1031: ベクトルたちスペース（空間）間において、ベーシス（基底）をベーシス（基底）の上へバイジェクティブ（全単射）にマップしマッピングをリニア（線形）に拡張するマップ（写像）は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である

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ベクトルたちスペース（空間）間において、ベーシス（基底）をベーシス（基底）の上へバイジェクティブ（全単射）にマップしマッピングをリニア（線形）に拡張するマップ（写像）は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であることの記述/証明

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話題

About: ベクトルたちスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 注
• 3: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、%フィールド（体）名%ベクトルたちスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、%カテゴリー名%アイソモーフィズム（同形写像）の定義を知っている。
• 読者は、モジュール（加群）のベーシス（基底）の定義を知っている。
• 読者は、任意のベーシス（基底）を持つ任意のモジュール（加群）に対して、任意の要素の当該ベーシス（基底）に関するコンポーネントたちセット（集合）はユニークであるという命題を認めている。
• 読者は、任意のベーシス（基底）を持つ任意のモジュール（加群）から任意のモジュール（加群）の中へ、あるリニアマップ（線形写像）を、当該ベーシス（基底）をマッピングしマッピングをリニア（線形）に拡張することによって定義できるという命題を認めている。
• 読者は、任意のベクトルたちスペース（空間）たち間の任意のバイジェクティブ（全単射）リニアマップ（線形写像）は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のベクトルたちスペース（空間）間において、任意のベーシス（基底）を任意のベーシス（基底）の上へバイジェクティブ（全単射）にマップし当該マッピングをリニア（線形）に拡張する任意のマップ（写像）は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$F$: $\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}$
$V_1$: $\in \{\text{ 全ての }F\text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}$
$V_2$: $\in \{\text{ 全ての }F\text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}$
$J$: $\in \{\text{ 全てのアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）たち }\}$
$B_1$: $=\{{b_1}_j|j\in J\}$, $\in \{V_1\text{ に対する全てのベーシス（基底）たち }\}$
$B_2$: $\in \{V_2\text{ に対する全てのベーシス（基底）たち }\}$
$f$: $:B_1\to B_2$, $\in \{\text{ 全てのバイジェクション（全単射）たち }\}$
$g$: $:V_1\to V_2,\sum _{j\in S}{v}^j{b_1}_j\mapsto \sum _{j\in S}{v}^{j}f({b_1}_j)$、ここで、$S\in \{J\text{ の全てのファイナイト（有限）サブセット（部分集合）たち }\}$
//

ステートメント（言明）たち:
$g\in \{\text{ 全ての'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）たち }\}$
//

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2: 注

$V_1$も$V_2$もファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）である必要はない。

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3: 証明

全体戦略: ステップ1: $g$はウェルデファインド（妥当に定義された）であることを見る; ステップ2: $g$はリニアマップ（線形写像）であることを見る; ステップ3: $g$はインジェクティブ（単射）であることを見る; ステップ4: $g$はサージェクティブ（全射）であることを見る; ステップ5: 本命題を結論する。

ステップ1:

$g$ウェルデファインド（妥当に定義された）であることを見よう。

各要素$v\in V_1$に対して、$v=\sum _{j\in S}{v}^j{b_1}_j$、ここで、$S$は$J$のファイナイト（有限）サブセット（部分集合）、モジュール（加群）のベーシス（基底）の定義によって。

当該デコンポジション（分解）はユニークである、任意のベーシス（基底）を持つ任意のモジュール（加群）に対して、任意の要素の当該ベーシス（基底）に関するコンポーネントたちセット（集合）はユニークであるという命題によって。

したがって、$g$は$V_1$の各要素に対して曖昧さなしに決定されている。

ステップ2:

$g$はリニアマップ（線形写像）である、任意のベーシス（基底）を持つ任意のモジュール（加群）から任意のモジュール（加群）の中へ、あるリニアマップ（線形写像）を、当該ベーシス（基底）をマッピングしマッピングをリニア（線形）に拡張することによって定義できるという命題によって: $f$はベーシス（基底）$B_1$をマッピングしており、$g$は$f$をリニア（線形）に拡張している。

ステップ3:

$g$はインジェクティブ（単射）であることを見よう。

$v,v^{\prime }\in V_1$は$v\ne v^{\prime }$を満たす任意のものたちであるとしよう。

$v=\sum _{j\in S}{v}^j{b_1}_j$および$v^{\prime }=\sum _{j\in S^{\prime }}{v}^{\prime j}{b_1}_j$。

$g(v)=\sum _{j\in S}{v}^{j}f({b_1}_j)$および$g(v^{\prime })=\sum _{j\in S^{\prime }}{v}^{\prime j}f({b_1}_j)$。

$g(v)=g(v^{\prime })$であったと仮定しよう。

$\{f({b_1}_j)|j\in S\cup S^{\prime }\}\subseteq B_2$はそれぞれ異なっていた、なぜなら、$f$はバイジェクティブ（全単射）であった。

任意のベーシス（基底）を持つ任意のモジュール（加群）に対して、任意の要素の当該ベーシス（基底）に関するコンポーネントたちセット（集合）はユニークであるという命題によって、$S=S^{\prime }$および$v^j=v^{\prime j}$、$v\ne v^{\prime }$に反する矛盾。

したがって、$g(v)\ne g(v^{\prime })$。

ステップ4:

$g$はサージェクティブ（全射）であることを見よう。

各$v_2\in V_2$に対して、$v_2=\sum _{j\in \{1,...,n\}}{v}^j{b_2}_j$、ここで、${b_2}_j\in B_2$。

$f$はバイジェクティブ（全単射）であるから、$\{f^{-1}({b_2}_1),...,f^{-1}({b_2}_n)\}=\{{b_1}_{j_1},...,{b_1}_{j_n}\}\subseteq B_1$は妥当で互いに異なる。

$v^1{b_1}_{j_1}+...+v^n{b_1}_{j_n}\in V_1$および$g(v^1{b_1}_{j_1}+...+v^n{b_1}_{j_n})=v^{1}f({b_1}_{j_1})+...+v^{n}f({b_1}_{j_n})=v^1{b_2}_1+...+v^n{b_2}_n=v_2$。

ステップ5:

したがって、$g$は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である、任意のベクトルたちスペース（空間）たち間の任意のバイジェクティブ（全単射）リニアマップ（線形写像）は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題によって。

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参考資料

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