ファイナイト（有限）-プロダクト\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、からの\(C^\infty\)マップ（写像）からインデュースト（誘導された）\(C^\infty\)マップ（写像）、ポイントに基づいていくつかのドメイン（定義域）コンポーネントたちを固定することによって、の定義
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、ファイナイト（有限）-プロダクト\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、からの\(C^\infty\)マップ（写像）からインデュースト（誘導された）\(C^\infty\)マップ（写像）、ポイントに基づいていくつかのドメイン（定義域）コンポーネントたちを固定することによって、の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( \{M_1, ..., M_{n - 1}\}\): \(\subseteq \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）たち }\}\)
\( M_n\): \(\in \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)
\( M_1 \times ... \times M_n\): \(= \text{ 当該ファイナイト（有限）-プロダクト } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き }\)
\( M\): \(\in \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)
\( f\): \(: M_1 \times ... \times M_n \to M\), \(\in \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ マップ（写像）たち }\}\)
\( m_0\): \(\in M_1 \times ... \times M_n\)
\( S\): \(= \{j_1, ..., j_s\} \subseteq \{1, ..., n\}\)
\(*f_{S, m_0}\): \(: M_1 \times ... \times M_n \to M, m = (m^1, ...m^n) \mapsto f (m_0^1, ..., m^{j_1}, ..., m^{j_s}, ..., m_0^n)\)、それが意味するのは、\(\{m_0^1, ..., m_0^n\}\)が\(\{m^{j_1}, ..., m^{j_s}\}\)を除き使われるということ
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コンディションたち:
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\(S = \{j\}\)である時、\(f_{S, m_0}\)は\(f_{j, m_0}\)とも記される、それは、典型的なケースである。
2: 注
\(f_{S, m_0}\)は本当に\(C^\infty\)であることを見よう。
\(m = (m^1, ..., m^n) \in M_1 \times ... \times M_n\)を任意のものとしよう。
\(\widetilde{m} := (m_0^1, ..., m^{j_1}, ..., m^{j_s}, ..., m_0^n) = (\widetilde{m}^1, ..., \widetilde{m}^n)\)。
\(f\)は\(\widetilde{m}\)において\(C^\infty\)であるから、以下を満たす、\(\widetilde{m}\)の周りのあるチャート\((U_\widetilde{m} \subseteq M_1 \times ... \times M_n, \phi_\widetilde{m})\)および\(f (\widetilde{m})\)の周りのあるチャート\((U_{f (\widetilde{m})} \subseteq M, \phi_{f (\widetilde{m})})\)、つまり、\(f (U_\widetilde{m}) \subseteq U_{f (\widetilde{m})}\)および\(\phi_{f (\widetilde{m})} \circ f \circ {\phi_\widetilde{m}}^{-1}: \phi_\widetilde{m} (U_\widetilde{m}) \to \phi_{f (\widetilde{m})} (U_{f (\widetilde{m})})\)は\(\phi_\widetilde{m} (\widetilde{m})\)において\(C^\infty\)である。
ファイナイト（有限）プロダクト\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付きの定義によって、\((U_\widetilde{m} \subseteq M_1 \times ... \times M_n, \phi_\widetilde{m})\)を\(U_\widetilde{m} = U_{1, \widetilde{m}^1} \times ... \times U_{n, \widetilde{m}^n}\)および\(\phi_\widetilde{m} = \phi_{1, \widetilde{m}^1} \times ... \times \phi_{n, \widetilde{m}^n}\)と選べる、ここで、\((U_{j, \widetilde{m}^j} \subseteq M_j, \phi_{j, \widetilde{m}^j})\)は\(M_j\)に対するチャートである。\(U_\widetilde{m} = U_{1, {m_0}^1} \times ... \times U_{j_1, m^{j_1}} \times ... \times U_{j_s, m^{j_s}} \times ... \times U_{n, {m_0}^n}\)および\(\phi_\widetilde{m} = \phi_{1, {m_0}^1} \times ... \times \phi_{j_1, m^{j_1}} \times ... \times \phi_{j_s, m^{j_s}} \times ... \times \phi_{n, {m_0}^n}\)。
明らかに、\({\phi_\widetilde{m}}^{-1} = {\phi_{1, {m_0}^1}}^{-1} \times ... \times {\phi_{j_1, m^{j_1}}}^{-1} \times ... \times {\phi_{j_s, m^{j_s}}}^{-1} \times ... \times {\phi_{n, {m_0}^n}}^{-1}\)。
\(m\)の周りの以下を満たす任意のチャート\((U_m \subseteq M_1 \times ... \times M_n, \phi_m)\)、つまり、\(U_m := U_{1, m^1} \times ... \times U_{j_1, m^{j_1}} \times ... \times U_{j_s, m^{j_s}} \times ... U_{n, m^n}\)および\(\phi_m = \phi_{1, m^1} \times ... \times \phi_{j_1, m^{j_1}} \times ... \times \phi_{j_s, m^{j_s}} \times ... \times \phi_{n, m^n}\)、を取ろう、ここで、\((U_{j, m^j} \subseteq M_j, \phi_{j, m^j})\)は\(M_j\)に対するチャートである、ここで、\(U_{j_1, m^{j_1}}, ..., U_{j_s, m^{j_s}}\)および\(\phi_{j_1, m^{j_1}}, ..., \phi_{j_s, m^{j_s}}\)は上で導入されたものたちである。
\(f_{S, m_0} (U_m) \subseteq U_{f (\widetilde{m})}\)、なぜなら、各\(m' = (m'^1, ..., m'^n) \in U_m\)に対して、\(f_{S, m_0} (m') = f ((m_0^1, ..., m'^{j_1}, ..., m'^{j_s}, ..., m_0^n))\)、しかし、\((m_0^1, ..., m'^{j_1}, ..., m'^{j_s}, ..., m_0^n) \in U_{1, {m_0}^1} \times ... \times U_{j_1, m^{j_1}} \times ... \times U_{j_s, m^{j_s}} \times ... \times U_{n, {m_0}^n} = U_\widetilde{m}\)、ところが、\(f (U_\widetilde{m}) \subseteq U_{f (\widetilde{m})}\)。
\(\phi_{f (\widetilde{m})} \circ f_{S, m_0} \circ {\phi_m}^{-1}: \phi_m (U_m) \to \phi_{f (\widetilde{m})} (U_{f (\widetilde{m})})\)のことを考えよう。
それは、\(\phi_{f (\widetilde{m})} \circ f_{S, m_0} \circ {\phi_{1, m^1}}^{-1} \times ... \times {\phi_{j_1, m^{j_1}}}^{-1} \times ... \times {\phi_{j_s, m^{j_s}}}^{-1} \times ... \times {\phi_{n, m^n}}^{-1}: (x'^1, ..., x'^n) \mapsto \phi_{f (\widetilde{m})} \circ f_{S, m_0} ((m'^1, ..., m'^n)) = \phi_{f (\widetilde{m})} \circ f ((m_0^1, ..., m'^{j_1}, ..., m'^{j_s}, ..., m_0^n))\)である。
それは、実のところ、\(\phi_{f (\widetilde{m})} \circ f \circ {\phi_\widetilde{m}}^{-1}\)の、\((\phi_{\widetilde{m}^1} (m_0^1), ..., \widehat{x'^{j_1}}, ..., \widehat{x'^{j_s}}, ..., \phi_{\widetilde{m}^n} (m_0^n))\)が固定されたところと同じである。
\(\phi_{f (\widetilde{m})} \circ f \circ {\phi_\widetilde{m}}^{-1}\)は\(\phi_\widetilde{m} (\widetilde{m})\)において\(C^\infty\)であるから、それは、\((x'^{j_1}, ..., x'^{j_s})\)に関して\(C^\infty\)である、したがって、\(\phi_{f (\widetilde{m})} \circ f_{S, m_0} \circ {\phi_m}^{-1}\)は\((x'^{j_1}, ..., x'^{j_s})\)に関して\(C^\infty\)である。
\(\phi_{f (\widetilde{m})} \circ f_{S, m_0} \circ {\phi_m}^{-1}\)は\((x'^1, ..., \widehat{x'^{j_1}}, ..., \widehat{x'^{j_s}}, ..., x'^n)\)に関してコンスタントである、したがって、\((x'^1, ..., \widehat{x'^{j_1}}, ..., \widehat{x'^{j_s}}, ..., x'^n)\)に関して\(C^\infty\)である。
したがって、\(\phi_{f (\widetilde{m})} \circ f_{S, m_0} \circ {\phi_m}^{-1}\)は\(x'^1, ..., x'^n\)に関して\(C^\infty\)である。
したがって、\(f_{S, m_0}\)は\(m\)において\(C^\infty\)である。
