ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）およびベクトルたちスペース（空間）エンドモーフィズム（自己準同形写像）に対して、ベーシス（基底）たちの変更に関するエンドモーフィズム（自己準同形写像）マトリックス（行列）のトランジション（遷移）はこれであることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）および任意のベクトルたちスペース（空間）エンドモーフィズム（自己準同形写像）に対して、ベーシス（基底）たちの任意の変更に関するエンドモーフィズム（自己準同形写像）マトリックス（行列）のトランジション（遷移）はこれであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
\(V\): \(\in \{\text{ 全ての } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(B\): \(\in \{V \text{ に対する全てのベーシス（基底）たち }\} = \{b_s \vert 1 \le s \le dim V\}\)
\(B'\): \(\in \{V \text{ に対する全てのベーシス（基底）たち }\} = \{b'_s = b_j M_s^j \vert 1 \le s \le dim V\}\)
\(f\): \(: V \to V\)
\(N\): \(= f \text{ の } B \text{ に関するマトリックス（行列）}\)
\(N'\): \(= f \text{ の } B' \text{ に関するマトリックス（行列） }\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(N = M N' M^{-1}\)
//
2: 注
本命題に対する1つのモチベーションは、\(N\)をあるシンプルな\(N'\)から得ることである。
例えば、\(V = \mathbb{R}^3\)のユークリディアンインナープロダクト（内積）を持ったものに対して、軸\((n^1, n^2, n^3)\)（それは、\(B\)に関してである）の周りの\(\theta\)ローテーション（回転）に対する\(N\)を得るには、\((n^1, n^2, n^3)\)を\(b'_3\)とする任意のオーソノーマル（正規直交）\(B'\)を得ることができ、すると、\(N'\)はシンプルである、なぜなら、それは\(b'_3\)軸の周りのローテーション（回転）である、そして、\(N\)を\(N'\)から得ることができる。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: 各\(v \in V\)に対して、\(B\)および\(B'\)に関するコンポーネントたちコラム（列）ベクトルたちを\(\overline{v}\)および\(\overline{v}'\)とする; ステップ2: \(\overline{f (v)}' = N' \overline{v}'\)であることを見る; ステップ3: \(\overline{v}' = M^{-1} \overline{v}\)および\(\overline{f (v)}' = M^{-1} \overline{f (v)}\)であることを見る; ステップ4: \(M^{-1} \overline{f (v)} = N' M^{-1} \overline{v}\)であることを見、本命題を結論する。
ステップ1:
各\(v \in V\)に対して、\(B\)および\(B'\)に関するコンポーネントたちコラム（列）ベクトルたちを\(\overline{v}\)および\(\overline{v}'\)としよう。
ステップ2:
\(\overline{f (v)}' = N' \overline{v}'\)。
ステップ3:
\(\overline{v}' = M^{-1} \overline{v}\)および\(\overline{f (v)}' = M^{-1} \overline{f (v)}\)、任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、ベーシス（基底）たちの任意の変更に関する任意のベクトルのコンポーネントたちのトランジション（遷移）はこれであるという命題によって。
ステップ4:
したがって、\(M^{-1} \overline{f (v)} = N' M^{-1} \overline{v}\)。
したがって、\(\overline{f (v)} = M M^{-1} \overline{f (v)} = M N' M^{-1} \overline{v}\), which means that \(N = M N' M^{-1}\)。
