ファイナイト（有限）-プロダクト\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、およびタンジェント（接）ベクトルたちスペース（空間）からタンジェント（接）ベクトルたちスペース（空間）たちのダイレクトサムの上への'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）に対して、タンジェント（接）ベクトルはファンクション（関数）に、ベクトルたちがプロジェクテッド（射影された）ファンクション（関数）たちへオペレート（作用）したものたちのサム（合計）としてオペレート（作用）することの記述/証明
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ファイナイト（有限）-プロダクト\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、からの\(C^\infty\)マップ（写像）からプロジェクテッド（射影された）\(C^\infty\)マップ（写像）、ポイントに基づいて\(j\)-番目を除きドメイン（定義域）コンポーネントたちを固定することによって、の定義を知っている。
- 読者は、任意のファイナイト（有限）-プロダクト\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、に対して、当該マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付きの各ポイントにおいて、当該ポイントにおけるタンジェント（接）ベクトルたちスペース（空間）から構成要素たちの対応するポイントたちにおけるタンジェント（接）ベクトルたちスペース（空間）たちのダイレクトサムの上へ'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）があるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のファイナイト（有限）-プロダクト\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、および各ポイントにおけるタンジェント（接）ベクトルたちスペース（空間）から構成要素たちの対応するタンジェント（接）ベクトルたちスペース（空間）たちのダイレクトサムの上への'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）に対して、任意のタンジェント（接）ベクトルは任意のファンクション（関数）に、対応するベクトルたちがプロジェクテッド（射影された）ファンクション（関数）たちへオペレート（作用）したものたちのサム（合計）としてオペレート（作用）するという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(\{M_1, ..., M_{n - 1}\}\): \(\subseteq \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）たち }\}\)
\(M_n\): \(\in \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)
\(M_1 \times ... \times M_n\): \(= \text{ 当該ファイナイト（有限）-プロダクト } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き }\)
\(m\): \(= (m^1, ..., m^n) \in M_1 \times ... \times M_n\)
\(g\): \(: T_m(M_1 \times ... \times M_n) \to T_{m^1}M_1 \oplus ... \oplus T_{m^n}M_n, v_m \mapsto (d \pi_1 v_m, ..., d \pi_n v_m)\), \(= \text{ カノニカル（正典）'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像） }\)
\(v_m\): \(\in T_m(M_1 \times ... \times M_n)\)
\(f\): \(\in C^{\infty} (M_1 \times ... \times M_n)\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(v_m f = \sum_{j \in \{1, ..., n\}} (d \pi_j v_m) f_{j, m}\)
//
2: 注
私たちは、\(v_m\)は\((d \pi_1 v_m, ..., d \pi_n v_m)\)に対応することを知っている、しかし、それでどうなのか？つまり、どのように、\(v_m f\)を\((d \pi_1 v_m, ..., d \pi_n v_m)\)に関して得られるのか？明らかに、\(d \pi_j v_m\)は\(f\)にオペレート（作用）できない、なぜなら、\(f\)は\(M_j\)上のファンクション（関数）ではない。すると、何？、それが本命題の動機である。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(m\)の周りの任意のチャート\((U_m := U_{m^1} \times ... \times U_{m^n} \subseteq M_1 \times ... \times M_n, \phi_m := \phi_{m^1} \times ... \times \phi_{m^n})\)を取り、\(v_m = v_m^{1, j_1} \partial / \partial x^{1, j_1} + ... + v_m^{n, j_n} \partial / \partial x^{n, j_n}\)とする; ステップ2: \(v_m f = \sum_{j \in \{1, ..., n\}} (d \pi_j v_m) f_{j, m}\)であることを見る。
ステップ1:
\(m\)の周りの任意のチャート\((U_m := U_{m^1} \times ... \times U_{m^n} \subseteq M_1 \times ... \times M_n, \phi_m := \phi_{m^1} \times ... \times \phi_{m^n})\)、を取ろう、ここで、\((U_{m^j} \subseteq M_j, \phi_{m^j})\)は\(m^j\)の周りの\(M_j\)に対するチャートである、それは可能である、ファイナイト（有限）プロダクト\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付きの定義によって。
\(v_m = v_m^{1, j_1} \partial / \partial x^{1, j_1} + ... + v_m^{n, j_n} \partial / \partial x^{n, j_n}\)。
ステップ2:
\(v_m f = v_m^{1, j_1} \partial f / \partial x^{1, j_1} + ... + v_m^{n, j_n} \partial f / \partial x^{n, j_n}\)。
\((d \pi_l v_m) f_{l, m} = v_m (f_{l, m} \circ \pi_l) = v_m^{1, j_1} \partial (f_{l, m} \circ \pi_l) / \partial x^{1, j_1} + ... + v_m^{n, j_n} (\partial f_{l, m} \circ \pi_l) / \partial x^{n, j_n}\)。
\(v_m^{o, j_o} \partial (f_{l, m} \circ \pi_l) / \partial x^{o, j_o} = v_m^{o, j_o} \partial_{o, j_o} (f_{l, m} \circ \pi_l \circ {\phi_m}^{-1})\)、ここで、\(\partial_{o, j_o}\)は\(o, j_o\)コンポーネントによるパーシャルデリバティブ（偏微分）である。
\(f_{l, m} \circ \pi_l \circ {\phi_m}^{-1}\) is \((x'^{1, 1}, ..., x'^{1, d_1}, ..., x'^{l, 1}, ..., x'^{l, d_l}, ..., x'^{n, 1}, ..., x'^{n, d_n}) \mapsto (m'^1, ..., m'^l, ..., m'^n) \mapsto m'^l \mapsto f_{l, m} (m'^l) = f (m^1, ..., m'^l, ..., m^n)\)。
したがって、\(o \neq l\)である時、\(v_m^{o, j_o} \partial_{o, j_o} (f_{l, m} \circ \pi_l \circ {\phi_m}^{-1}) = 0\)、なぜなら、\(f (m^1, ..., m'^l, ..., m^n)\)は\((x'^{o, 1}, ..., x'^{o, d_o})\)に依存しない。
したがって、\((d \pi_l v_m) f_{l, m} = v_m^{l, j_l} \partial_{l, j_l} (f_{l, m} \circ \pi_l \circ {\phi_m}^{-1})\)。
他方で、\(v_m^{l, j_l} \partial f / \partial x^{l, j_l} = v_m^{l, j_l} \partial_{l, j_l} (f \circ {\phi_m}^{-1})\)。
\(f \circ {\phi_m}^{-1}\)は\((x'^{1, 1}, ..., x'^{1, d_1}, ..., x'^{l, 1}, ..., x'^{l, d_l}, ..., x'^{n, 1}, ..., x'^{n, d_n}) \mapsto (m'^1, ..., m'^l, ..., m'^n) \mapsto f (m'^1, ..., m'^l, ..., m'^n)\)である。
\(f (m^1, ..., m'^l, ..., m^n)\)と\(f (m'^1, ..., m'^l, ..., m'^n)\)の違いは、\((m'^1, ..., \widehat{m'^l}, ..., m'^n)\)が固定されているかだけであるが、\(v_m^{l, j_l} \partial_{l, j_l} (f \circ {\phi_m}^{-1}) \vert_{\phi_m (m)}\)は\(v_m^{l, j_l} \partial_{l, j_l} (f_{l, m} \circ \pi_l \circ {\phi_m}^{-1}) \vert_{\phi_m (m)}\)に等しい、なぜなら、\(\partial_{l, j_l}\)は\(m'^l\)だけを動かす、どのみち。
したがって、\((d \pi_l v_m) f_{l, m} = v_m^{l, j_l} \partial f / \partial x^{l, j_l}\)。
したがって、\(v_m f = \sum_{j \in \{1, ..., n\}} (d \pi_j v_m) f_{j, m}\)。
