1030: C∞マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、およびポイントにおけるタンジェント（接）ベクトルたちスペース（空間）に対して、チャートたちに関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）たちのトランジション（遷移）はこれである

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$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、およびポイントにおけるタンジェント（接）ベクトルたちスペース（空間）に対して、チャートたちに関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）たちのトランジション（遷移）はこれであることの記述/証明

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話題

About: $C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上のポイントにおけるタンジェント（接）ベクトルたちスペース（空間）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、および任意のポイントにおけるタンジェント（接）ベクトルたちスペース（空間）に対して、任意のチャートたちに関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）たちのトランジション（遷移）はこれであるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$M$: $\in \{\text{ 全ての }d\text{ -ディメンショナル（次元） }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}$
$m$: $\in M$
$T_{m}M$: $=m\text{ におけるタンジェント（接）ベクトルたちスペース（空間） }$
$(U_m\subseteq M,{\varphi }_m)$: $\in \{M\text{ に対する }m\text{ 周りの全てのチャートたち }\}$
$(U_m^{\prime }\subseteq M,{\varphi }_m^{\prime })$: $\in \{M\text{ に対する }m\text{ 周りの全てのチャートたち }\}$
$B$: $=T_{m}M\text{ に対する }$ $(U_m\subseteq M,{\varphi }_m)$に関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）、$=\{\partial /\partial x^1,...,\partial /\partial x^d\}$
$B^{\prime }$: $=T_{m}M\text{ に対する }$$(U_m^{\prime }\subseteq M,{\varphi }_m^{\prime })$に関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）、$=\{\partial /\partial x^{\prime 1},...,\partial /\partial x^{\prime d}\}$
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ステートメント（言明）たち:
$\partial /\partial x^{\prime j}=\partial x^k/\partial x^{\prime j}\partial /\partial x^k$
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$x^{\prime }$のファンクション（関数）としての$x$は${\varphi }_m\circ {{\varphi }_m^{\prime }}^{-1}{|}_{{\varphi }_m^{\prime }(U_m\cap U_m^{\prime })}:{\varphi }_m^{\prime }(U_m\cap U_m^{\prime })\to {\varphi }_m(U_m\cap U_m^{\prime })$である。

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2: 証明

全体戦略: ステップ1: $\partial /\partial x^{\prime j}=M_j^k\partial /\partial x^k$とする; ステップ2: それの両辺を$x^l:U_m\cap U_m^{\prime }\to \mathbb{R},p\mapsto {{\varphi }_m(p)}^l$に作用させ、$M_j^k=\partial x^k/\partial x^{\prime j}$であることを見る。

ステップ1:

$\partial /\partial x^{\prime j}=M_j^k\partial /\partial x^k$としよう、それは可能である、なぜなら、$B$は$T_{m}M$に対するベーシス（基底）であり、$\partial /\partial x^{\prime j}\in T_{m}M$である。

ステップ2:

$x^l:U_m\cap U_m^{\prime }\to \mathbb{R},p\mapsto {{\varphi }_m(p)}^l$は$C^{\mathrm{\infty }}$ファンクション（関数）である。

$\partial /\partial x^{\prime j}(x^l)=M_j^k\partial /\partial x^k(x^l)=M_j^k{\partial }_k(x^l\circ {{\varphi }_m}^{-1})=M_j^k{\delta }_k^l=M_j^l$。したがって、$M_j^k=\partial x^k/\partial x^{\prime j}$。

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参考資料

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