2025年3月30日日曜日

1051: トポロジカルスペース(空間)マイナス任意のポイントからファイナイト(有限)-ディメンショナル(次元)リアル(実)ベクトルたちスペース(空間)でカノニカル(正典)トポロジーを持つものの中へのマップ(写像)に対して、マップ(写像)の、ポイントに関するコンバージェンス(収束ポイント)は存在する、もしも、コンスタントベクトルたちに関するコエフィシェント(係数)たちのポイントに関するコンバージェンス(収束ポイント)たちが存在する場合、その場合、コンバージェンス(収束ポイント)はコンバージェンス(収束ポイント)たちで表わされる

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トポロジカルスペース(空間)マイナス任意のポイントからファイナイト(有限)-ディメンショナル(次元)リアル(実)ベクトルたちスペース(空間)でカノニカル(正典)トポロジーを持つものの中へのマップ(写像)に対して、マップ(写像)の、ポイントに関するコンバージェンス(収束ポイント)は存在する、もしも、コンスタントベクトルたちに関するコエフィシェント(係数)たちのポイントに関するコンバージェンス(収束ポイント)たちが存在する場合、その場合、コンバージェンス(収束ポイント)はコンバージェンス(収束ポイント)たちで表わされることの記述/証明

話題


About: トポロジカルスペース(空間)

この記事の目次


開始コンテキスト



ターゲットコンテキスト



  • 読者は、任意のトポロジカルスペース(空間)マイナス任意のポイントから任意のファイナイト(有限)-ディメンショナル(次元)リアル(実)ベクトルたちスペース(空間)でカノニカル(正典)トポロジーを持つものの中への任意のマップ(写像)に対して、当該マップ(写像)の、当該ポイントに関するコンバージェンス(収束ポイント)は存在する、もしも、任意のコンスタントベクトルたちに関するコエフィシェント(係数)たちの当該ポイントに関するコンバージェンス(収束ポイント)たちが存在する場合、その場合、当該コンバージェンス(収束ポイント)は当該コンバージェンス(収束ポイント)たちで表わされるという命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。


本体


1: 構造化された記述


ここに'構造化された記述'のルールたちがある

エンティティ(実体)たち:
\(T\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース(空間)たち }\}\)
\(V\): \(\in \{\text{ 全ての } d \text{ -ディメンショナル(次元) } \mathbb{R} \text{ ベクトルたちスペース(空間)たち }\}\)で、カノニカル(正典)トポロジーを持つもの
\(\{v_1, ..., v_n\}\): \(\subseteq V\)
\(t\): \(\in T\)
\(f\): \(: T \setminus \{t\} \to V, t' \mapsto f^j (t') v_j\)
//

ステートメント(言明)たち:
(
\(\forall j \in \{1, ..., n\} (\exists lim_{t' \to t} f^j (t'))\)
\(\implies\)
\(\exists lim_{t' \to t} f (t')\)
)
\(\implies\)
\(lim_{t' \to t} f (t') = lim_{t' \to t} f^j (t') v_j\)
//


2: 注


逆は必ずしも成立しない: 例えば、\(T = \mathbb{R}\)、\(t = 0\)、\(f (t') = cos (1 / t') v - cos (1 / t') v\)である時、\(f (t') = 0\)、したがって、\(f\)は\(0\)に関してコンバージ(収束)する、しかし、\(cos (1 / t')\)は\(0\)に関してコンバージ(収束)しない。

任意のトポロジカルスペース(空間)マイナス任意のポイントから任意のファイナイト(有限)-ディメンショナル(次元)リアル(実)ベクトルたちスペース(空間)でカノニカル(正典)トポロジーを持つものの中への任意のマップ(写像)に対して、当該マップ(写像)の、当該ポイントに関するコンバージェンス(収束ポイント)は存在する、もしも、当該コンポーネントマップ(写像)たち(任意のベーシス(基底)に関して)の当該ポイントに関するコンバージェンス(収束ポイント)たちが存在する場合、そしてその場合に限って、そして、その場合、当該コンバージェンス(収束ポイント)は当該コンバージェンス(収束ポイント)たちで表わされるという命題と比較のこと。


3: 証明


全体戦略: ステップ1: \(lim_{t' \to t} f^j (t')\)は存在すると仮定し、それを\(v^j\)と表わす; ステップ2: \(lim_{t' \to t} f (t')\)が存在し\(v^j v_j\)に等しいことを見る。

ステップ0:

\(V\)はハウスドルフであることに留意する。

\(lim_{t' \to t} f^j (t')\)の存在を仮定することは、\(\{t\} \subseteq T\)はオープン(開)でないことを含意する、なぜなら、そうでなければ、コンバージェンス(収束ポイント)たちはユニークでないことになる: トポロジカルスペース(空間)マイナスポイントからトポロジカルスペース(空間)の中へのマップ(写像)のポイントに関するコンバージェンス(収束ポイント)の定義に対する"注"を参照のこと。

したがって、コンバージェンス(収束ポイント)たちのユニーク性について心配する必要はない。

ステップ1:

各\(j \in \{1, ..., n\}\)に対して、\(lim_{t' \to t} f^j (t')\)が存在すると仮定し、それを\(v^j\)と表わそう。

ステップ2:

\(B = \{b_1, .., b_d\}\)を\(V\)に対する任意のベーシス(基底)としよう。

\(v_j = {v_j}^l b_l\)。

\(f (t') = f^j (t') v_j = f^j (t') {v_j}^l b_l\)。

\(f^j (t')\)は\(t\)に関してコンバージ(収束)するので、各\(l \in \{1, ..., d\}\)に対して、\(f^j (t') {v_j}^l\)は\(v^j {v_j}^l\)へ\(t\)に関してコンバージ(収束)する。

任意のトポロジカルスペース(空間)マイナス任意のポイントから任意のファイナイト(有限)-ディメンショナル(次元)リアル(実)ベクトルたちスペース(空間)でカノニカル(正典)トポロジーを持つものの中への任意のマップ(写像)に対して、当該マップ(写像)の、当該ポイントに関するコンバージェンス(収束ポイント)は存在する、もしも、当該コンポーネントマップ(写像)たち(任意のベーシス(基底)に関して)の当該ポイントに関するコンバージェンス(収束ポイント)たちが存在する場合、そしてその場合に限って、そして、その場合、当該コンバージェンス(収束ポイント)は当該コンバージェンス(収束ポイント)たちで表わされるという命題によって、\(lim_{t' \to t} f (t')\)は存在し、\(v^j {v_j}^l b_l\)に等しい。

\(v^j {v_j}^l b_l = v^j v_j\)。

したがって、\(lim_{t' \to t} f (t') = v^j v_j = lim_{t' \to t} f^j (t') v_j\)。


参考資料


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