1055: ファイナイト（有限）-プロダクトC∞マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、およびタンジェント（接）ベクトルたちスペース（空間）からタンジェント（接）ベクトルたちスペース（空間）たちのダイレクトサムの上への'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）に対して、タンジェント（接）ベクトルはファンクション（関数）に、ベクトルたちがプロジェクテッド（射影された）ファンクション（関数）たちへオペレート（作用）したものたちのサム（合計）としてオペレート（作用）する

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ファイナイト（有限）-プロダクト$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、およびタンジェント（接）ベクトルたちスペース（空間）からタンジェント（接）ベクトルたちスペース（空間）たちのダイレクトサムの上への'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）に対して、タンジェント（接）ベクトルはファンクション（関数）に、ベクトルたちがプロジェクテッド（射影された）ファンクション（関数）たちへオペレート（作用）したものたちのサム（合計）としてオペレート（作用）することの記述/証明

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話題

About: $C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 注
• 3: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、ファイナイト（有限）-プロダクト$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、からの$C^{\mathrm{\infty }}$マップ（写像）からプロジェクテッド（射影された）$C^{\mathrm{\infty }}$マップ（写像）、ポイントに基づいて$j$-番目を除きドメイン（定義域）コンポーネントたちを固定することによって、の定義を知っている。
• 読者は、任意のファイナイト（有限）-プロダクト$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、に対して、当該マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付きの各ポイントにおいて、当該ポイントにおけるタンジェント（接）ベクトルたちスペース（空間）から構成要素たちの対応するポイントたちにおけるタンジェント（接）ベクトルたちスペース（空間）たちのダイレクトサムの上へ'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）があるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のファイナイト（有限）-プロダクト$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、および各ポイントにおけるタンジェント（接）ベクトルたちスペース（空間）から構成要素たちの対応するタンジェント（接）ベクトルたちスペース（空間）たちのダイレクトサムの上への'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）に対して、任意のタンジェント（接）ベクトルは任意のファンクション（関数）に、対応するベクトルたちがプロジェクテッド（射影された）ファンクション（関数）たちへオペレート（作用）したものたちのサム（合計）としてオペレート（作用）するという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$\{M_1,...,M_{n-1}\}$: $\subseteq \{\text{ 全ての }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ マニフォールド（多様体）たち }\}$
$M_n$: $\in \{\text{ 全ての }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}$
$M_1\times ...\times M_n$: $=\text{ 当該ファイナイト（有限）-プロダクト }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き }$
$m$: $=(m^1,...,m^n)\in M_1\times ...\times M_n$
$g$: $:T_m(M_1\times ...\times M_n)\to T_{m^1}{M}_1\oplus ...\oplus T_{m^n}{M}_n,v_m\mapsto (d{\pi }_1{v}_m,...,d{\pi }_n{v}_m)$, $=\text{ カノニカル（正典）'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像） }$
$v_m$: $\in T_m(M_1\times ...\times M_n)$
$f$: $\in C^{\mathrm{\infty }}(M_1\times ...\times M_n)$
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ステートメント（言明）たち:
$v_{m}f=\sum _{j\in \{1,...,n\}}(d{\pi }_j{v}_m)f_{j,m}$
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2: 注

私たちは、$v_m$は$(d{\pi }_1{v}_m,...,d{\pi }_n{v}_m)$に対応することを知っている、しかし、それでどうなのか？つまり、どのように、$v_{m}f$を$(d{\pi }_1{v}_m,...,d{\pi }_n{v}_m)$に関して得られるのか？明らかに、$d{\pi }_j{v}_m$は$f$にオペレート（作用）できない、なぜなら、$f$は$M_j$上のファンクション（関数）ではない。すると、何？、それが本命題の動機である。

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3: 証明

全体戦略: ステップ1: $m$の周りの任意のチャート$(U_m:=U_{m^1}\times ...\times U_{m^n}\subseteq M_1\times ...\times M_n,{\varphi }_m:={\varphi }_{m^1}\times ...\times {\varphi }_{m^n})$を取り、$v_m=v_m^{1,j_1}\partial /\partial x^{1,j_1}+...+v_m^{n,j_n}\partial /\partial x^{n,j_n}$とする; ステップ2: $v_{m}f=\sum _{j\in \{1,...,n\}}(d{\pi }_j{v}_m)f_{j,m}$であることを見る。

ステップ1:

$m$の周りの任意のチャート$(U_m:=U_{m^1}\times ...\times U_{m^n}\subseteq M_1\times ...\times M_n,{\varphi }_m:={\varphi }_{m^1}\times ...\times {\varphi }_{m^n})$、を取ろう、ここで、$(U_{m^j}\subseteq M_j,{\varphi }_{m^j})$は$m^j$の周りの$M_j$に対するチャートである、それは可能である、ファイナイト（有限）プロダクト$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付きの定義によって。

$v_m=v_m^{1,j_1}\partial /\partial x^{1,j_1}+...+v_m^{n,j_n}\partial /\partial x^{n,j_n}$。

ステップ2:

$v_{m}f=v_m^{1,j_1}\partial f/\partial x^{1,j_1}+...+v_m^{n,j_n}\partial f/\partial x^{n,j_n}$。

$(d{\pi }_l{v}_m)f_{l,m}=v_m(f_{l,m}\circ {\pi }_l)=v_m^{1,j_1}\partial (f_{l,m}\circ {\pi }_l)/\partial x^{1,j_1}+...+v_m^{n,j_n}(\partial f_{l,m}\circ {\pi }_l)/\partial x^{n,j_n}$。

$v_m^{o,j_o}\partial (f_{l,m}\circ {\pi }_l)/\partial x^{o,j_o}=v_m^{o,j_o}{\partial }_{o,j_o}(f_{l,m}\circ {\pi }_l\circ {{\varphi }_m}^{-1})$、ここで、${\partial }_{o,j_o}$は$o,j_o$コンポーネントによるパーシャルデリバティブ（偏微分）である。

$f_{l,m}\circ {\pi }_l\circ {{\varphi }_m}^{-1}$ is $(x^{\prime 1,1},...,x^{\prime 1,d_1},...,x^{\prime l,1},...,x^{\prime l,d_l},...,x^{\prime n,1},...,x^{\prime n,d_n})\mapsto (m^{\prime 1},...,m^{\prime l},...,m^{\prime n})\mapsto m^{\prime l}\mapsto f_{l,m}(m^{\prime l})=f(m^1,...,m^{\prime l},...,m^n)$。

したがって、$o\ne l$である時、$v_m^{o,j_o}{\partial }_{o,j_o}(f_{l,m}\circ {\pi }_l\circ {{\varphi }_m}^{-1})=0$、なぜなら、$f(m^1,...,m^{\prime l},...,m^n)$は$(x^{\prime o,1},...,x^{\prime o,d_o})$に依存しない。

したがって、$(d{\pi }_l{v}_m)f_{l,m}=v_m^{l,j_l}{\partial }_{l,j_l}(f_{l,m}\circ {\pi }_l\circ {{\varphi }_m}^{-1})$。

他方で、$v_m^{l,j_l}\partial f/\partial x^{l,j_l}=v_m^{l,j_l}{\partial }_{l,j_l}(f\circ {{\varphi }_m}^{-1})$。

$f\circ {{\varphi }_m}^{-1}$は$(x^{\prime 1,1},...,x^{\prime 1,d_1},...,x^{\prime l,1},...,x^{\prime l,d_l},...,x^{\prime n,1},...,x^{\prime n,d_n})\mapsto (m^{\prime 1},...,m^{\prime l},...,m^{\prime n})\mapsto f(m^{\prime 1},...,m^{\prime l},...,m^{\prime n})$である。

$f(m^1,...,m^{\prime l},...,m^n)$と$f(m^{\prime 1},...,m^{\prime l},...,m^{\prime n})$の違いは、$(m^{\prime 1},...,\widehat{m^{\prime l}},...,m^{\prime n})$が固定されているかだけであるが、$v_m^{l,j_l}{\partial }_{l,j_l}(f\circ {{\varphi }_m}^{-1}){|}_{{\varphi }_m(m)}$は$v_m^{l,j_l}{\partial }_{l,j_l}(f_{l,m}\circ {\pi }_l\circ {{\varphi }_m}^{-1}){|}_{{\varphi }_m(m)}$に等しい、なぜなら、${\partial }_{l,j_l}$は$m^{\prime l}$だけを動かす、どのみち。

したがって、$(d{\pi }_l{v}_m)f_{l,m}=v_m^{l,j_l}\partial f/\partial x^{l,j_l}$。

したがって、$v_{m}f=\sum _{j\in \{1,...,n\}}(d{\pi }_j{v}_m)f_{j,m}$。

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参考資料

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