1053: ファイナイト（有限）-プロダクト$C^\infty$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、からの$C^\infty$マップ（写像）からインデュースト（誘導された）$C^\infty$マップ（写像）、ポイントに基づいていくつかのドメイン（定義域）コンポーネントたちを固定することによって|T.B.P.日本語版

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ファイナイト（有限）-プロダクト

C^{\infty}

マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、からの

C^{\infty}

マップ（写像）からインデュースト（誘導された）

C^{\infty}

マップ（写像）、ポイントに基づいていくつかのドメイン（定義域）コンポーネントたちを固定することによって、の定義

話題

About: $C^{\infty}$ マニフォールド（多様体）

開始コンテキスト

ターゲットコンテキスト

読者は、ファイナイト（有限）-プロダクト $C^{\infty}$ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、からの $C^{\infty}$ マップ（写像）からインデュースト（誘導された） $C^{\infty}$ マップ（写像）、ポイントに基づいていくつかのドメイン（定義域）コンポーネントたちを固定することによって、の定義を得る。

オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

本体

1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:

{M_{1}, . . ., M_{n - 1}}

\subseteq {全ての C^{\infty} マニフォールド（多様体）たち}

M_{n}

\in {全ての C^{\infty} マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち}

M_{1} \times . . . \times M_{n}

= 当該ファイナイト（有限）-プロダクト C^{\infty} マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き

M

\in {全ての C^{\infty} マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち}

f

: M_{1} \times . . . \times M_{n} \to M

\in {全ての C^{\infty} マップ（写像）たち}

m_{0}

\in M_{1} \times . . . \times M_{n}

S

= {j_{1}, . . ., j_{s}} \subseteq {1, . . ., n}

* f_{S, m_{0}}

: M_{1} \times . . . \times M_{n} \to M, m = (m^{1}, . . . m^{n}) \mapsto f (m_{0}^{1}, . . ., m^{j_{1}}, . . ., m^{j_{s}}, . . ., m_{0}^{n})

、それが意味するのは、

{m_{0}^{1}, . . ., m_{0}^{n}}

が

{m^{j_{1}}, . . ., m^{j_{s}}}

を除き使われるということ
//

コンディションたち:
//

S = {j}

である時、

f_{S, m_{0}}

は

f_{j, m_{0}}

とも記される、それは、典型的なケースである。

2: 注

f_{S, m_{0}}

は本当に

C^{\infty}

であることを見よう。

m = (m^{1}, . . ., m^{n}) \in M_{1} \times . . . \times M_{n}

を任意のものとしよう。

\tilde{m} := (m_{0}^{1}, . . ., m^{j_{1}}, . . ., m^{j_{s}}, . . ., m_{0}^{n}) = ({\tilde{m}}^{1}, . . ., {\tilde{m}}^{n})

。

f

は

\tilde{m}

において

C^{\infty}

であるから、以下を満たす、

\tilde{m}

の周りのあるチャート

(U_{\tilde{m}} \subseteq M_{1} \times . . . \times M_{n}, ϕ_{\tilde{m}})

および

f (\tilde{m})

の周りのあるチャート

(U_{f (\tilde{m})} \subseteq M, ϕ_{f (\tilde{m})})

、つまり、

f (U_{\tilde{m}}) \subseteq U_{f (\tilde{m})}

および

ϕ_{f (\tilde{m})} \circ f \circ {ϕ_{\tilde{m}}}^{- 1} : ϕ_{\tilde{m}} (U_{\tilde{m}}) \to ϕ_{f (\tilde{m})} (U_{f (\tilde{m})})

は

ϕ_{\tilde{m}} (\tilde{m})

において

C^{\infty}

である。

ファイナイト（有限）プロダクト

C^{\infty}

マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付きの定義によって、

(U_{\tilde{m}} \subseteq M_{1} \times . . . \times M_{n}, ϕ_{\tilde{m}})

を

U_{\tilde{m}} = U_{1, {\tilde{m}}^{1}} \times . . . \times U_{n, {\tilde{m}}^{n}}

および

ϕ_{\tilde{m}} = ϕ_{1, {\tilde{m}}^{1}} \times . . . \times ϕ_{n, {\tilde{m}}^{n}}

と選べる、ここで、

(U_{j, {\tilde{m}}^{j}} \subseteq M_{j}, ϕ_{j, {\tilde{m}}^{j}})

は

M_{j}

に対するチャートである。

U_{\tilde{m}} = U_{1, {m_{0}}^{1}} \times . . . \times U_{j_{1}, m^{j_{1}}} \times . . . \times U_{j_{s}, m^{j_{s}}} \times . . . \times U_{n, {m_{0}}^{n}}

および

ϕ_{\tilde{m}} = ϕ_{1, {m_{0}}^{1}} \times . . . \times ϕ_{j_{1}, m^{j_{1}}} \times . . . \times ϕ_{j_{s}, m^{j_{s}}} \times . . . \times ϕ_{n, {m_{0}}^{n}}

。

明らかに、

{ϕ_{\tilde{m}}}^{- 1} = {ϕ_{1, {m_{0}}^{1}}}^{- 1} \times . . . \times {ϕ_{j_{1}, m^{j_{1}}}}^{- 1} \times . . . \times {ϕ_{j_{s}, m^{j_{s}}}}^{- 1} \times . . . \times {ϕ_{n, {m_{0}}^{n}}}^{- 1}

。

m

の周りの以下を満たす任意のチャート

(U_{m} \subseteq M_{1} \times . . . \times M_{n}, ϕ_{m})

、つまり、

U_{m} := U_{1, m^{1}} \times . . . \times U_{j_{1}, m^{j_{1}}} \times . . . \times U_{j_{s}, m^{j_{s}}} \times . . . U_{n, m^{n}}

および

ϕ_{m} = ϕ_{1, m^{1}} \times . . . \times ϕ_{j_{1}, m^{j_{1}}} \times . . . \times ϕ_{j_{s}, m^{j_{s}}} \times . . . \times ϕ_{n, m^{n}}

、を取ろう、ここで、

(U_{j, m^{j}} \subseteq M_{j}, ϕ_{j, m^{j}})

は

M_{j}

に対するチャートである、ここで、

U_{j_{1}, m^{j_{1}}}, . . ., U_{j_{s}, m^{j_{s}}}

および

ϕ_{j_{1}, m^{j_{1}}}, . . ., ϕ_{j_{s}, m^{j_{s}}}

は上で導入されたものたちである。

f_{S, m_{0}} (U_{m}) \subseteq U_{f (\tilde{m})}

、なぜなら、各

m^{'} = (m^{' 1}, . . ., m^{' n}) \in U_{m}

に対して、

f_{S, m_{0}} (m^{'}) = f ((m_{0}^{1}, . . ., m^{' j_{1}}, . . ., m^{' j_{s}}, . . ., m_{0}^{n}))

、しかし、

(m_{0}^{1}, . . ., m^{' j_{1}}, . . ., m^{' j_{s}}, . . ., m_{0}^{n}) \in U_{1, {m_{0}}^{1}} \times . . . \times U_{j_{1}, m^{j_{1}}} \times . . . \times U_{j_{s}, m^{j_{s}}} \times . . . \times U_{n, {m_{0}}^{n}} = U_{\tilde{m}}

、ところが、

f (U_{\tilde{m}}) \subseteq U_{f (\tilde{m})}

。

ϕ_{f (\tilde{m})} \circ f_{S, m_{0}} \circ {ϕ_{m}}^{- 1} : ϕ_{m} (U_{m}) \to ϕ_{f (\tilde{m})} (U_{f (\tilde{m})})

のことを考えよう。

それは、

ϕ_{f (\tilde{m})} \circ f_{S, m_{0}} \circ {ϕ_{1, m^{1}}}^{- 1} \times . . . \times {ϕ_{j_{1}, m^{j_{1}}}}^{- 1} \times . . . \times {ϕ_{j_{s}, m^{j_{s}}}}^{- 1} \times . . . \times {ϕ_{n, m^{n}}}^{- 1} : (x^{' 1}, . . ., x^{' n}) \mapsto ϕ_{f (\tilde{m})} \circ f_{S, m_{0}} ((m^{' 1}, . . ., m^{' n})) = ϕ_{f (\tilde{m})} \circ f ((m_{0}^{1}, . . ., m^{' j_{1}}, . . ., m^{' j_{s}}, . . ., m_{0}^{n}))

である。

それは、実のところ、

ϕ_{f (\tilde{m})} \circ f \circ {ϕ_{\tilde{m}}}^{- 1}

の、

(ϕ_{{\tilde{m}}^{1}} (m_{0}^{1}), . . ., \hat{x^{' j_{1}}}, . . ., \hat{x^{' j_{s}}}, . . ., ϕ_{{\tilde{m}}^{n}} (m_{0}^{n}))

が固定されたところと同じである。

ϕ_{f (\tilde{m})} \circ f \circ {ϕ_{\tilde{m}}}^{- 1}

は

ϕ_{\tilde{m}} (\tilde{m})

において

C^{\infty}

であるから、それは、

(x^{' j_{1}}, . . ., x^{' j_{s}})

に関して

C^{\infty}

である、したがって、

ϕ_{f (\tilde{m})} \circ f_{S, m_{0}} \circ {ϕ_{m}}^{- 1}

は

(x^{' j_{1}}, . . ., x^{' j_{s}})

に関して

C^{\infty}

である。

ϕ_{f (\tilde{m})} \circ f_{S, m_{0}} \circ {ϕ_{m}}^{- 1}

は

(x^{' 1}, . . ., \hat{x^{' j_{1}}}, . . ., \hat{x^{' j_{s}}}, . . ., x^{' n})

に関してコンスタントである、したがって、

(x^{' 1}, . . ., \hat{x^{' j_{1}}}, . . ., \hat{x^{' j_{s}}}, . . ., x^{' n})

に関して

C^{\infty}

である。

したがって、

ϕ_{f (\tilde{m})} \circ f_{S, m_{0}} \circ {ϕ_{m}}^{- 1}

は

x^{' 1}, . . ., x^{' n}

に関して

C^{\infty}

である。

したがって、

f_{S, m_{0}}

は

m

において

C^{\infty}

である。

参考資料

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C++を暴く
Pythonを暴く
C#を暴く
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UNOディスパッチコマンドたち

2025年3月30日日曜日

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ターゲットコンテキスト

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本体

1: 構造化された記述

2: 注

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