テンソルたちスペース（空間）またはベクトルたちスペース（空間）たちのテンソルプロダクト（積）に対して、スタンダード（標準）ベーシス（基底）たちまたはコンポーネントたちのトランジション（遷移）はスクウェアマトリックス（正方行列）である、そして、インバース（逆）はインバース（逆）たちのプロダクト（積）であることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、フィールド（体）、フィールド（体）上方のk個のベクトルたちスペース（空間）たちおよびベクトルたちスペース（空間）に関するテンソルたちスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、フィールド（体）上方の\(k\)個のベクトルたちスペース（空間）たちのテンソルプロダクト（積）の定義を知っている。
- 読者は、任意のフィールド（体）、当該フィールド（体）上方の任意のk個のベクトルたちスペース（空間）たちに対して、当該フィールド（体）、当該ベクトルたちスペース（空間）たち、当該フィールド（体）に関するテンソルたちスペース（空間）は、ベーシス（基底）で当該ベクトルたちスペース（空間）たちの任意のベーシス（基底）たちのデュアルベーシス（基底）たちの全ての要素たちの全てのテンソルプロダクト（積）たちから構成されるものを持つという命題を認めている。
- 読者は、任意の\(k\)個のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たちのテンソルプロダクト（積）は任意のベーシス（基底）要素たちによってインデュースト（誘導された）クラスたちから構成されるベーシス（基底）を持つという命題を認めている。
- 読者は、任意のフィールド（体）、当該フィールド（体）上方の\(k\)個の任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たち、当該フィールド（体）に関するテンソルたちスペース（空間）に対して、当該ベクトルたちスペース（空間）たちに対する任意のベーシス（基底）たちに関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）たちのトランジション（遷移）はこれであるという命題を認めている。
- 読者は、任意のフィールド（体）上方の任意の\(k\)個のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たちのテンソルプロダクト（積）に対して、当該ベクトルたちスペース（空間）たちに対する任意のベーシス（基底）たちに関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）たちのトランジション（遷移）はこれであるという命題を認めている。
- 読者は、任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、ベーシス（基底）たちの任意の変更に関する任意のベクトルのコンポーネントたちのトランジション（遷移）はこれであるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のフィールド（体）、任意のファイナイト（有限）数ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）当該フィールド（体）ベクトルたちスペース（空間）たち、当該フィールド（体）に関するテンソルたちスペース（空間）または任意のフィールド（体）上方の任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たちのテンソルプロダクト（積）に対して、任意のスタンダード（標準）ベーシス（基底）たちまたはコンポーネントたちのトランジション（遷移）はスクウェアマトリックス（正方行列）である、そして、当該インバース（逆）マトリックス（行列）は当該インバース（逆）たちのプロダクト（積）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
\(\{V_1, ..., V_k\}\): \(\subseteq \{\text{ 全てのファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元） } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(L (V_1, ..., V_k: F)\): \(= \text{ 当該テンソルたちスペース（空間） }\)
\(V_1 \otimes ... \otimes V_k\): \(= \text{ 当該テンソルプロダクト（積） }\)
\(\{B_1, ..., B_k\}\): \(B_j \in \{V_j \text{ の全てのベーシス（基底）たち }\} = \{{b_j}_l \vert 1 \le l \le dim V_j\}\)
\(\{B'_1, ..., B'_k\}\): \(B'_j \in \{V_j \text{ の全てのベーシス（基底）たち } \} = \{{b'_j}_l \vert 1 \le l \le dim V_j\}\)
\(\{B^*_1, ..., B^*_k\}\): \(B^*_j = B_j \text{ のデュアルベーシス（基底） } = \{{b_j}^l \vert 1 \le l \le dim V_j\}\)
\(\{B'^*_1, ..., B'^*_k\}\): \(B'^*_j = B'_j \text{ のデュアルベーシス（基底） } = \{{b'_j}^l \vert 1 \le l \le dim V_j\}\)
\(B^*\): \(= \{{b_1}^{j_1} \otimes ... \otimes {b_k}^{j_k} \vert {b_l}^{j_l} \in B^*_l\}\), \(\in \{\text{ に対する全てのベーシス（基底）たち } L (V_1, ..., V_k: F)\}\)
\(B'^*\): \(= \{{b'_1}^{j_1} \otimes ... \otimes {b'_k}^{j_k} \vert {b'_l}^{j_l} \in B'^*_l\}\), \(\in \{\text{ に対する全てのベーシス（基底）たち } L (V_1, ..., V_k: F)\}\)
\(B\): \(= \{[(({b_1}_{j_1}, ..., {b_k}_{j_k}))] \vert {b_l}_{j_l} \in B_l\}\), \(\in \{\text{ に対する全てのベーシス（基底）たち } V_1 \otimes ... \otimes V_k\}\)
\(B'\): \(= \{[(({b'_1}_{j_1}, ..., {b'_k}_{j_k}))] \vert {b'_l}_{j_l} \in B'_l\}\), \(\in \{\text{ に対する全てのベーシス（基底）たち } V_1 \otimes ... \otimes V_k\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\({b'_j}_l = {b_j}_m {M_j}^m_l\)
\(\implies\)
(
(
\({b'_1}^{j_1} \otimes ... \otimes {b'_k}^{j_k} = {{M_1}^{-1}}^{j_1}_{l_1} ... {{M_k}^{-1}}^{j_k}_{l_k} {b_1}^{l_1} \otimes ... \otimes {b_k}^{l_k}\)
\(\land\)
\(M^{j_1, ..., j_k}_{l_1, ..., l_k} := {{M_1}^{-1}}^{j_1}_{l_1} ... {{M_k}^{-1}}^{j_k}_{l_k}\)はスクウェアマトリックス（正方行列）である
\(\land\)
\({M^{-1}}^{j_1, ..., j_k}_{l_1, ..., l_k} = {M_1}^{j_1}_{l_1} ... {M_k}^{j_k}_{l_k}\)
)
\(\land\)
(
\([(({b'_1}_{j_1}, ..., {b'_k}_{j_k}))] = [(({b_1}_{l_1}, ..., {b_k}_{l_k}))] {M_1}^{l_1}_{j_1} ... {M_k}^{l_k}_{j_k}\)
\(\land\)
\(M^{l_1, ..., l_k}_{j_1, ..., j_k} := {M_1}^{l_1}_{j_1} ... {M_k}^{l_k}_{j_k}\)はスクウェアマトリックス（正方行列）である
\(\land\)
\({M^{-1}}^{l_1, ..., l_k}_{j_1, ..., j_k} = {{M_1}^{-1}}^{l_1}_{j_1} ... {{M_k}^{-1}}^{l_k}_{j_k}\)
)
)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(L (V_1, ..., V_k: F)\)に対する当該ベーシス（基底）たちに対するトランジション（遷移）が成立することを見る; ステップ2: \(M^{j_1, ..., j_k}_{l_1, ..., l_k}\)はスクウェアマトリックス（正方行列）であることを見る; ステップ3: \(M^{j_1, ..., j_k}_{l_1, ..., l_k}\)のインバース（逆）は主張されている通りであることを見る; ステップ4: \(V_1 \otimes ... \otimes V_k\)に対する当該ベーシス（基底）たちに対するトランジション（遷移）が成立することを見る; ステップ5: \(M^{l_1, ..., l_k}_{j_1, ..., j_k}\)はスクウェアマトリックス（正方行列）であることを見る; ステップ6: \(M^{l_1, ..., l_k}_{j_1, ..., j_k}\)のインバース（逆）は主張されている通りであることを見る; ステップ7: 当該コンポーネントたちトランジション（遷移）たちもスクウェアマトリックス（正方行列）たちであることを見る。
ステップ1:
\(B^*\)および\(B'^*\)は本当に\(L (V_1, ..., V_k: F)\)に対するベーシス（基底）たちである、任意のフィールド（体）、当該フィールド（体）上方の任意のk個のベクトルたちスペース（空間）たちに対して、当該フィールド（体）、当該ベクトルたちスペース（空間）たち、当該フィールド（体）に関するテンソルたちスペース（空間）は、ベーシス（基底）で当該ベクトルたちスペース（空間）たちの任意のベーシス（基底）たちのデュアルベーシス（基底）たちの全ての要素たちの全てのテンソルプロダクト（積）たちから構成されるものを持つという命題によって。
\({b'_1}^{j_1} \otimes ... \otimes {b'_k}^{j_k} = {{M_1}^{-1}}^{j_1}_{l_1} ... {{M_k}^{-1}}^{j_k}_{l_k} {b_1}^{l_1} \otimes ... \otimes {b_k}^{l_k}\)は成立する、任意のフィールド（体）、当該フィールド（体）上方の\(k\)個の任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たち、当該フィールド（体）に関するテンソルたちスペース（空間）に対して、当該ベクトルたちスペース（空間）たちに対する任意のベーシス（基底）たちに関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）たちのトランジション（遷移）はこれであるという命題によって。
ステップ2:
\(M^{j_1, ..., j_k}_{l_1, ..., l_k}\)は、マトリックス（行列）のように見えないかもしれない、\(k = 1\)でなければ、なぜなら、それはマルチ-ディメンショナル（次元）アレイ（配列）である。
しかし、コンビネーションたちのセット（集合）\(J := \{(j_1, ..., j_k) \vert 1 \le j_1 \le dim V_1, ..., 1 \le j_k \le dim V_k\}\)、そのオーダーは\(dim V_1 * ... * dim V_k\)である、は、単一インデックスセット（集合）と見なすことができる。そして、\(J = \{(l_1, ..., l_k) \vert 1 \le l_1 \le dim V_1, ..., 1 \le l_k \le dim V_k\}\)は単一インデックスセット（集合）と見なすことができる。
したがって、\(M^{j_1, ..., j_k}_{l_1, ..., l_k}\)は、\((dim V_1 * ... * dim V_k) \times (dim V_1 * ... * dim V_k)\)スクウェアマトリックス（正方行列）と見なすことができる: 当該インデックス\(J\)の順序は恣意的に選ぶことができる、例えば、\((1, ..., 1), (1, ..., 2), ..., (dim V_1, ..., dim V_k)\)、それは、最も自然なものである。
\({b'_1}^{j_1} \otimes ... \otimes {b'_k}^{j_k}\)および\({b_1}^{l_1} \otimes ... \otimes {b_k}^{l_k}\)も\(J\)の選択された順序でもってコラム（列）ベクトル（一種のマトリックス（行列））と見なすことができる。
すると、\({b'_1}^{j_1} \otimes ... \otimes {b'_k}^{j_k} = M^{j_1, ..., j_k}_{l_1, ..., l_k} {b_1}^{l_1} \otimes ... \otimes {b_k}^{l_k}\)は、スクウェアマトリックス（正方行列）とコラム（列）ベクトルの通常のマルチプリケーション（積）である。
実のところ、それは自然である、なぜなら、それは、あるベクトルたちスペース（空間）に対するベーシス（基底）たちのトランジション（遷移）であり、私たちは当該ベーシス（基底）\(B^*\)を\(\{{b_1}^{j_1} \otimes ... \otimes {b_k}^{j_k}\}\)と記す（単に、それが各要素が何であるかを明確するのに便利であるという理由によって）が、実のところ、当該ベーシス（基底）は\(\{e^1, ..., e^{dim V_1 * ... * dim V_k}\}\)のように記すこともできる。
任意の他のマトリックス（行列）\(N^{m_1, ..., m_k}_{j_1, ..., j_k}\)（\(J\)の選択された順序を持って）に対して、\(N^{m_1, ..., m_k}_{j_1, ..., j_k} M^{j_1, ..., j_k}_{l_1, ..., l_k}\)はスクウェアマトリックス（正方行列）たちの通常のマルチプリケーション（積）である。
ステップ3:
なぜ私たちは\(M^{j_1, ..., j_k}_{l_1, ..., l_k}\)をスクウェアマトリックス（正方行列）と見なしたいかという理由は、そのインバース（逆）を取りたいこと、なぜそのインバース（逆）を取りたいかという理由は、当該インバース（逆）は当該コンポーネントたちのトランジション（遷移）を表わすこと、任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、ベーシス（基底）たちの任意の変更に関する任意のベクトルのコンポーネントたちのトランジション（遷移）はこれであるという命題によって: それは確かにインバース（逆）を持つ、なぜなら、それはベーシス（基底）たちのトランジション（遷移）である。
\(M^{j_1, ..., j_k}_{l_1, ..., l_k}\)のインバース（逆）は、以下を満たすマトリックス（行列）\(N^{m_1, ..., m_k}_{j_1, ..., j_k}\)、つまり、\(N^{m_1, ..., m_k}_{j_1, ..., j_k} M^{j_1, ..., j_k}_{l_1, ..., l_k} = \delta^{m_1}_{l_1} ... \delta^{m_k}_{l_k}\)、である: 逆順のプロダクト（積）は自動的に\(I\)であると保証されている、なぜなら、\(M^{j_1, ..., j_k}_{l_1, ..., l_k}\)はインバーティブル（可逆）であると私たちは知っている: \(N M = I\)から\(M N = M N M M^{-1} = M I M^{-1} = I\)。
\({M_1}^{m_1}_{j_1} ... {M_k}^{m_k}_{j_k}\)、それは、\((dim V_1 * ... * dim V_k) \times (dim V_1 * ... * dim V_k)\)マトリックス（行列）である、がある。
\({M_1}^{m_1}_{j_1} ... {M_k}^{m_k}_{j_k} M^{j_1, ..., j_k}_{l_1, ..., l_k} = {M_1}^{m_1}_{j_1} ... {M_k}^{m_k}_{j_k} {{M_1}^{-1}}^{j_1}_{l_1} ... {{M_k}^{-1}}^{j_k}_{l_k} = {M_1}^{m_1}_{j_1} {{M_1}^{-1}}^{j_1}_{l_1} ... {M_k}^{m_k}_{j_k} ... {{M_k}^{-1}}^{j_k}_{l_k} = \delta^{m_1}_{l_1} ... \delta^{m_k}_{l_k}\)、それが意味するのは、\({M_1}^{m_1}_{j_1} ... {M_k}^{m_k}_{j_k}\)は\(M^{j_1, ..., j_k}_{l_1, ..., l_k}\)のインバース（逆）であるということ。
したがって、\({M^{-1}}^{j_1, ..., j_k}_{l_1, ..., l_k} = {M_1}^{j_1}_{l_1} ... {M_k}^{j_k}_{l_k}\)。
\({M^{-1}}^{j_1, ..., j_k}_{l_1, ..., l_k}\)は、テンソルコンポーネントたちのトランジション（遷移）を表わす、任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、ベーシス（基底）たちの任意の変更に関する任意のベクトルのコンポーネントたちのトランジション（遷移）はこれであるという命題によって。
ステップ4:
\(B\)および\(B'\)は本当に\(V_1 \otimes ... \otimes V_k\)に対するベーシス（基底）たちである、任意の\(k\)個のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たちのテンソルプロダクト（積）は任意のベーシス（基底）要素たちによってインデュースト（誘導された）クラスたちから構成されるベーシス（基底）を持つという命題によって。
\([(({b'_1}_{j_1}, ..., {b'_k}_{j_k}))] = [(({b_1}_{l_1}, ..., {b_k}_{l_k}))] {M_1}^{l_1}_{j_1} ... {M_k}^{l_k}_{j_k}\)が成立する、任意のフィールド（体）上方の任意の\(k\)個のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たちのテンソルプロダクト（積）に対して、当該ベクトルたちスペース（空間）たちに対する任意のベーシス（基底）たちに関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）たちのトランジション（遷移）はこれであるという命題によって。
ステップ5:
\(M^{l_1, ..., l_k}_{j_1, ..., j_k}\)は、マトリックス（行列）のように見えないかもしれない、\(k = 1\)でなければ、なぜなら、それはマルチ-ディメンショナル（次元）アレイ（配列）である。
しかし、コンビネーションたちのセット（集合）\(J := \{(j_1, ..., j_k) \vert 1 \le j_1 \le dim V_1, ..., 1 \le j_k \le dim V_k\}\)、そのオーダーは\(dim V_1 * ... * dim V_k\)である、は、単一インデックスセット（集合）と見なすことができる。そして、\(J = \{(l_1, ..., l_k) \vert 1 \le l_1 \le dim V_1, ..., 1 \le l_k \le dim V_k\}\)は単一インデックスセット（集合）と見なすことができる。
したがって、\(M^{l_1, ..., l_k}_{j_1, ..., j_k}\)は、\((dim V_1 * ... * dim V_k) \times (dim V_1 * ... * dim V_k)\)スクウェアマトリックス（正方行列）と見なすことができる: 当該インデックス\(J\)の順序は恣意的に選ぶことができる、例えば、\((1, ..., 1), (1, ..., 2), ..., (dim V_1, ..., dim V_k)\)、それは、最も自然なものである。
\([(({b'_1}_{j_1}, ..., {b'_k}_{j_k}))]\)および\([(({b_1}_{l_1}, ..., {b_k}_{l_k}))]\)も\(J\)の選択された順序でもってロー（行）ベクトル（一種のマトリックス（行列））と見なすことができる。
すると、\([(({b'_1}_{j_1}, ..., {b'_k}_{j_k}))] = [(({b_1}_{l_1}, ..., {b_k}_{l_k}))] M^{l_1, ..., l_k}_{j_1, ..., j_k}\)は、スクウェアマトリックス（正方行列）とロー（行）ベクトルの通常のマルチプリケーション（積）である。
実のところ、それは自然である、なぜなら、それは、あるベクトルたちスペース（空間）に対するベーシス（基底）たちのトランジション（遷移）であり、私たちは当該ベーシス（基底）\(B\)を\(\{[(({b_1}_{j_1}, ..., {b_k}_{j_k}))]\}\)と記す（単に、それが各要素が何であるかを明確するのに便利であるという理由によって）が、実のところ、当該ベーシス（基底）は\(\{e_1, ..., e_{dim V_1 * ... * dim V_k}\}\)のように記すこともできる。
任意の他のマトリックス（行列）\(N^{m_1, ..., m_k}_{l_1, ..., l_k}\)（\(J\)の選択された順序を持って）に対して、\(N^{m_1, ..., m_k}_{l_1, ..., l_k} M^{l_1, ..., l_k}_{j_1, ..., j_k}\)はスクウェアマトリックス（正方行列）たちの通常のマルチプリケーション（積）である。
ステップ6:
なぜ私たちは\(M^{l_1, ..., l_k}_{j_1, ..., j_k}\)をスクウェアマトリックス（正方行列）と見なしたいかという理由は、そのインバース（逆）を取りたいこと、なぜそのインバース（逆）を取りたいかという理由は、当該インバース（逆）は当該コンポーネントたちのトランジション（遷移）を表わすこと: それは確かにインバース（逆）を持つ、なぜなら、それはベーシス（基底）たちのトランジション（遷移）である。
\(M^{l_1, ..., l_k}_{j_1, ..., j_k}\)のインバース（逆）は、以下を満たすマトリックス（行列）\(N^{m_1, ..., m_k}_{l_1, ..., l_k}\)、つまり、\(N^{m_1, ..., m_k}_{l_1, ..., l_k} M^{l_1, ..., l_k}_{j_1, ..., j_k} = \delta^{m_1}_{j_1} ... \delta^{m_k}_{j_k}\): 、である: 逆順のプロダクト（積）は自動的に\(I\)であると保証されている、なぜなら、\(M^{l_1, ..., l_k}_{j_1, ..., j_k}\)はインバーティブル（可逆）であると私たちは知っている。
\({{M_1}^{-1}}^{m_1}_{l_1} ... {{M_k}^{-1}}^{m_k}_{l_k}\)、それは、\((dim V_1 * ... * dim V_k) \times (dim V_1 * ... * dim V_k)\)マトリックス（行列）である、がある。
\({{M_1}^{-1}}^{m_1}_{l_1} ... {{M_k}^{-1}}^{m_k}_{l_k} M^{l_1, ..., l_k}_{j_1, ..., j_k} = {{M_1}^{-1}}^{m_1}_{l_1} ... {{M_k}^{-1}}^{m_k}_{l_k} {M_1}^{l_1}_{j_1} ... {M_k}^{l_k}_{j_k} = {{M_1}^{-1}}^{m_1}_{l_1} {M_1}^{l_1}_{j_1} ... {{M_k}^{-1}}^{m_k}_{l_k} ... {M_k}^{l_k}_{j_k} = \delta^{m_1}_{j_1} ... \delta^{m_k}_{j_k}\)、それが意味するのは、\({{M_1}^{-1}}^{m_1}_{l_1} ... {{M_k}^{-1}}^{m_k}_{l_k}\)は\(M^{l_1, ..., l_k}_{j_1, ..., j_k}\)のインバース（逆）であるということ。
したがって、\({M^{-1}}^{l_1, ..., l_k}_{j_1, ..., j_k} = {{M_1}^{-1}}^{l_1}_{j_1} ... {{M_k}^{-1}}^{l_k}_{j_k}\)。
\({M^{-1}}^{l_1, ..., l_k}_{j_1, ..., j_k}\)は、テンソルコンポーネントたちのトランジション（遷移）を表わす、任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、ベーシス（基底）たちの任意の変更に関する任意のベクトルのコンポーネントたちのトランジション（遷移）はこれであるという命題によって。
ステップ7:
したがって、私たちは当該コンポーネントたちトランジション（遷移）\({M^{-1}}^{j_1, ..., j_k}_{l_1, ..., l_k}\)および\({M^{-1}}^{l_1, ..., l_k}_{j_1, ..., j_k}\)を得た、それらも同様にマトリックス（行列）たちであり、当該インバース（逆）たちは\(M^{j_1, ..., j_k}_{l_1, ..., l_k}\)および\(M^{l_1, ..., l_k}_{j_1, ..., j_k}\)である。
3: 注
私たちは、ベーシス（基底）たちのトランジション（遷移）またはコンポーネントたちのトランジション（遷移）について話しているのであって、テンソルコンポーネントたちそのものについて話しているのではない: 例えば、あるテンソル\(t \in L ({V_1}^*, ..., {V_k}^*, V_1, ..., V_k: F)\)に対して、\(t\)はあるスタンダード（標準）ベーシス（基底）に関するコンポーネントたちで\(t^{j_1, ..., j_k}_{l_1, ..., l_k}\)と表現できる、それは、形の上では\(M^{j_1, ..., j_k}_{l_1, ..., l_k}\)に似ている、しかし、それをマトリックス（行列）と見なすことはそう自然ではない: \(t (v^1, ... v^k, v_1, ..., v_k) = t^{j_1, ..., j_k}_{l_1, ..., l_k} {v^1}_{j_1} ... {v^k}_{j_k} {v_1}^{l_1} ... {v_k}^{l_k}\)のことを考えると、それをマトリックス（行列）とコラム（列）ベクトルのマルチプリケーション（積）と見なすためには、当該コラム（列）ベクトルは\(({v^1}_1 ... {v^k}_1 {v_1}^1 ... {v_k}^1, {v^1}_1 ... {v^k}_1 {v_1}^1 ... {v_k}^2, ..., {v^1}_{dim V_1} ... {v^k}_{dim V_k} {v_1}^{dim V_1} ... {v_k}^{dim V_k})^t\)のようになるだろう、\(({v_1}_1, ..., {v_1}_{dim V_1}, ..., {v_k}^1, ..., {v_k}^{dim V_k})\)のようにではなく、それは、特に意味があるわけではないかもしれない（もしも、あなたの状況にそれが意味をなすのであれば、勿論、それはそれでよい）。
それに意味があるわけではないかもしれない理由は、\(t\)は一般にリニアマップ（線形写像）でないこと（マルチリニアマップ（多重線形写像）は必ずしもリニア（線形）ではないという命題を参照のこと）: \(t\)は\(: V_1^{*} \times ... \times V_k^{*} \times V_1 \times ... \times V_k \to F\)、ある\((2 (dim V_1 + ... + dim V_k))\)-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）から\(F\)の中への非リニアマップ（線形写像）であり、当該\((dim V_1 * ... * dim V_k)^2 \times (dim V_1 * ... * dim V_k)^2\)マトリックス（行列）のことを考えることは、一般的に意味がない。
勿論、任意のマトリックス（行列）は単に何らかのリング（環）要素たちを並べたものであり、\(t^{j_1, ..., j_k}_{l_1, ..., l_k}\)をマトリックス（行列）と見なすことは常に可能である、もしも、あなたがそう欲するのであれば。
