1044: $C^\infty$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間$C^\infty$マップ（写像）および対応するチャートたちに対して、$(0, q)$-テンソルたちのプルバックの、スタンダード（標準）ベーシス（基底）たちに関するコンポーネントたちファンクション（関数）はこれである|T.B.P.日本語版

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C^{\infty}

マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間

C^{\infty}

マップ（写像）および対応するチャートたちに対して、

(0, q)

-テンソルたちのプルバックの、スタンダード（標準）ベーシス（基底）たちに関するコンポーネントたちファンクション（関数）はこれであることの記述/証明

話題

About: $C^{\infty}$ マニフォールド（多様体）

開始コンテキスト

ターゲットコンテキスト

読者は、任意の $C^{\infty}$ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間任意の $C^{\infty}$ マップ（写像）および任意の対応するチャートたちに対して、 $(0, q)$ -テンソルたちのプルバックの、スタンダード（標準）ベーシス（基底）たちに関するコンポーネントたちファンクション（関数）はこれであるという命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

本体

1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:

M_{1}

\in {全ての d_{1} -ディメンショナル（次元） C^{\infty} マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち}

M_{2}

\in {全ての d_{2} -ディメンショナル（次元） C^{\infty} マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち}

f

: M_{1} \to M_{2}

\in {全ての C^{\infty} マップ（写像）たち}

(U_{1} \subseteq M_{1}, ϕ_{1})

\in {M_{1} に対する全てのチャートたち}

(U_{2} \subseteq M_{2}, ϕ_{2})

\in {M_{2} に対する全てのチャートたち}

, such that

f (U_{1}) \subseteq U_{2}

m

\in U_{1}

f_{m}^{*}

: T_{q}^{0} (T_{f (m)} M_{2}) \to T_{q}^{0} (T_{m} M_{1})

= 当該プルバック

{d x^{j_{1}} \otimes . . . \otimes d x^{j_{q}} | j_{l} \in {1, . . ., d_{1}}}

= T_{q}^{0} (T_{m} M_{1}) に対する当該スタンダード（標準）ベーシス（基底）

{d y^{j_{1}} \otimes . . . \otimes d y^{j_{q}} | j_{l} \in {1, . . ., d_{2}}}

= T_{q}^{0} (T_{f (m)} M_{2}) に対する当該スタンダード（標準）ベーシス（基底）

//

ステートメント（言明）たち:

\forall t = t_{j_{1}, . . ., j_{q}} d y^{j_{1}} \otimes . . . \otimes d y^{j_{q}} \in T_{q}^{0} (T_{f (m)} M_{2}) (f_{m}^{*} (t) = u_{j_{1}, . . ., j_{q}} d x^{j_{1}} \otimes . . . \otimes d x^{j_{q}} 、ここで、 u_{j_{1}, . . ., j_{q}} = t_{l_{1}, . . ., l_{q}} \partial {\hat{f}}^{l_{1}} / \partial x^{j_{1}} . . . \partial {\hat{f}}^{l_{q}} / \partial x^{j_{q}} 、ここで、 \hat{f} = ϕ_{2} \circ f \circ {ϕ_{1}}^{- 1})

{d x^{j_{1}} \otimes . . . \otimes d x^{j_{q}}}

および

{d y^{j_{1}} \otimes . . . \otimes d y^{j_{q}}}

は本当にベーシス（基底）たちである、任意のフィールド（体）、当該フィールド（体）上方の任意の

k

個のベクトルたちスペース（空間）たちに対して、当該フィールド（体）、当該ベクトルたちスペース（空間）たち、当該フィールド（体）に関するテンソルたちスペース（空間）は、ベーシス（基底）で当該ベクトルたちスペース（空間）たちの任意のベーシス（基底）たちのデュアルベーシス（基底）たちの全ての要素たちの全てのテンソルプロダクト（積）たちから構成されるものを持つという命題によって:

{d x^{j} | j \in {1, . . ., d_{1}}}

で

{d y^{j} | j \in {1, . . ., d_{2}}}

は

{\partial / \partial x^{j} | j \in {1, . . ., d_{1}}}

および

{\partial / \partial y^{j} | j \in {1, . . ., d_{2}}}

のデュアルベーシス（基底）たちである。

言い換えると、

\hat{f}

は

f

の、

(U_{1} \subseteq M_{1}, ϕ_{1})

および

(U_{2} \subseteq M_{2}, ϕ_{2})

に関するコンポーネントたちファンクション（関数）である。

2: 証明

全体戦略: ステップ1:

f_{m}^{*} (t) ((\partial / \partial x^{l_{1}}, . . ., \partial / \partial x^{l_{q}}))

を

t (d f_{m} (\partial / \partial x^{l_{1}}), . . ., d f_{m} (\partial / \partial x^{l_{q}}))

として計算する; ステップ2: ステップ1の結果を

f_{m}^{*} (t) ((\partial / \partial x^{l_{1}}, . . ., \partial / \partial x^{l_{q}})) = u_{j_{1}, . . ., j_{l}} d x^{j_{1}} \otimes . . . \otimes d x^{j_{q}} ((\partial / \partial x^{l_{1}}, . . ., \partial / \partial x^{l_{q}}))

と比較する。

ステップ1:

私たちは

d f_{m} (\partial / \partial x^{l_{n}}) = \partial {\hat{f}}^{j} / \partial x^{l_{n}} \partial / \partial y^{j}

であることを知っている、任意の

C^{\infty}

マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間の任意の

C^{\infty}

マップ（写像）および任意の対応するチャートたちに対して、当該マップ（写像）のディファレンシャルの、スタンダード（標準）ベーシス（基底）たちに関するコンポーネントたちファンクション（関数）はこれであるという命題によって:

\partial / \partial x^{l_{n}}

は

l_{n}

-番目コンポーネント

1

だけを持つ。

f_{m}^{*} (t) ((\partial / \partial x^{l_{1}}, . . ., \partial / \partial x^{l_{q}})) = t (d f_{m} (\partial / \partial x^{l_{1}}), . . ., d f_{m} (\partial / \partial x^{l_{q}})) = t_{j_{1}, . . ., j_{l}} d y^{j_{1}} \otimes . . . \otimes d y^{j_{q}} ((\partial {\hat{f}}^{m_{1}} / \partial x^{l_{1}} \partial / \partial y^{m_{1}}, . . ., \partial {\hat{f}}^{m_{q}} / \partial x^{l_{q}} \partial / \partial y^{m_{q}})) = t_{j_{1}, . . ., j_{q}} d y^{j_{1}} (\partial {\hat{f}}^{m_{1}} / \partial x^{l_{1}} \partial / \partial y^{m_{1}}) . . . \otimes d y^{j_{q}} (\partial {\hat{f}}^{m_{q}} / \partial x^{l_{q}} \partial / \partial y^{m_{q}}) = t_{j_{1}, . . ., j_{q}} δ_{m_{1}}^{j_{1}} \partial {\hat{f}}^{m_{1}} / \partial x^{l_{1}} . . . δ_{m_{q}}^{j_{q}} \partial {\hat{f}}^{m_{q}} / \partial x^{l_{q}} = t_{j_{1}, . . ., j_{q}} \partial {\hat{f}}^{j_{1}} / \partial x^{l_{1}} . . . \partial {\hat{f}}^{j_{q}} / \partial x^{l_{q}}

。

ステップ2:

他方で、

f_{m}^{*} (t) ((\partial / \partial x^{l_{1}}, . . ., \partial / \partial x^{l_{q}})) = u_{j_{1}, . . ., j_{q}} d x^{j_{1}} \otimes . . . \otimes d x^{j_{q}} ((\partial / \partial x^{l_{1}}, . . ., \partial / \partial x^{l_{q}})) = u_{j_{1}, . . ., j_{q}} d x^{j_{1}} (\partial / \partial x^{l_{1}}) . . . d x^{j_{q}} (\partial / \partial x^{l_{q}}) = u_{j_{1}, . . ., j_{q}} δ_{l_{1}}^{j_{1}} . . . δ_{l_{q}}^{j_{q}} = u_{l_{1}, . . ., l_{q}}

。

したがって、

u_{l_{1}, . . ., l_{q}} = t_{j_{1}, . . ., j_{q}} \partial {\hat{f}}^{j_{1}} / \partial x^{l_{1}} . . . \partial {\hat{f}}^{j_{q}} / \partial x^{l_{q}}

、それは、

u_{j_{1}, . . ., j_{q}} = t_{l_{1}, . . ., l_{q}} \partial {\hat{f}}^{l_{1}} / \partial x^{j_{1}} . . . \partial {\hat{f}}^{l_{q}} / \partial x^{j_{q}}

に他ならない。

参考資料