ベクトルたちスペース（空間）間において、ベーシス（基底）をベーシス（基底）の上へバイジェクティブ（全単射）にマップしマッピングをリニア（線形）に拡張するマップ（写像）は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、%フィールド（体）名%ベクトルたちスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、%カテゴリー名%アイソモーフィズム（同形写像）の定義を知っている。
- 読者は、モジュール（加群）のベーシス（基底）の定義を知っている。
- 読者は、任意のベーシス（基底）を持つ任意のモジュール（加群）に対して、任意の要素の当該ベーシス（基底）に関するコンポーネントたちセット（集合）はユニークであるという命題を認めている。
- 読者は、任意のベーシス（基底）を持つ任意のモジュール（加群）から任意のモジュール（加群）の中へ、あるリニアマップ（線形写像）を、当該ベーシス（基底）をマッピングしマッピングをリニア（線形）に拡張することによって定義できるという命題を認めている。
- 読者は、任意のベクトルたちスペース（空間）たち間の任意のバイジェクティブ（全単射）リニアマップ（線形写像）は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のベクトルたちスペース（空間）間において、任意のベーシス（基底）を任意のベーシス（基底）の上へバイジェクティブ（全単射）にマップし当該マッピングをリニア（線形）に拡張する任意のマップ（写像）は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
\(V_1\): \(\in \{\text{ 全ての } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(V_2\): \(\in \{\text{ 全ての } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(J\): \(\in \{\text{ 全てのアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）たち }\}\)
\(B_1\): \(= \{{b_1}_j \vert j \in J\}\), \(\in \{V_1 \text{ に対する全てのベーシス（基底）たち }\}\)
\(B_2\): \(\in \{V_2 \text{ に対する全てのベーシス（基底）たち }\}\)
\(f\): \(: B_1 \to B_2\), \(\in \{\text{ 全てのバイジェクション（全単射）たち }\}\)
\(g\): \(: V_1 \to V_2, \sum_{j \in S} v^j {b_1}_j \mapsto \sum_{j \in S} v^j f ({b_1}_j)\)、ここで、\(S \in \{J \text{ の全てのファイナイト（有限）サブセット（部分集合）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(g \in \{\text{ 全ての'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）たち }\}\)
//
2: 注
\(V_1\)も\(V_2\)もファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）である必要はない。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(g\)はウェルデファインド（妥当に定義された）であることを見る; ステップ2: \(g\)はリニアマップ（線形写像）であることを見る; ステップ3: \(g\)はインジェクティブ（単射）であることを見る; ステップ4: \(g\)はサージェクティブ（全射）であることを見る; ステップ5: 本命題を結論する。
ステップ1:
\(g\)ウェルデファインド（妥当に定義された）であることを見よう。
各要素\(v \in V_1\)に対して、\(v = \sum_{j \in S} v^j {b_1}_j\)、ここで、\(S\)は\(J\)のファイナイト（有限）サブセット（部分集合）、モジュール（加群）のベーシス（基底）の定義によって。
当該デコンポジション（分解）はユニークである、任意のベーシス（基底）を持つ任意のモジュール（加群）に対して、任意の要素の当該ベーシス（基底）に関するコンポーネントたちセット（集合）はユニークであるという命題によって。
したがって、\(g\)は\(V_1\)の各要素に対して曖昧さなしに決定されている。
ステップ2:
\(g\)はリニアマップ（線形写像）である、任意のベーシス（基底）を持つ任意のモジュール（加群）から任意のモジュール（加群）の中へ、あるリニアマップ（線形写像）を、当該ベーシス（基底）をマッピングしマッピングをリニア（線形）に拡張することによって定義できるという命題によって: \(f\)はベーシス（基底）\(B_1\)をマッピングしており、\(g\)は\(f\)をリニア（線形）に拡張している。
ステップ3:
\(g\)はインジェクティブ（単射）であることを見よう。
\(v, v' \in V_1\)は\(v \neq v'\)を満たす任意のものたちであるとしよう。
\(v = \sum_{j \in S} v^j {b_1}_j\)および\(v' = \sum_{j \in S'} v'^j {b_1}_j\)。
\(g (v) = \sum_{j \in S} v^j f ({b_1}_j)\)および\(g (v') = \sum_{j \in S'} v'^j f ({b_1}_j)\)。
\(g (v) = g (v')\)であったと仮定しよう。
\(\{f ({b_1}_j) \vert j \in S \cup S'\} \subseteq B_2\)はそれぞれ異なっていた、なぜなら、\(f\)はバイジェクティブ（全単射）であった。
任意のベーシス（基底）を持つ任意のモジュール（加群）に対して、任意の要素の当該ベーシス（基底）に関するコンポーネントたちセット（集合）はユニークであるという命題によって、\(S = S'\)および\(v^j = v'^j\)、\(v \neq v'\)に反する矛盾。
したがって、\(g (v) \neq g (v')\)。
ステップ4:
\(g\)はサージェクティブ（全射）であることを見よう。
各\(v_2 \in V_2\)に対して、\(v_2 = \sum_{j \in \{1, ..., n\}} v^j {b_2}_j\)、ここで、\({b_2}_j \in B_2\)。
\(f\)はバイジェクティブ（全単射）であるから、\(\{f^{-1} ({b_2}_1), ..., f^{-1} ({b_2}_n)\} = \{{b_1}_{j_1}, ..., {b_1}_{j_n}\} \subseteq B_1\)は妥当で互いに異なる。
\(v^1 {b_1}_{j_1} + ... + v^n {b_1}_{j_n} \in V_1\)および\(g (v^1 {b_1}_{j_1} + ... + v^n {b_1}_{j_n}) = v^1 f ({b_1}_{j_1}) + ... + v^n f ({b_1}_{j_n}) = v^1 {b_2}_1 + ... + v^n {b_2}_n = v_2\)。
ステップ5:
したがって、\(g\)は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である、任意のベクトルたちスペース（空間）たち間の任意のバイジェクティブ（全単射）リニアマップ（線形写像）は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題によって。
