1051: トポロジカルスペース（空間）マイナス任意のポイントからファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）でカノニカル（正典）トポロジーを持つものの中へのマップ（写像）に対して、マップ（写像）の、ポイントに関するコンバージェンス（収束ポイント）は存在する、もしも、コンスタントベクトルたちに関するコエフィシェント（係数）たちのポイントに関するコンバージェンス（収束ポイント）たちが存在する場合、その場合、コンバージェンス（収束ポイント）はコンバージェンス（収束ポイント）たちで表わされる

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トポロジカルスペース（空間）マイナス任意のポイントからファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）でカノニカル（正典）トポロジーを持つものの中へのマップ（写像）に対して、マップ（写像）の、ポイントに関するコンバージェンス（収束ポイント）は存在する、もしも、コンスタントベクトルたちに関するコエフィシェント（係数）たちのポイントに関するコンバージェンス（収束ポイント）たちが存在する場合、その場合、コンバージェンス（収束ポイント）はコンバージェンス（収束ポイント）たちで表わされることの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 注
• 3: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、ファイナイト（有限）次元リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）に対するカノニカル（自然な）トポロジーの定義を知っている。
• 読者は、トポロジカルスペース（空間）マイナスポイントからトポロジカルスペース（空間）の中へのマップ（写像）のポイントに関するコンバージェンス（収束ポイント）の定義を知っている。
• 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）マイナス任意のポイントから任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）でカノニカル（正典）トポロジーを持つものの中への任意のマップ（写像）に対して、当該マップ（写像）の、当該ポイントに関するコンバージェンス（収束ポイント）は存在する、もしも、当該コンポーネントマップ（写像）たち（任意のベーシス（基底）に関して）の当該ポイントに関するコンバージェンス（収束ポイント）たちが存在する場合、そしてその場合に限って、そして、その場合、当該コンバージェンス（収束ポイント）は当該コンバージェンス（収束ポイント）たちで表わされるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）マイナス任意のポイントから任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）でカノニカル（正典）トポロジーを持つものの中への任意のマップ（写像）に対して、当該マップ（写像）の、当該ポイントに関するコンバージェンス（収束ポイント）は存在する、もしも、任意のコンスタントベクトルたちに関するコエフィシェント（係数）たちの当該ポイントに関するコンバージェンス（収束ポイント）たちが存在する場合、その場合、当該コンバージェンス（収束ポイント）は当該コンバージェンス（収束ポイント）たちで表わされるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$T$: $\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}$
$V$: $\in \{\text{ 全ての }d\text{ -ディメンショナル（次元） }\mathbb{R}\text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}$で、カノニカル（正典）トポロジーを持つもの
$\{v_1,...,v_n\}$: $\subseteq V$
$t$: $\in T$
$f$: $:T\setminus \{t\}\to V,t^{\prime }\mapsto f^j(t^{\prime })v_j$
//

ステートメント（言明）たち:
(
$\mathrm{\forall }j\in \{1,...,n\}(\mathrm{\exists }li{m}_{t^{\prime }\to t}{f}^j(t^{\prime }))$
$⟹$
$\mathrm{\exists }li{m}_{t^{\prime }\to t}f(t^{\prime })$
)
$⟹$
$li{m}_{t^{\prime }\to t}f(t^{\prime })=li{m}_{t^{\prime }\to t}{f}^j(t^{\prime })v_j$
//

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2: 注

逆は必ずしも成立しない: 例えば、$T=\mathbb{R}$、$t=0$、$f(t^{\prime })=cos(1/t^{\prime })v-cos(1/t^{\prime })v$である時、$f(t^{\prime })=0$、したがって、$f$は$0$に関してコンバージ（収束）する、しかし、$cos(1/t^{\prime })$は$0$に関してコンバージ（収束）しない。

任意のトポロジカルスペース（空間）マイナス任意のポイントから任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）でカノニカル（正典）トポロジーを持つものの中への任意のマップ（写像）に対して、当該マップ（写像）の、当該ポイントに関するコンバージェンス（収束ポイント）は存在する、もしも、当該コンポーネントマップ（写像）たち（任意のベーシス（基底）に関して）の当該ポイントに関するコンバージェンス（収束ポイント）たちが存在する場合、そしてその場合に限って、そして、その場合、当該コンバージェンス（収束ポイント）は当該コンバージェンス（収束ポイント）たちで表わされるという命題と比較のこと。

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3: 証明

全体戦略: ステップ1: $li{m}_{t^{\prime }\to t}{f}^j(t^{\prime })$は存在すると仮定し、それを$v^j$と表わす; ステップ2: $li{m}_{t^{\prime }\to t}f(t^{\prime })$が存在し$v^j{v}_j$に等しいことを見る。

ステップ0:

$V$はハウスドルフであることに留意する。

$li{m}_{t^{\prime }\to t}{f}^j(t^{\prime })$の存在を仮定することは、$\{t\}\subseteq T$はオープン（開）でないことを含意する、なぜなら、そうでなければ、コンバージェンス（収束ポイント）たちはユニークでないことになる: トポロジカルスペース（空間）マイナスポイントからトポロジカルスペース（空間）の中へのマップ（写像）のポイントに関するコンバージェンス（収束ポイント）の定義に対する"注"を参照のこと。

したがって、コンバージェンス（収束ポイント）たちのユニーク性について心配する必要はない。

ステップ1:

各$j\in \{1,...,n\}$に対して、$li{m}_{t^{\prime }\to t}{f}^j(t^{\prime })$が存在すると仮定し、それを$v^j$と表わそう。

ステップ2:

$B=\{b_1,..,b_d\}$を$V$に対する任意のベーシス（基底）としよう。

$v_j={v_j}^l{b}_l$。

$f(t^{\prime })=f^j(t^{\prime })v_j=f^j(t^{\prime }){v_j}^l{b}_l$。

$f^j(t^{\prime })$は$t$に関してコンバージ（収束）するので、各$l\in \{1,...,d\}$に対して、$f^j(t^{\prime }){v_j}^l$は$v^j{v_j}^l$へ$t$に関してコンバージ（収束）する。

任意のトポロジカルスペース（空間）マイナス任意のポイントから任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）でカノニカル（正典）トポロジーを持つものの中への任意のマップ（写像）に対して、当該マップ（写像）の、当該ポイントに関するコンバージェンス（収束ポイント）は存在する、もしも、当該コンポーネントマップ（写像）たち（任意のベーシス（基底）に関して）の当該ポイントに関するコンバージェンス（収束ポイント）たちが存在する場合、そしてその場合に限って、そして、その場合、当該コンバージェンス（収束ポイント）は当該コンバージェンス（収束ポイント）たちで表わされるという命題によって、$li{m}_{t^{\prime }\to t}f(t^{\prime })$は存在し、$v^j{v_j}^l{b}_l$に等しい。

$v^j{v_j}^l{b}_l=v^j{v}_j$。

したがって、$li{m}_{t^{\prime }\to t}f(t^{\prime })=v^j{v}_j=li{m}_{t^{\prime }\to t}{f}^j(t^{\prime })v_j$。

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参考資料

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