1029: ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）およびベクトルたちスペース（空間）エンドモーフィズム（自己準同形写像）に対して、ベーシス（基底）たちの変更に関するエンドモーフィズム（自己準同形写像）マトリックス（行列）のトランジション（遷移）はこれである

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ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）およびベクトルたちスペース（空間）エンドモーフィズム（自己準同形写像）に対して、ベーシス（基底）たちの変更に関するエンドモーフィズム（自己準同形写像）マトリックス（行列）のトランジション（遷移）はこれであることの記述/証明

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話題

About: ベクトルたちスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 注
• 3: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、%フィールド（体）名%ベクトルたちスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、ベーシス（基底）たちの任意の変更に関する任意のベクトルのコンポーネントたちのトランジション（遷移）はこれであるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）および任意のベクトルたちスペース（空間）エンドモーフィズム（自己準同形写像）に対して、ベーシス（基底）たちの任意の変更に関するエンドモーフィズム（自己準同形写像）マトリックス（行列）のトランジション（遷移）はこれであるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$F$: $\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}$
$V$: $\in \{\text{ 全ての }F\text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}$
$B$: $\in \{V\text{ に対する全てのベーシス（基底）たち }\}=\{b_s|1\le s\le dimV\}$
$B^{\prime }$: $\in \{V\text{ に対する全てのベーシス（基底）たち }\}=\{b_s^{\prime }=b_j{M}_s^j|1\le s\le dimV\}$
$f$: $:V\to V$
$N$: $=f\text{ の }B\text{ に関するマトリックス（行列）}$
$N^{\prime }$: $=f\text{ の }{B}^{\prime }\text{ に関するマトリックス（行列） }$
//

ステートメント（言明）たち:
$N=M{N}^{\prime }{M}^{-1}$
//

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2: 注

本命題に対する1つのモチベーションは、$N$をあるシンプルな$N^{\prime }$から得ることである。

例えば、$V={\mathbb{R}}^3$のユークリディアンインナープロダクト（内積）を持ったものに対して、軸$(n^1,n^2,n^3)$（それは、$B$に関してである）の周りの$\theta$ローテーション（回転）に対する$N$を得るには、$(n^1,n^2,n^3)$を$b_3^{\prime }$とする任意のオーソノーマル（正規直交）$B^{\prime }$を得ることができ、すると、$N^{\prime }$はシンプルである、なぜなら、それは$b_3^{\prime }$軸の周りのローテーション（回転）である、そして、$N$を$N^{\prime }$から得ることができる。

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3: 証明

全体戦略: ステップ1: 各$v\in V$に対して、$B$および$B^{\prime }$に関するコンポーネントたちコラム（列）ベクトルたちを$\bar{v}$および${\bar{v}}^{\prime }$とする; ステップ2: ${\overline{f(v)}}^{\prime }=N^{\prime }{\bar{v}}^{\prime }$であることを見る; ステップ3: ${\bar{v}}^{\prime }=M^{-1}\bar{v}$および${\overline{f(v)}}^{\prime }=M^{-1}\overline{f(v)}$であることを見る; ステップ4: $M^{-1}\overline{f(v)}=N^{\prime }{M}^{-1}\bar{v}$であることを見、本命題を結論する。

ステップ1:

各$v\in V$に対して、$B$および$B^{\prime }$に関するコンポーネントたちコラム（列）ベクトルたちを$\bar{v}$および${\bar{v}}^{\prime }$としよう。

ステップ2:

${\overline{f(v)}}^{\prime }=N^{\prime }{\bar{v}}^{\prime }$。

ステップ3:

${\bar{v}}^{\prime }=M^{-1}\bar{v}$および${\overline{f(v)}}^{\prime }=M^{-1}\overline{f(v)}$、任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、ベーシス（基底）たちの任意の変更に関する任意のベクトルのコンポーネントたちのトランジション（遷移）はこれであるという命題によって。

ステップ4:

したがって、$M^{-1}\overline{f(v)}=N^{\prime }{M}^{-1}\bar{v}$。

したがって、$\overline{f(v)}=M{M}^{-1}\overline{f(v)}=M{N}^{\prime }{M}^{-1}\bar{v}$, which means that $N=M{N}^{\prime }{M}^{-1}$。

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参考資料

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