\((0, q)\)-テンソルのポイントにおける\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間の\(C^\infty\)マップ（写像）によるプルバックの定義
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、\((0, q)\)-テンソルのポイントにおける\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間の\(C^\infty\)マップ（写像）によるプルバックの定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( M_1\): \(\in \{\text{ 全ての } d_1 \text{ -ディメンショナル（次元） } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)
\( M_2\): \(\in \{\text{ 全ての } d_2 \text{ -ディメンショナル（次元） } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)
\( f\): \(: M_1 \to M_2\), \(\in \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ マップ（写像）たち }\}\)
\( m\): \(\in M_1\)
\( q\): \(\in \mathbb{N}\)
\(*f^*_m\): \(: T^0_q (T_{f (m)}M_2) \to T^0_q (T_mM_1)\), \(\in \{\text{ 全てのリニアマップ（線形写像）たち }\}\)
//
コンディションたち:
\(q = 0\)である時、\(\forall t \in T^0_q (T_{f (m)}M_2) (f^*_m (t) = t \circ f (m))\)
\(0 \lt q\)である時、\(\forall t \in T^0_q (T_{f (m)}M_2), \forall v_1, ..., v_q \in T_mM_1 (f^*_m (t) (v_1, ..., v_q) = t (d f_m (v_1), ..., d f_m (v_q)))\)
//
2: 注
\(f^*_m\)は本当に\(T^0_q (T_mM_1)\)の中へのものであることを見よう。
\(q = 0\)である時、\(f^*_m (t) = t \circ f (m) \in \mathbb{R}\)。
\(0 \lt q\)であると仮定しよう。
\(f^*_m (t) (v_1, ..., r v_j + r' v'_j, ..., v_q) = t (d f_m (v_1), ..., d f_m (r v_j + r' v'_j), ..., d f_m (v_q)) = t (d f_m (v_1), ..., r d f_m (v_j) + r' d f_m (v'_j), ..., d f_m (v_q))\)、なぜなら、\(d f_m\)はリニア（線形）である、\(= r t (d f_m (v_1), ..., d f_m (v_j), ..., d f_m (v_q)) + r' t (d f_m (v_1), ..., d f_m (v'_j), ..., d f_m (v_q))\)、なぜなら、\(t\)はマルチリニア（多重線形）である、\(= r f^*_m (t) (v_1, ..., v_j, ..., v_q) + r' f^*_m (t) (v_1, ..., v'_j, ..., v_q)\)。
\(f^*_m\)は本当にリニア（線形）であることを見よう。
\(q = 0\)である時、\(f^*_m (r t + r' t') = r f^*_m (t) + r' f^*_m (t')\)、なぜなら、\(f^*_m (r t + r' t') = (r t + r' t') \circ f (m) = r t \circ f (m) + r' t' \circ f (m) = r f^*_m (t) + r' f^*_m (t')\)。
\(0 \lt q\)であると仮定しよう。
\(f^*_m (r t + r' t') = r f^*_m (t) + r' f^*_m (t')\)、なぜなら、\(f^*_m (r t + r' t') (v_1, ..., v_q) = (r t + r' t') (d f_m (v_1), ..., d f_m (v_q)) = r t (d f_m (v_1), ..., d f_m (v_q)) + r' t' (d f_m (v_1), ..., d f_m (v_q)) = r f^*_m (t) (v_1, ..., v_q) + r' f^*_m (t') (v_1, ..., v_q) = (r f^*_m (t) + r' f^*_m (t')) (v_1, ..., v_q)\)。
