トポロジカルスペース（空間）たち間のコンティニュアス（連続）マップ（写像）およびドメイン（定義域）のサブセット（部分集合）でコドメイン（余域）のオープンサブセット（開部分集合）の中へマップされるものに対して、ドメイン（定義域）サブセット（部分集合）のオープンネイバーフッド（開近傍）でオープンサブセット（開部分集合）の中へマップされるものがあることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、コンティヌアス（連続）マップ（写像）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）たち間の任意のコンティニュアス（連続）マップ（写像）および当該ドメイン（定義域）の任意のサブセット（部分集合）で当該コドメイン（余域）の任意のオープンサブセット（開部分集合）の中へマップされるものに対して、当該ドメイン（定義域）サブセット（部分集合）のあるオープンネイバーフッド（開近傍）で当該オープンサブセット（開部分集合）の中へマップされるものがあるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T_1\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(T_2\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(f\): \(: T_1 \to T_2\), \(\in \{\text{ 全てのコンティニュアス（連続）マップ（写像）たち }\}\)
\(S_1\): \(\subseteq T_1\)
\(U_2\): \(\in \{T_2 \text{ の全てのオープンサブセット（開部分集合）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f (S_1) \subseteq U_2\)
\(\implies\)
\(\exists U_1 \subseteq T_1 \in \{T_1 \text{ の全てのオープンサブセット（開部分集合）たち }\} (S_1 \subseteq U_1 \land f (U_1) \subseteq U_2)\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: 各\(s \in S_1\)に対して、\(s\)の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_s \subseteq T_1\)、つまり、\(f (U_s) \subseteq U_2\)、を取る; ステップ2: \(U_1 := \cup_{s \in S_1} U_s\)を取り、\(f (U_1) \subseteq U_2\)であることを見る。
ステップ1:
\(s \in S_1\)を任意のものとしよう。
\(f (s) \in U_2\)、それが意味するのは、\(U_2\)は\(f (s)\)のオープンネイバーフッド（開近傍）であること。
\(f\)はコンティニュアス（連続）であるから、\(s\)の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_s \subseteq T_1\)、つまり、\(f (U_s) \subseteq U_2\)、がある。
ステップ2:
\(U_1 := \cup_{s \in S_1} U_s\)を定義しよう、それは\(T_1\)上でオープン（開）である。
\(S_1 \subseteq U_1\)、なぜなら、各\(s \in S_1\)に対して、\(s \in U_s \subseteq U_1\)。
各\(u \in U_1\)に対して、ある\(s\)に対して、\(u \in U_s\)。したがって、\(f (u) \in U_2\)、なぜなら、\(f (U_s) \subseteq U_2\)。
したがって、\(f (U_1) \subseteq U_2\)。
