\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、およびポイントにおけるタンジェント（接）ベクトルたちスペース（空間）に対して、チャートたちに関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）たちのトランジション（遷移）はこれであることの記述/証明
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、および任意のポイントにおけるタンジェント（接）ベクトルたちスペース（空間）に対して、任意のチャートたちに関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）たちのトランジション（遷移）はこれであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(M\): \(\in \{\text{ 全ての } d \text{ -ディメンショナル（次元） } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)
\(m\): \(\in M\)
\(T_mM\): \(= m \text{ におけるタンジェント（接）ベクトルたちスペース（空間） }\)
\((U_m \subseteq M, \phi_m)\): \(\in \{ M \text{ に対する } m \text{ 周りの全てのチャートたち }\}\)
\((U'_m \subseteq M, \phi'_m)\): \(\in \{ M \text{ に対する } m \text{ 周りの全てのチャートたち }\}\)
\(B\): \(= T_mM \text{ に対する }\) \((U_m \subseteq M, \phi_m)\)に関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）、\(= \{\partial / \partial x^1, ..., \partial / \partial x^d\}\)
\(B'\): \(= T_mM \text{ に対する }\)\((U'_m \subseteq M, \phi'_m)\)に関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）、\(= \{\partial / \partial x'^1, ..., \partial / \partial x'^d\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\partial / \partial x'^j = \partial x^k / \partial x'^j \partial / \partial x^k\)
//
\(x'\)のファンクション（関数）としての\(x\)は\(\phi_m \circ {\phi'_m}^{-1} \vert_{\phi'_m (U_m \cap U'_m)}: \phi'_m (U_m \cap U'_m) \to \phi_m (U_m \cap U'_m)\)である。
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(\partial / \partial x'^j = M^k_j \partial / \partial x^k\)とする; ステップ2: それの両辺を\(x^l: U_m \cap U'_m \to \mathbb{R}, p \mapsto {\phi_m (p)}^l\)に作用させ、\(M^k_j = \partial x^k / \partial x'^j\)であることを見る。
ステップ1:
\(\partial / \partial x'^j = M^k_j \partial / \partial x^k\)としよう、それは可能である、なぜなら、\(B\)は\(T_mM\)に対するベーシス（基底）であり、\(\partial / \partial x'^j \in T_mM\)である。
ステップ2:
\(x^l: U_m \cap U'_m \to \mathbb{R}, p \mapsto {\phi_m (p)}^l\)は\(C^\infty\)ファンクション（関数）である。
\(\partial / \partial x'^j (x^l) = M^k_j \partial / \partial x^k (x^l) = M^k_j \partial_k (x^l \circ {\phi_m}^{-1}) = M^k_j \delta^l_k = M^l_j\)。したがって、\(M^k_j = \partial x^k / \partial x'^j\)。
