_{\sigma'_k}) = sgn \sigma' Asym_{\{j_1, ..., j_l\}} (f) (v_1, ..., v_k)\)である。
\(Asym_{\{j_1, ..., j_l\}} (f) (v_{\sigma'_1}, ..., v_{\sigma'_k}) = sgn \sigma' 1 / l! \sum_{\sigma \in P_{\{j_1, ..., j_l\}}} sgn \sigma sgn \sigma' f (v_{(\sigma \circ \sigma')_1}, ..., v_{(\sigma \circ \sigma')_k})) = sgn \sigma' 1 / l! \sum_{\sigma \in P_{\{j_1, ..., j_l\}}} sgn (\sigma \circ \sigma') f (v_{(\sigma \circ \sigma')_1}, ..., v_{(\sigma \circ \sigma')_k}))\)、しかし、任意のグループ（群）に対して、任意の固定された要素による左からまたは右からのマルチプリケーション（積）マップ（写像）はバイジェクション（全単射）であるという命題によって、\(\sigma \circ \sigma'\)は\(P_{\{j_1, ..., j_l\}}\)の各要素を一度だけ訪問する、したがって、\(= sgn \sigma' 1 / l! \sum_{\sigma \circ \sigma' \in P_{\{j_1, ..., j_l\}}} sgn (\sigma \circ \sigma') f (v_{(\sigma \circ \sigma')_1}, ..., v_{(\sigma \circ \sigma')_k})) = sgn \sigma' Asym_{\{j_1, ..., j_l\}} (f) (v_1, ..., v_k)\)。
