1042: $C^\infty$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間$C^\infty$マップ（写像）および対応するチャートたちに対して、ディファレンシャルの、スタンダード（標準）ベーシス（基底）たちに関するコンポーネントたちファンクション（関数）はこれである|T.B.P.日本語版

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C^{\infty}

マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間

C^{\infty}

マップ（写像）および対応するチャートたちに対して、ディファレンシャルの、スタンダード（標準）ベーシス（基底）たちに関するコンポーネントたちファンクション（関数）はこれであることの記述/証明

話題

About: $C^{\infty}$ マニフォールド（多様体）

開始コンテキスト

読者は、バウンダリー（境界）付き $C^{\infty}$ マニフォールド（多様体）たち間 $C^{\infty}$ マップ（写像）のポイントにおけるディファレンシャルの定義を知っている。

ターゲットコンテキスト

読者は、任意の $C^{\infty}$ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間の任意の $C^{\infty}$ マップ（写像）および任意の対応するチャートたちに対して、当該マップ（写像）のディファレンシャルの、スタンダード（標準）ベーシス（基底）たちに関するコンポーネントたちファンクション（関数）はこれであるという命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

本体

1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:

M_{1}

\in {全ての d_{1} -ディメンショナル（次元） C^{\infty} マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち}

M_{2}

\in {全ての d_{2} -ディメンショナル（次元） C^{\infty} マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち}

f

: M_{1} \to M_{2}

\in {全ての C^{\infty} マップ（写像）たち}

(U_{1} \subseteq M_{1}, ϕ_{1})

\in {M_{1} に対する全てのチャートたち}

(U_{2} \subseteq M_{2}, ϕ_{2})

\in {M_{2} に対する全てのチャートたち}

, such that

f (U_{1}) \subseteq U_{2}

m

\in U_{1}

d f_{m}

: T_{m} M_{1} \to T_{f (m)} M_{2}

= 当該ディファレンシャル

{\partial / \partial x^{j} | j \in {1, . . ., d_{1}}}

= T_{m} M_{1} に対する

(U_{1} \subseteq M_{1}, ϕ_{1})

に関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）

{\partial / \partial y^{j} | j \in {1, . . ., d_{2}}}

= T_{f (m)} M_{2} に対する

(U_{2} \subseteq M_{2}, ϕ_{2})

に関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）
//

ステートメント（言明）たち:

\forall v = v^{j} \partial / \partial x^{j} \in T_{m} M_{1} (d f_{m} (v) = w^{j} \partial / \partial y^{j} 、ここで、 w^{j} = \partial {\hat{f}}^{j} / \partial x^{l} v^{l} 、ここで、 \hat{f} = ϕ_{2} \circ f \circ {ϕ_{1}}^{- 1})

//

言い換えると、

\hat{f}

は

f

の、

(U_{1} \subseteq M_{1}, ϕ_{1})

および

(U_{2} \subseteq M_{2}, ϕ_{2})

.に関するコンポーネントたちファンクション（関数）である。

2: 証明

全体戦略: ステップ1: 任意の

f^{'} \in C^{\infty} (M_{2})

に対して、

d f_{m} (v) (f^{'})

を

v (f^{'} \circ f)

として計算する; ステップ2: ステップ1の結果を

d f_{m} (v) (f^{'}) = w^{j} \partial / \partial y^{j} (f^{'})

と比較する。

ステップ1:

f^{'} \in C^{\infty} (M_{2})

は任意のものであるとしよう。

d f_{m} (v) (f^{'}) = v (f^{'} \circ f) = v^{j} \partial / \partial x^{j} (f^{'} \circ f) = v^{j} \partial_{j} (f^{'} \circ f \circ {ϕ_{1}}^{- 1})

、ここで、

f^{'} \circ f \circ {ϕ_{1}}^{- 1}

は

: ϕ_{1} (U_{1}) \subseteq R^{d_{1}} \to R

、

= v^{j} \partial_{j} ((f^{'} \circ {ϕ_{2}}^{- 1}) \circ (ϕ_{2} \circ f \circ {ϕ_{1}}^{- 1}))

、ここで、

(f^{'} \circ {ϕ_{2}}^{- 1}) \circ (ϕ_{2} \circ f \circ {ϕ_{1}}^{- 1})

は

: ϕ_{1} (U_{1}) \subseteq R^{d_{1}} \to ϕ_{2} (U_{2}) \subseteq R^{d_{2}} \to R

、そして、チェインルールを適用して、

= v^{j} \partial_{l} (f^{'} \circ {ϕ_{2}}^{- 1}) \partial_{j} (ϕ_{2} \circ f \circ {ϕ_{1}}^{- 1})^{l} = v^{j} \partial_{l} (f^{'} \circ {ϕ_{2}}^{- 1}) \partial_{j} {\hat{f}}^{l} = \partial_{j} {\hat{f}}^{l} v^{j} \partial / \partial y^{l} (f^{'}) = \partial_{l} {\hat{f}}^{j} v^{l} \partial / \partial y^{j} (f^{'})

、それは、単なるダミーインデックスたちの名称変更である。

ステップ2:

d f_{m} (v) (f^{'}) = w^{j} \partial / \partial y^{j} (f^{'})

。

したがって、それをステップ1の結果と比較して、

w^{j} \partial / \partial y^{j} (f^{'}) = \partial_{l} {\hat{f}}^{j} v^{l} \partial / \partial y^{j} (f^{'})

。

f^{'}

は恣意的であり、

{\partial / \partial y^{1}, . . ., \partial / \partial y^{d_{2}}}

はベーシス（基底）であるから、

w^{j} = \partial_{l} {\hat{f}}^{j} v^{l}

。

参考資料