ファイナイト（有限）-プロダクト\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、からの\(C^\infty\)マップ（写像）からプロジェクテッド（射影された）\(C^\infty\)マップ（写像）、ポイントに基づいて\(j\)-番目を除きドメイン（定義域）コンポーネントたちを固定することによって、の定義
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、ファイナイト（有限）-プロダクト\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、からの\(C^\infty\)マップ（写像）からプロジェクテッド（射影された）\(C^\infty\)マップ（写像）、ポイントに基づいて\(j\)-番目を除きドメイン（定義域）コンポーネントたちを固定することによって、の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( \{M_1, ..., M_{n - 1}\}\): \(\subseteq \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）たち }\}\)
\( M_n\): \(\in \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)
\( M_1 \times ... \times M_n\): \(= \text{ 当該ファイナイト（有限）-プロダクト } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き }\)
\( M\): \(\in \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)
\( f\): \(: M_1 \times ... \times M_n \to M\), \(\in \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ マップ（写像）たち }\}\)
\( m_0\): \(\in M_1 \times ... \times M_n\)
\( j\): \(\in \{1, ..., n\}\)
\(*f_{j, m_0}\): \(: M_j \to M, m \mapsto f (m_0^1, ..., m, ..., m_0^n)\)、ここで、\(m\)は\(j\)-番目スロットに対して
//
コンディションたち:
//
2: 注
\(f_{j, m_0}\)は本当に\(C^\infty\)であることを見よう。
\(m \in M_j\)を任意のものとしよう。
\(\widetilde{m} := (m_0^1, ..., m, ..., m_0^n) = (\widetilde{m}^1, ..., \widetilde{m}^n)\)。
\(f\)は\(\widetilde{m}\)において\(C^\infty\)であるから、以下を満たす、\(\widetilde{m}\)の周りのあるチャート\((U_\widetilde{m} \subseteq M_1 \times ... \times M_n, \phi_\widetilde{m})\)および\(f (\widetilde{m})\)の周りのあるチャート\((U_{f (\widetilde{m})} \subseteq M, \phi_{f (\widetilde{m})})\)、つまり、\(f (U_\widetilde{m}) \subseteq U_{f (\widetilde{m})}\)および\(\phi_{f (\widetilde{m})} \circ f \circ {\phi_\widetilde{m}}^{-1}: \phi_\widetilde{m} (U_\widetilde{m}) \to \phi_{f (\widetilde{m})} (U_{f (\widetilde{m})})\)は\(\phi_\widetilde{m} (\widetilde{m})\)において\(C^\infty\)である、がある。
ファイナイト（有限）プロダクト\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付きの定義によって、\((U_\widetilde{m} \subseteq M_1 \times ... \times M_n, \phi_\widetilde{m})\)は\(U_\widetilde{m} = U_{1, \widetilde{m}^1} \times ... \times U_{n, \widetilde{m}^n}\)および\(\phi_\widetilde{m} = \phi_{1, \widetilde{m}^1} \times ... \times \phi_{n, \widetilde{m}^n}\)として選べる、ここで、\((U_{j, \widetilde{m}^j} \subseteq M_j, \phi_{j, \widetilde{m}^j})\)は\(M_j\)に対するチャートである、ここで、\(U_\widetilde{m} = U_{1, {m_0}^1} \times ... \times U_{j, m} \times ... \times U_{n, {m_0}^n}\)および\(\phi_\widetilde{m} = \phi_{1, {m_0}^1} \times ... \times \phi_{j, m} \times ... \times \phi_{n, {m_0}^n}\)。
明らかに、\({\phi_\widetilde{m}}^{-1} = {\phi_{1, {m_0}^1}}^{-1} \times ... \times {\phi_{j, m}}^{-1} \times ... \times {\phi_{n, {m_0}^n}}^{-1}\)。
\((U_{j, m} \subseteq M_j, \phi_{j, m})\)は\(m\)の周りのチャートである。
\(f_{S, m_0} (U_{j, m}) \subseteq U_{f (\widetilde{m})}\)、なぜなら、各\(m' \in U_{j, m}\)に対して、\(f_{S, m_0} (m') = f ((m_0^1, ..., m', ..., m_0^n))\)、しかし、\((m_0^1, ..., m', ..., m_0^n) \in U_{1, {m_0}^1} \times ... \times U_{j, m} \times ... \times U_{n, {m_0}^n} = U_\widetilde{m}\)、ところが、\(f (U_\widetilde{m}) \subseteq U_{f (\widetilde{m})}\)。
\(\phi_{f (\widetilde{m})} \circ f_{S, m_0} \circ {\phi_{j, m}}^{-1}: \phi_{j, m} (U_{j, m}) \to \phi_{f (\widetilde{m})} (U_{f (\widetilde{m})})\)のことを考えよう。
それは、\(\phi_{f (\widetilde{m})} \circ f_{S, m_0} \circ {\phi_{j, m}}^{-1}: x' \mapsto \phi_{f (\widetilde{m})} \circ f_{j, m_0} (m') = \phi_{f (\widetilde{m})} \circ f ((m_0^1, ..., m', ..., m_0^n))\)である。
それは、実のところ、\(\phi_{f (\widetilde{m})} \circ f \circ {\phi_\widetilde{m}}^{-1}\)の\((\phi_{\widetilde{m}^1} (m_0^1), ..., \widehat{x'}, ..., \phi_{\widetilde{m}^n} (m_0^n))\)を固定したところと同じである。
\(\phi_{f (\widetilde{m})} \circ f \circ {\phi_\widetilde{m}}^{-1}\)は\(\phi_\widetilde{m} (\widetilde{m})\)において\(C^\infty\)であるから、それは、\(x'\)に関して\(C^\infty\)である、したがって、\(\phi_{f (\widetilde{m})} \circ f_{S, m_0} \circ {\phi_{j, m}}^{-1}\)は\(x'\)に関して\(C^\infty\)である。
したがって、\(f_{S, m_0}\)は\(m\)において\(C^\infty\)である。
