2025年3月2日日曜日

1024: フィールド（体）上方のk個のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たちのテンソルプロダクト（積）に対して、ベクトルたちスペース（空間）たちに対するベーシス（基底）たちに関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）たちのトランジション（遷移）はこれである

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フィールド（体）上方のk個のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たちのテンソルプロダクト（積）に対して、ベクトルたちスペース（空間）たちに対するベーシス（基底）たちに関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）たちのトランジション（遷移）はこれであることの記述/証明

話題


About: ベクトルたちスペース（空間）

この記事の目次

開始コンテキスト

ターゲットコンテキスト



  • 読者は、任意のフィールド（体）上方の任意のk個のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たちのテンソルプロダクト（積）に対して、当該ベクトルたちスペース（空間）たちに対する任意のベーシス（基底）たちに関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）たちのトランジション（遷移）はこれであるという命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

本体

1: 構造化された記述


ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
F: ∈{ 全てのフィールド（体）たち }
{V1,...,Vk}: ⊆{ 全てのファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元） F ベクトルたちスペース（空間）たち }
V1⊗...⊗Vk: = 当該テンソルプロダクト（積） 
{B1,...,Bk}: Bj∈{Vj に対する全てのベーシス（基底）たち }={bjl|1≤l≤dimVj}
{B1′,...,Bk′}: Bj′∈{ に対する全てのベーシス（基底）たち Vj}={bj′l|1≤l≤dimVj}
B: ={[((b1l1,...,bklk))]|bjlj∈Bj}, ∈{ に対する全てのベーシス（基底）たち V1⊗...⊗Vk}
B′: ={[((b1′l1,...,bk′lk))]|bj′lj∈Bj′}, ∈{ に対する全てのベーシス（基底）たち V1⊗...⊗Vk}
//

ステートメント（言明）たち:
bj′l=bjmMjlm
⟹
[((b1′l1,...,bk′lk))]=[((b1m1,...,bkmk))]M1l1m1...Mklkmk
//

2: 証明


全体戦略: ステップ1: BおよびB′はV1⊗...⊗Vkに対するベーシス（基底）たちであることを見る; Step 2: 本命題を結論する。

ステップ1:

BおよびB′は本当にV1⊗...⊗Vkに対するベーシス（基底）たちである、任意のk個のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たちのテンソルプロダクト（積）は任意のベーシス（基底）要素たちによってインデュースト（誘導された）クラスたちから構成されるベーシス（基底）を持つという命題によって。

ステップ2:

[((b1′l1,...,bk′lk))]=[((b1m1M1l1m1,...,bkmkMklkmk))]。

一般的な次の事実に注意する、[((v1,...,rvj+r′vj′,...,vk))]=r[((v1,...,vj,...,vk))]+r′[((v1,...,vj′,...,vk))]: フィールド（体）上方のk個のベクトルたちスペース（空間）たちのテンソルプロダクト（積）の定義に対する"注"を参照のこと。

したがって、[((b1m1M1l1m1,...,bkmkMklkmk))]=[((b1m1,...,bkmk))]M1l1m1...Mklkmk。

参考資料
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