ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、ベーシス（基底）たちの変更に関するベクトルのコンポーネントたちのトランジション（遷移）はこれであることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、%フィールド（体）名%ベクトルたちスペース（空間）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、ベーシス（基底）たちの任意の変更に関する任意のベクトルのコンポーネントたちのトランジション（遷移）はこれであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
\(V\): \(\in \{\text{ 全ての } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(B\): \(\in \{V \text{ に対する全てのベーシス（基底）たち }\} = \{b_s \vert 1 \le s \le dim V\}\)
\(B'\): \(\in \{V \text{ に対する全てのベーシス（基底）たち }\} = \{b'_s = b_j M_s^j \vert 1 \le s \le dim V\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\forall v = v^j b_j = v'^j b'_j \in V\)
(
\(v'^j = {M^{-1}}^j_l v^l\)
)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(b'_j v'^j = b_j v^j\)に対して、\(b'_j\)を\(b_l\)たちで展開して、両辺上の\(b_l\)たちのコエフィシェント（係数）たちを比較する。
ステップ1:
\(b'_j v'^j = b_j v^j\)から、\(b'_j v'^j = b'_l v'^l = b_j M_l^j v'^l = b_j v^j\)。
したがって、\(M_l^j v'^l = v^j\)。
したがって、\(v'^j = {M^{-1}}^j_l v^l\)。
