\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間\(C^\infty\)マップ（写像）および対応するチャートたちに対して、\((0, q)\)-テンソルたちのプルバックの、スタンダード（標準）ベーシス（基底）たちに関するコンポーネントたちファンクション（関数）はこれであることの記述/証明
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、\((0, q)\)-テンソルのポイントにおける\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間の\(C^\infty\)マップ（写像）によるプルバックの定義を知っている。
- 読者は、任意のフィールド（体）、当該フィールド（体）上方の任意の\(k\)個のベクトルたちスペース（空間）たちに対して、当該フィールド（体）、当該ベクトルたちスペース（空間）たち、当該フィールド（体）に関するテンソルたちスペース（空間）は、ベーシス（基底）で当該ベクトルたちスペース（空間）たちの任意のベーシス（基底）たちのデュアルベーシス（基底）たちの全ての要素たちの全てのテンソルプロダクト（積）たちから構成されるものを持つという命題を認めている。
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間の任意の\(C^\infty\)マップ（写像）および任意の対応するチャートたちに対して、当該マップ（写像）のディファレンシャルの、スタンダード（標準）ベーシス（基底）たちに関するコンポーネントたちファンクション（関数）はこれであるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間任意の\(C^\infty\)マップ（写像）および任意の対応するチャートたちに対して、\((0, q)\)-テンソルたちのプルバックの、スタンダード（標準）ベーシス（基底）たちに関するコンポーネントたちファンクション（関数）はこれであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(M_1\): \(\in \{\text{ 全ての } d_1 \text{ -ディメンショナル（次元） } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)
\(M_2\): \(\in \{\text{ 全ての } d_2 \text{ -ディメンショナル（次元） } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)
\(f\): \(: M_1 \to M_2\), \(\in \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ マップ（写像）たち }\}\)
\((U_1 \subseteq M_1, \phi_1)\): \(\in \{M_1 \text{ に対する全てのチャートたち }\}\)
\((U_2 \subseteq M_2, \phi_2)\): \(\in \{M_2 \text{ に対する全てのチャートたち }\}\), such that \(f (U_1) \subseteq U_2\)
\(m\): \(\in U_1\)
\(f^*_m\): \(: T^0_q (T_{f (m)}M_2) \to T^0_q (T_mM_1)\), \(= \text{ 当該プルバック }\)
\(\{d x^{j_1} \otimes ... \otimes d x^{j_q} \vert j_l \in \{1, ..., d_1\}\}\): \(= T^0_q (T_mM_1) \text{ に対する当該スタンダード（標準）ベーシス（基底） }\)
\(\{d y^{j_1} \otimes ... \otimes d y^{j_q} \vert j_l \in \{1, ..., d_2\}\}\): \(= T^0_q (T_{f (m)}M_2) \text{ に対する当該スタンダード（標準）ベーシス（基底） }\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\forall t = t_{j_1, ..., j_q} d y^{j_1} \otimes ... \otimes d y^{j_q} \in T^0_q (T_{f (m)}M_2) (f^*_m (t) = u_{j_1, ..., j_q} d x^{j_1} \otimes ... \otimes d x^{j_q} \text{ 、ここで、 } u_{j_1, ..., j_q} = t_{l_1, ..., l_q} \partial \hat{f}^{l_1} / \partial x^{j_1} ... \partial \hat{f}^{l_q} / \partial x^{j_q} \text{ 、ここで、 } \hat{f} = \phi_2 \circ f \circ {\phi_1}^{-1})\)
//
\(\{d x^{j_1} \otimes ... \otimes d x^{j_q}\}\)および\(\{d y^{j_1} \otimes ... \otimes d y^{j_q}\}\)は本当にベーシス（基底）たちである、任意のフィールド（体）、当該フィールド（体）上方の任意の\(k\)個のベクトルたちスペース（空間）たちに対して、当該フィールド（体）、当該ベクトルたちスペース（空間）たち、当該フィールド（体）に関するテンソルたちスペース（空間）は、ベーシス（基底）で当該ベクトルたちスペース（空間）たちの任意のベーシス（基底）たちのデュアルベーシス（基底）たちの全ての要素たちの全てのテンソルプロダクト（積）たちから構成されるものを持つという命題によって: \(\{d x^j \vert j \in \{1, ..., d_1\}\}\)で\(\{d y^j \vert j \in \{1, ..., d_2\}\}\)は\(\{\partial / \partial x^j \vert j \in \{1, ..., d_1\}\}\)および\(\{\partial / \partial y^j \vert j \in \{1, ..., d_2\}\}\)のデュアルベーシス（基底）たちである。
言い換えると、\(\hat{f}\)は\(f\)の、\((U_1 \subseteq M_1, \phi_1)\)および\((U_2 \subseteq M_2, \phi_2)\)に関するコンポーネントたちファンクション（関数）である。
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(f^*_m (t) ((\partial / \partial x^{l_1}, ..., \partial / \partial x^{l_q}))\)を\(t (d f_m (\partial / \partial x^{l_1}), ..., d f_m (\partial / \partial x^{l_q}))\)として計算する; ステップ2: ステップ1の結果を\(f^*_m (t) ((\partial / \partial x^{l_1}, ..., \partial / \partial x^{l_q})) = u_{j_1, ..., j_l} d x^{j_1} \otimes ... \otimes d x^{j_q} ((\partial / \partial x^{l_1}, ..., \partial / \partial x^{l_q}))\)と比較する。
ステップ1:
私たちは\(d f_m (\partial / \partial x^{l_n}) = \partial \hat{f}^j / \partial x^{l_n} \partial / \partial y^j\)であることを知っている、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間の任意の\(C^\infty\)マップ（写像）および任意の対応するチャートたちに対して、当該マップ（写像）のディファレンシャルの、スタンダード（標準）ベーシス（基底）たちに関するコンポーネントたちファンクション（関数）はこれであるという命題によって: \(\partial / \partial x^{l_n}\)は\(l_n\)-番目コンポーネント\(1\)だけを持つ。
\(f^*_m (t) ((\partial / \partial x^{l_1}, ..., \partial / \partial x^{l_q})) = t (d f_m (\partial / \partial x^{l_1}), ..., d f_m (\partial / \partial x^{l_q})) = t_{j_1, ..., j_l} d y^{j_1} \otimes ... \otimes d y^{j_q} ((\partial \hat{f}^{m_1} / \partial x^{l_1} \partial / \partial y^{m_1}, ..., \partial \hat{f}^{m_q} / \partial x^{l_q} \partial / \partial y^{m_q})) = t_{j_1, ..., j_q} d y^{j_1} (\partial \hat{f}^{m_1} / \partial x^{l_1} \partial / \partial y^{m_1}) ... \otimes d y^{j_q} (\partial \hat{f}^{m_q} / \partial x^{l_q} \partial / \partial y^{m_q}) = t_{j_1, ..., j_q} \delta^{j_1}_{m_1} \partial \hat{f}^{m_1} / \partial x^{l_1} ... \delta^{j_q}_{m_q} \partial \hat{f}^{m_q} / \partial x^{l_q} = t_{j_1, ..., j_q} \partial \hat{f}^{j_1} / \partial x^{l_1} ... \partial \hat{f}^{j_q} / \partial x^{l_q}\)。
ステップ2:
他方で、\(f^*_m (t) ((\partial / \partial x^{l_1}, ..., \partial / \partial x^{l_q})) = u_{j_1, ..., j_q} d x^{j_1} \otimes ... \otimes d x^{j_q} ((\partial / \partial x^{l_1}, ..., \partial / \partial x^{l_q})) = u_{j_1, ..., j_q} d x^{j_1} (\partial / \partial x^{l_1}) ... d x^{j_q} (\partial / \partial x^{l_q}) = u_{j_1, ..., j_q} \delta^{j_1}_{l_1} ... \delta^{j_q}_{l_q} = u_{l_1, ..., l_q}\)。
したがって、\(u_{l_1, ..., l_q} = t_{j_1, ..., j_q} \partial \hat{f}^{j_1} / \partial x^{l_1} ... \partial \hat{f}^{j_q} / \partial x^{l_q}\)、それは、\(u_{j_1, ..., j_q} = t_{l_1, ..., l_q} \partial \hat{f}^{l_1} / \partial x^{j_1} ... \partial \hat{f}^{l_q} / \partial x^{j_q}\)に他ならない。
