\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間\(C^\infty\)マップ（写像）および対応するチャートたちに対して、ディファレンシャルの、スタンダード（標準）ベーシス（基底）たちに関するコンポーネントたちファンクション（関数）はこれであることの記述/証明
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間の任意の\(C^\infty\)マップ（写像）および任意の対応するチャートたちに対して、当該マップ（写像）のディファレンシャルの、スタンダード（標準）ベーシス（基底）たちに関するコンポーネントたちファンクション（関数）はこれであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(M_1\): \(\in \{\text{ 全ての } d_1 \text{ -ディメンショナル（次元） } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)
\(M_2\): \(\in \{\text{ 全ての } d_2 \text{ -ディメンショナル（次元） } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)
\(f\): \(: M_1 \to M_2\), \(\in \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ マップ（写像）たち }\}\)
\((U_1 \subseteq M_1, \phi_1)\): \(\in \{M_1 \text{ に対する全てのチャートたち }\}\)
\((U_2 \subseteq M_2, \phi_2)\): \(\in \{M_2 \text{ に対する全てのチャートたち }\}\), such that \(f (U_1) \subseteq U_2\)
\(m\): \(\in U_1\)
\(d f_m\): \(: T_mM_1 \to T_{f (m)}M_2\), \(= \text{ 当該ディファレンシャル }\)
\(\{\partial / \partial x^j \vert j \in \{1, ..., d_1\}\}\): \(= T_mM_1 \text{ に対する }\)\((U_1 \subseteq M_1, \phi_1)\)に関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）
\(\{\partial / \partial y^j \vert j \in \{1, ..., d_2\}\}\): \(= T_{f (m)}M_2 \text{ に対する }\)\((U_2 \subseteq M_2, \phi_2)\)に関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）
//
ステートメント（言明）たち:
\(\forall v = v^j \partial / \partial x^j \in T_mM_1 (d f_m (v) = w^j \partial / \partial y^j \text{ 、ここで、 } w^j = \partial \hat{f}^j / \partial x^l v^l \text{ 、ここで、 } \hat{f} = \phi_2 \circ f \circ {\phi_1}^{-1})\)
//
言い換えると、\(\hat{f}\)は\(f\)の、\((U_1 \subseteq M_1, \phi_1)\)および\((U_2 \subseteq M_2, \phi_2)\).に関するコンポーネントたちファンクション（関数）である。
2: 証明
全体戦略: ステップ1: 任意の\(f' \in C^\infty (M_2)\)に対して、\(d f_m (v) (f')\)を\(v (f' \circ f)\)として計算する; ステップ2: ステップ1の結果を\(d f_m (v) (f') = w^j \partial / \partial y^j (f')\)と比較する。
ステップ1:
\(f' \in C^\infty (M_2)\)は任意のものであるとしよう。
\(d f_m (v) (f') = v (f' \circ f) = v^j \partial / \partial x^j (f' \circ f) = v^j \partial_j (f' \circ f \circ {\phi_1}^{-1})\)、ここで、\(f' \circ f \circ {\phi_1}^{-1}\)は\(: \phi_1 (U_1) \subseteq \mathbb{R}^{d_1} \to \mathbb{R}\)、\(= v^j \partial_j ((f' \circ {\phi_2}^{-1}) \circ (\phi_2 \circ f \circ {\phi_1}^{-1}))\)、ここで、\((f' \circ {\phi_2}^{-1}) \circ (\phi_2 \circ f \circ {\phi_1}^{-1})\)は\(: \phi_1 (U_1) \subseteq \mathbb{R}^{d_1} \to \phi_2 (U_2) \subseteq \mathbb{R}^{d_2} \to \mathbb{R}\)、そして、チェインルールを適用して、\(= v^j \partial_l (f' \circ {\phi_2}^{-1}) \partial_j (\phi_2 \circ f \circ {\phi_1}^{-1})^l = v^j \partial_l (f' \circ {\phi_2}^{-1}) \partial_j \hat{f}^l = \partial_j \hat{f}^l v^j \partial / \partial y^l (f') = \partial_l \hat{f}^j v^l \partial / \partial y^j (f')\)、それは、単なるダミーインデックスたちの名称変更である。
ステップ2:
\(d f_m (v) (f') = w^j \partial / \partial y^j (f')\)。
したがって、それをステップ1の結果と比較して、\(w^j \partial / \partial y^j (f') = \partial_l \hat{f}^j v^l \partial / \partial y^j (f')\)。
\(f'\)は恣意的であり、\(\{\partial / \partial y^1, ..., \partial / \partial y^{d_2}\}\)はベーシス（基底）であるから、\(w^j = \partial_l \hat{f}^j v^l\)。
