1054: ファイナイト（有限）-プロダクトC∞マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、からのC∞マップ（写像）からプロジェクテッド（射影された）C∞マップ（写像）、ポイントに基づいてj-番目を除きドメイン（定義域）コンポーネントたちを固定することによって

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ファイナイト（有限）-プロダクト$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、からの$C^{\mathrm{\infty }}$マップ（写像）からプロジェクテッド（射影された）$C^{\mathrm{\infty }}$マップ（写像）、ポイントに基づいて$j$-番目を除きドメイン（定義域）コンポーネントたちを固定することによって、の定義

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話題

About: $C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、ファイナイト（有限）プロダクト$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付きの定義を知っている。
• 読者は、バウンダリー（境界）付きの$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たちの任意のサブセット（部分集合）たちの間の$C^k$マップ（写像）、ここで、$k$は$\mathrm{\infty }$を含む、の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、ファイナイト（有限）-プロダクト$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、からの$C^{\mathrm{\infty }}$マップ（写像）からプロジェクテッド（射影された）$C^{\mathrm{\infty }}$マップ（写像）、ポイントに基づいて$j$-番目を除きドメイン（定義域）コンポーネントたちを固定することによって、の定義を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$\{M_1,...,M_{n-1}\}$: $\subseteq \{\text{ 全ての }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ マニフォールド（多様体）たち }\}$
$M_n$: $\in \{\text{ 全ての }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}$
$M_1\times ...\times M_n$: $=\text{ 当該ファイナイト（有限）-プロダクト }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き }$
$M$: $\in \{\text{ 全ての }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}$
$f$: $:M_1\times ...\times M_n\to M$, $\in \{\text{ 全ての }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ マップ（写像）たち }\}$
$m_0$: $\in M_1\times ...\times M_n$
$j$: $\in \{1,...,n\}$
$\ast f_{j,m_0}$: $:M_j\to M,m\mapsto f(m_0^1,...,m,...,m_0^n)$、ここで、$m$は$j$-番目スロットに対して
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コンディションたち:
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2: 注

$f_{j,m_0}$は本当に$C^{\mathrm{\infty }}$であることを見よう。

$m\in M_j$を任意のものとしよう。

$\tilde{m}:=(m_0^1,...,m,...,m_0^n)=({\tilde{m}}^1,...,{\tilde{m}}^n)$。

$f$は$\tilde{m}$において$C^{\mathrm{\infty }}$であるから、以下を満たす、$\tilde{m}$の周りのあるチャート$(U_{\tilde{m}}\subseteq M_1\times ...\times M_n,{\varphi }_{\tilde{m}})$および$f(\tilde{m})$の周りのあるチャート$(U_{f(\tilde{m})}\subseteq M,{\varphi }_{f(\tilde{m})})$、つまり、$f(U_{\tilde{m}})\subseteq U_{f(\tilde{m})}$および${\varphi }_{f(\tilde{m})}\circ f\circ {{\varphi }_{\tilde{m}}}^{-1}:{\varphi }_{\tilde{m}}(U_{\tilde{m}})\to {\varphi }_{f(\tilde{m})}(U_{f(\tilde{m})})$は${\varphi }_{\tilde{m}}(\tilde{m})$において$C^{\mathrm{\infty }}$である、がある。

ファイナイト（有限）プロダクト$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付きの定義によって、$(U_{\tilde{m}}\subseteq M_1\times ...\times M_n,{\varphi }_{\tilde{m}})$は$U_{\tilde{m}}=U_{1,{\tilde{m}}^1}\times ...\times U_{n,{\tilde{m}}^n}$および${\varphi }_{\tilde{m}}={\varphi }_{1,{\tilde{m}}^1}\times ...\times {\varphi }_{n,{\tilde{m}}^n}$として選べる、ここで、$(U_{j,{\tilde{m}}^j}\subseteq M_j,{\varphi }_{j,{\tilde{m}}^j})$は$M_j$に対するチャートである、ここで、$U_{\tilde{m}}=U_{1,{m_0}^1}\times ...\times U_{j,m}\times ...\times U_{n,{m_0}^n}$および${\varphi }_{\tilde{m}}={\varphi }_{1,{m_0}^1}\times ...\times {\varphi }_{j,m}\times ...\times {\varphi }_{n,{m_0}^n}$。

明らかに、${{\varphi }_{\tilde{m}}}^{-1}={{\varphi }_{1,{m_0}^1}}^{-1}\times ...\times {{\varphi }_{j,m}}^{-1}\times ...\times {{\varphi }_{n,{m_0}^n}}^{-1}$。

$(U_{j,m}\subseteq M_j,{\varphi }_{j,m})$は$m$の周りのチャートである。

$f_{S,m_0}(U_{j,m})\subseteq U_{f(\tilde{m})}$、なぜなら、各$m^{\prime }\in U_{j,m}$に対して、$f_{S,m_0}(m^{\prime })=f((m_0^1,...,m^{\prime },...,m_0^n))$、しかし、$(m_0^1,...,m^{\prime },...,m_0^n)\in U_{1,{m_0}^1}\times ...\times U_{j,m}\times ...\times U_{n,{m_0}^n}=U_{\tilde{m}}$、ところが、$f(U_{\tilde{m}})\subseteq U_{f(\tilde{m})}$。

${\varphi }_{f(\tilde{m})}\circ f_{S,m_0}\circ {{\varphi }_{j,m}}^{-1}:{\varphi }_{j,m}(U_{j,m})\to {\varphi }_{f(\tilde{m})}(U_{f(\tilde{m})})$のことを考えよう。

それは、${\varphi }_{f(\tilde{m})}\circ f_{S,m_0}\circ {{\varphi }_{j,m}}^{-1}:x^{\prime }\mapsto {\varphi }_{f(\tilde{m})}\circ f_{j,m_0}(m^{\prime })={\varphi }_{f(\tilde{m})}\circ f((m_0^1,...,m^{\prime },...,m_0^n))$である。

それは、実のところ、${\varphi }_{f(\tilde{m})}\circ f\circ {{\varphi }_{\tilde{m}}}^{-1}$の$({\varphi }_{{\tilde{m}}^1}(m_0^1),...,\widehat{x^{\prime }},...,{\varphi }_{{\tilde{m}}^n}(m_0^n))$を固定したところと同じである。

${\varphi }_{f(\tilde{m})}\circ f\circ {{\varphi }_{\tilde{m}}}^{-1}$は${\varphi }_{\tilde{m}}(\tilde{m})$において$C^{\mathrm{\infty }}$であるから、それは、$x^{\prime }$に関して$C^{\mathrm{\infty }}$である、したがって、${\varphi }_{f(\tilde{m})}\circ f_{S,m_0}\circ {{\varphi }_{j,m}}^{-1}$は$x^{\prime }$に関して$C^{\mathrm{\infty }}$である。

したがって、$f_{S,m_0}$は$m$において$C^{\mathrm{\infty }}$である。

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参考資料

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