\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、およびポイントにおけるコタンジェント（余接）スペース（空間）に対して、コベクトルの、チャートたちに関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）たちに関するコンポーネントたちのトランジション（遷移）はこれであることの記述/証明
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、および任意のポイントにおけるコタンジェント（余接）スペース（空間）に対して、任意のコベクトルの、任意のチャートたちに関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）たちに関するコンポーネントたちのトランジション（遷移）はこれであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(M\): \(\in \{\text{ 全ての } d \text{ -ディメンショナル（次元） } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)
\(m\): \(\in M\)
\((U_m \subseteq M, \phi_m)\): \(\in \{M \text{ に対する } m \text{ の周りの全てのチャートたち }\}\)
\((U'_m \subseteq M, \phi'_m)\): \(\in \{M \text{ に対する } m \text{ の周りの全てのチャートたち }\}\)
\(\{d x^j \vert j \in \{1, ..., d\}\}\): \(= T_mM^* \text{ に対する } (U_m \subseteq M, \phi_m) \text{ によるスタンダード（標準）ベーシス（基底） }\)
\(\{d x'^j \vert j \in \{1, ..., d\}\}\): \(= T_mM^* \text{ に対する } (U'_m \subseteq M, \phi'_m) \text{ によるスタンダード（標準）ベーシス（基底） }\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\forall t = t_j d x^j = t'_j d x'^j \in T_mM^* (t'_j = t_l \partial x^l / \partial x'^j)\)
//
\(x'\)のファンクション（関数）としての\(x\)は、\(\phi_m \circ {\phi'_m}^{-1} \vert_{\phi'_m (U_m \cap U'_m)}: \phi'_m (U_m \cap U'_m) \to \phi_m (U_m \cap U'_m)\)。
2: 証明
全体戦略: ステップ1: 任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、および任意のポイントにおける\((p, q)\)-テンソルたちスペース（空間）に対して、任意のチャートたちに関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）たちに関する任意のテンソルのコンポーネントたちのトランジション（遷移）はこれであるという命題を適用する。
ステップ1:
実のところ、これは、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、および任意のポイントにおける\((p, q)\)-テンソルたちスペース（空間）に対して、任意のチャートたちに関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）たちに関する任意のテンソルのコンポーネントたちのトランジション（遷移）はこれであるという命題の特殊ケースである、\((0, 1)\)-テンソルたちスペース（空間）として、したがって、\(t'_j = \partial x^l / \partial x'^j t_l\)。
