トポロジカルスペース（空間）マイナス任意のポイントからファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）でカノニカル（正典）トポロジーを持つものの中へのマップ（写像）に対して、マップ（写像）の、ポイントに関するコンバージェンス（収束ポイント）は存在する、もしも、コンスタントベクトルたちに関するコエフィシェント（係数）たちのポイントに関するコンバージェンス（収束ポイント）たちが存在する場合、その場合、コンバージェンス（収束ポイント）はコンバージェンス（収束ポイント）たちで表わされることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ファイナイト（有限）次元リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）に対するカノニカル（自然な）トポロジーの定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）マイナスポイントからトポロジカルスペース（空間）の中へのマップ（写像）のポイントに関するコンバージェンス（収束ポイント）の定義を知っている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）マイナス任意のポイントから任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）でカノニカル（正典）トポロジーを持つものの中への任意のマップ（写像）に対して、当該マップ（写像）の、当該ポイントに関するコンバージェンス（収束ポイント）は存在する、もしも、当該コンポーネントマップ（写像）たち（任意のベーシス（基底）に関して）の当該ポイントに関するコンバージェンス（収束ポイント）たちが存在する場合、そしてその場合に限って、そして、その場合、当該コンバージェンス（収束ポイント）は当該コンバージェンス（収束ポイント）たちで表わされるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）マイナス任意のポイントから任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）でカノニカル（正典）トポロジーを持つものの中への任意のマップ（写像）に対して、当該マップ（写像）の、当該ポイントに関するコンバージェンス（収束ポイント）は存在する、もしも、任意のコンスタントベクトルたちに関するコエフィシェント（係数）たちの当該ポイントに関するコンバージェンス（収束ポイント）たちが存在する場合、その場合、当該コンバージェンス（収束ポイント）は当該コンバージェンス（収束ポイント）たちで表わされるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(V\): \(\in \{\text{ 全ての } d \text{ -ディメンショナル（次元） } \mathbb{R} \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)で、カノニカル（正典）トポロジーを持つもの
\(\{v_1, ..., v_n\}\): \(\subseteq V\)
\(t\): \(\in T\)
\(f\): \(: T \setminus \{t\} \to V, t' \mapsto f^j (t') v_j\)
//
ステートメント（言明）たち:
(
\(\forall j \in \{1, ..., n\} (\exists lim_{t' \to t} f^j (t'))\)
\(\implies\)
\(\exists lim_{t' \to t} f (t')\)
)
\(\implies\)
\(lim_{t' \to t} f (t') = lim_{t' \to t} f^j (t') v_j\)
//
2: 注
逆は必ずしも成立しない: 例えば、\(T = \mathbb{R}\)、\(t = 0\)、\(f (t') = cos (1 / t') v - cos (1 / t') v\)である時、\(f (t') = 0\)、したがって、\(f\)は\(0\)に関してコンバージ（収束）する、しかし、\(cos (1 / t')\)は\(0\)に関してコンバージ（収束）しない。
任意のトポロジカルスペース（空間）マイナス任意のポイントから任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）でカノニカル（正典）トポロジーを持つものの中への任意のマップ（写像）に対して、当該マップ（写像）の、当該ポイントに関するコンバージェンス（収束ポイント）は存在する、もしも、当該コンポーネントマップ（写像）たち（任意のベーシス（基底）に関して）の当該ポイントに関するコンバージェンス（収束ポイント）たちが存在する場合、そしてその場合に限って、そして、その場合、当該コンバージェンス（収束ポイント）は当該コンバージェンス（収束ポイント）たちで表わされるという命題と比較のこと。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(lim_{t' \to t} f^j (t')\)は存在すると仮定し、それを\(v^j\)と表わす; ステップ2: \(lim_{t' \to t} f (t')\)が存在し\(v^j v_j\)に等しいことを見る。
ステップ0:
\(V\)はハウスドルフであることに留意する。
\(lim_{t' \to t} f^j (t')\)の存在を仮定することは、\(\{t\} \subseteq T\)はオープン（開）でないことを含意する、なぜなら、そうでなければ、コンバージェンス（収束ポイント）たちはユニークでないことになる: トポロジカルスペース（空間）マイナスポイントからトポロジカルスペース（空間）の中へのマップ（写像）のポイントに関するコンバージェンス（収束ポイント）の定義に対する"注"を参照のこと。
したがって、コンバージェンス（収束ポイント）たちのユニーク性について心配する必要はない。
ステップ1:
各\(j \in \{1, ..., n\}\)に対して、\(lim_{t' \to t} f^j (t')\)が存在すると仮定し、それを\(v^j\)と表わそう。
ステップ2:
\(B = \{b_1, .., b_d\}\)を\(V\)に対する任意のベーシス（基底）としよう。
\(v_j = {v_j}^l b_l\)。
\(f (t') = f^j (t') v_j = f^j (t') {v_j}^l b_l\)。
\(f^j (t')\)は\(t\)に関してコンバージ（収束）するので、各\(l \in \{1, ..., d\}\)に対して、\(f^j (t') {v_j}^l\)は\(v^j {v_j}^l\)へ\(t\)に関してコンバージ（収束）する。
任意のトポロジカルスペース（空間）マイナス任意のポイントから任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）でカノニカル（正典）トポロジーを持つものの中への任意のマップ（写像）に対して、当該マップ（写像）の、当該ポイントに関するコンバージェンス（収束ポイント）は存在する、もしも、当該コンポーネントマップ（写像）たち（任意のベーシス（基底）に関して）の当該ポイントに関するコンバージェンス（収束ポイント）たちが存在する場合、そしてその場合に限って、そして、その場合、当該コンバージェンス（収束ポイント）は当該コンバージェンス（収束ポイント）たちで表わされるという命題によって、\(lim_{t' \to t} f (t')\)は存在し、\(v^j {v_j}^l b_l\)に等しい。
\(v^j {v_j}^l b_l = v^j v_j\)。
したがって、\(lim_{t' \to t} f (t') = v^j v_j = lim_{t' \to t} f^j (t') v_j\)。
