フィールド（体）上方の\(k\)個のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たちのテンソルプロダクト（積）に対して、ベクトルたちスペース（空間）たちに対するベーシス（基底）たちに関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）たちのトランジション（遷移）はこれであることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のフィールド（体）上方の任意の\(k\)個のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たちのテンソルプロダクト（積）に対して、当該ベクトルたちスペース（空間）たちに対する任意のベーシス（基底）たちに関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）たちのトランジション（遷移）はこれであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
\(\{V_1, ..., V_k\}\): \(\subseteq \{\text{ 全てのファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元） } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(V_1 \otimes ... \otimes V_k\): \(= \text{ 当該テンソルプロダクト（積） }\)
\(\{B_1, ..., B_k\}\): \(B_j \in \{V_j \text{ に対する全てのベーシス（基底）たち }\} = \{{b_j}_l \vert 1 \le l \le dim V_j\}\)
\(\{B'_1, ..., B'_k\}\): \(B'_j \in \{\text{ に対する全てのベーシス（基底）たち } V_j\} = \{{b'_j}_l \vert 1 \le l \le dim V_j\}\)
\(B\): \(= \{[(({b_1}_{l_1}, ..., {b_k}_{l_k}))] \vert {b_j}^{l_j} \in B_j\}\), \(\in \{\text{ に対する全てのベーシス（基底）たち } V_1 \otimes ... \otimes V_k\}\)
\(B'\): \(= \{[(({b'_1}_{l_1}, ..., {b'_k}_{l_k}))] \vert {b'_j}^{l_j} \in B'_j\}\), \(\in \{\text{ に対する全てのベーシス（基底）たち } V_1 \otimes ... \otimes V_k\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\({b'_j}_l = {b_j}_m {M_j}^m_l\)
\(\implies\)
\([(({b'_1}_{l_1}, ..., {b'_k}_{l_k}))] = [(({b_1}_{m_1}, ..., {b_k}_{m_k}))] {M_1}^{m_1}_{l_1} ... {M_k}^{m_k}_{l_k}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(B\)および\(B'\)は\(V_1 \otimes ... \otimes V_k\)に対するベーシス（基底）たちであることを見る; Step 2: 本命題を結論する。
ステップ1:
\(B\)および\(B'\)は本当に\(V_1 \otimes ... \otimes V_k\)に対するベーシス（基底）たちである、任意の\(k\)個のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たちのテンソルプロダクト（積）は任意のベーシス（基底）要素たちによってインデュースト（誘導された）クラスたちから構成されるベーシス（基底）を持つという命題によって。
ステップ2:
\([(({b'_1}_{l_1}, ..., {b'_k}_{l_k}))] = [(({b_1}_{m_1} {M_1}^{m_1}_{l_1}, ..., {b_k}_{m_k} {M_k}^{m_k}_{l_k}))]\)。
一般的な次の事実に注意する、\([((v_1, ..., r v_j+ r' v'_j, ..., v_k))] = r [((v_1, ..., v_j, ..., v_k))] + r' [((v_1, ..., v'_j, ..., v_k))]\): フィールド（体）上方の\(k\)個のベクトルたちスペース（空間）たちのテンソルプロダクト（積）の定義に対する"注"を参照のこと。
したがって、\([(({b_1}_{m_1} {M_1}^{m_1}_{l_1}, ..., {b_k}_{m_k} {M_k}^{m_k}_{l_k}))] = [(({b_1}_{m_1}, ..., {b_k}_{m_k}))] {M_1}^{m_1}_{l_1} ... {M_k}^{m_k}_{l_k}\)。
