1041: C∞マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、およびポイントにおけるコタンジェント（余接）スペース（空間）に対して、コベクトルの、チャートたちに関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）たちに関するコンポーネントたちのトランジション（遷移）はこれである

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$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、およびポイントにおけるコタンジェント（余接）スペース（空間）に対して、コベクトルの、チャートたちに関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）たちに関するコンポーネントたちのトランジション（遷移）はこれであることの記述/証明

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話題

About: $C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上のポイントにおける$(p,q)$-テンソルたちスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、および任意のポイントにおける$(p,q)$-テンソルたちスペース（空間）に対して、任意のチャートたちに関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）たちに関する任意のテンソルのコンポーネントたちのトランジション（遷移）はこれであるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、および任意のポイントにおけるコタンジェント（余接）スペース（空間）に対して、任意のコベクトルの、任意のチャートたちに関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）たちに関するコンポーネントたちのトランジション（遷移）はこれであるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$M$: $\in \{\text{ 全ての }d\text{ -ディメンショナル（次元） }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}$
$m$: $\in M$
$(U_m\subseteq M,{\varphi }_m)$: $\in \{M\text{ に対する }m\text{ の周りの全てのチャートたち }\}$
$(U_m^{\prime }\subseteq M,{\varphi }_m^{\prime })$: $\in \{M\text{ に対する }m\text{ の周りの全てのチャートたち }\}$
$\{d{x}^j|j\in \{1,...,d\}\}$: $=T_m{M}^{\ast }\text{ に対する }(U_m\subseteq M,{\varphi }_m)\text{ によるスタンダード（標準）ベーシス（基底） }$
$\{d{x}^{\prime j}|j\in \{1,...,d\}\}$: $=T_m{M}^{\ast }\text{ に対する }(U_m^{\prime }\subseteq M,{\varphi }_m^{\prime })\text{ によるスタンダード（標準）ベーシス（基底） }$
//

ステートメント（言明）たち:
$\mathrm{\forall }t=t_{j}d{x}^j=t_j^{\prime }d{x}^{\prime j}\in T_m{M}^{\ast }(t_j^{\prime }=t_l\partial x^l/\partial x^{\prime j})$
//

$x^{\prime }$のファンクション（関数）としての$x$は、${\varphi }_m\circ {{\varphi }_m^{\prime }}^{-1}{|}_{{\varphi }_m^{\prime }(U_m\cap U_m^{\prime })}:{\varphi }_m^{\prime }(U_m\cap U_m^{\prime })\to {\varphi }_m(U_m\cap U_m^{\prime })$。

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2: 証明

全体戦略: ステップ1: 任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、および任意のポイントにおける$(p,q)$-テンソルたちスペース（空間）に対して、任意のチャートたちに関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）たちに関する任意のテンソルのコンポーネントたちのトランジション（遷移）はこれであるという命題を適用する。

ステップ1:

実のところ、これは、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、および任意のポイントにおける$(p,q)$-テンソルたちスペース（空間）に対して、任意のチャートたちに関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）たちに関する任意のテンソルのコンポーネントたちのトランジション（遷移）はこれであるという命題の特殊ケースである、$(0,1)$-テンソルたちスペース（空間）として、したがって、$t_j^{\prime }=\partial x^l/\partial x^{\prime j}{t}_l$。

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参考資料

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