1043: (0,q)-テンソルのポイントにおけるC∞マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間のC∞マップ（写像）によるプルバック

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$(0,q)$-テンソルのポイントにおける$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間の$C^{\mathrm{\infty }}$マップ（写像）によるプルバックの定義

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話題

About: $C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上のポイントにおける$(p,q)$-テンソルたちスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、バウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たち間$C^{\mathrm{\infty }}$マップ（写像）のポイントにおけるディファレンシャルの定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、$(0,q)$-テンソルのポイントにおける$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間の$C^{\mathrm{\infty }}$マップ（写像）によるプルバックの定義を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$M_1$: $\in \{\text{ 全ての }{d}_1\text{ -ディメンショナル（次元） }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}$
$M_2$: $\in \{\text{ 全ての }{d}_2\text{ -ディメンショナル（次元） }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}$
$f$: $:M_1\to M_2$, $\in \{\text{ 全ての }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ マップ（写像）たち }\}$
$m$: $\in M_1$
$q$: $\in \mathbb{N}$
$\ast f_m^{\ast }$: $:T_q^0(T_{f(m)}{M}_2)\to T_q^0(T_m{M}_1)$, $\in \{\text{ 全てのリニアマップ（線形写像）たち }\}$
//

コンディションたち:
$q=0$である時、$\mathrm{\forall }t\in T_q^0(T_{f(m)}{M}_2)(f_m^{\ast }(t)=t\circ f(m))$
$0<q$である時、$\mathrm{\forall }t\in T_q^0(T_{f(m)}{M}_2),\mathrm{\forall }{v}_1,...,v_q\in T_m{M}_1(f_m^{\ast }(t)(v_1,...,v_q)=t(d{f}_m(v_1),...,d{f}_m(v_q)))$
//

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2: 注

$f_m^{\ast }$は本当に$T_q^0(T_m{M}_1)$の中へのものであることを見よう。

$q=0$である時、$f_m^{\ast }(t)=t\circ f(m)\in \mathbb{R}$。

$0<q$であると仮定しよう。

$f_m^{\ast }(t)(v_1,...,r{v}_j+r^{\prime }{v}_j^{\prime },...,v_q)=t(d{f}_m(v_1),...,d{f}_m(r{v}_j+r^{\prime }{v}_j^{\prime }),...,d{f}_m(v_q))=t(d{f}_m(v_1),...,rd{f}_m(v_j)+r^{\prime }d{f}_m(v_j^{\prime }),...,d{f}_m(v_q))$、なぜなら、$d{f}_m$はリニア（線形）である、$=rt(d{f}_m(v_1),...,d{f}_m(v_j),...,d{f}_m(v_q))+r^{\prime }t(d{f}_m(v_1),...,d{f}_m(v_j^{\prime }),...,d{f}_m(v_q))$、なぜなら、$t$はマルチリニア（多重線形）である、$=r{f}_m^{\ast }(t)(v_1,...,v_j,...,v_q)+r^{\prime }{f}_m^{\ast }(t)(v_1,...,v_j^{\prime },...,v_q)$。

$f_m^{\ast }$は本当にリニア（線形）であることを見よう。

$q=0$である時、$f_m^{\ast }(rt+r^{\prime }{t}^{\prime })=r{f}_m^{\ast }(t)+r^{\prime }{f}_m^{\ast }(t^{\prime })$、なぜなら、$f_m^{\ast }(rt+r^{\prime }{t}^{\prime })=(rt+r^{\prime }{t}^{\prime })\circ f(m)=rt\circ f(m)+r^{\prime }{t}^{\prime }\circ f(m)=r{f}_m^{\ast }(t)+r^{\prime }{f}_m^{\ast }(t^{\prime })$。

$0<q$であると仮定しよう。

$f_m^{\ast }(rt+r^{\prime }{t}^{\prime })=r{f}_m^{\ast }(t)+r^{\prime }{f}_m^{\ast }(t^{\prime })$、なぜなら、$f_m^{\ast }(rt+r^{\prime }{t}^{\prime })(v_1,...,v_q)=(rt+r^{\prime }{t}^{\prime })(d{f}_m(v_1),...,d{f}_m(v_q))=rt(d{f}_m(v_1),...,d{f}_m(v_q))+r^{\prime }{t}^{\prime }(d{f}_m(v_1),...,d{f}_m(v_q))=r{f}_m^{\ast }(t)(v_1,...,v_q)+r^{\prime }{f}_m^{\ast }(t^{\prime })(v_1,...,v_q)=(r{f}_m^{\ast }(t)+r^{\prime }{f}_m^{\ast }(t^{\prime }))(v_1,...,v_q)$。

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参考資料

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