テンソルたちのテンソルプロダクトのリアル（実）パラメータによるデリベイションはライプニッツルールを満たすことの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、テンソルたちのテンソルプロダクト（積）の定義を知っている。
- 読者は、ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）内のベクトルたちのリアル（実）-1-パラメータファミリーのデリバティブ（微分係数）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）マイナスポイントからトポロジカルスペース（空間）の中へのマップ（写像）のポイントに関するコンバージェンス（収束ポイント）の定義を知っている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）マイナス任意のポイントから任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）でカノニカル（正典）トポロジーを持つものの中への任意のマップ（写像）に対して、当該マップ（写像）の、当該ポイントに関するコンバージェンス（収束ポイント）は存在する、もしも、当該コンポーネントマップ（写像）たち（任意のベーシス（基底）に関して）の当該ポイントに関するコンバージェンス（収束ポイント）たちが存在する場合、そしてその場合に限って、そして、その場合、当該コンバージェンス（収束ポイント）は当該コンバージェンス（収束ポイント）たちで表わされるという命題を認めている。
- 読者は、任意のフィールド（体）、当該フィールド（体）上方の任意の\(k\)個のベクトルたちスペース（空間）たちに対して、当該フィールド（体）、当該ベクトルたちスペース（空間）たち、当該フィールド（体）に関するテンソルたちスペース（空間）は、ベーシス（基底）で当該ベクトルたちスペース（空間）たちの任意のベーシス（基底）たちのデュアルベーシス（基底）たちの全ての要素たちの全てのテンソルプロダクト（積）たちから構成されるものを持つという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のテンソルたちのテンソルプロダクトの任意のリアル（実）パラメータによるデリベイションはライプニッツルールを満たすという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T\): \(= (r_1, r_2) \subseteq \mathbb{R}\)で、\(\mathbb{R}\)をユークリディアントポロジカルスペース（空間）としたサブスペース（部分空間）トポロジーを持つもの
\(r\): \(\in T\)
\(\{V_{1, 1}, ..., V_{1, k_1}, V_{2, 1}, ..., V_{2, k_2}\}\): \(\subseteq \{\text{ 全てのファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元） } \mathbb{R} \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(L (V_{1, 1}, ..., V_{1, k_1}: \mathbb{R})\): \(= \text{ 当該テンソルたちスペース（空間） }\)で、カノニカル（正典）トポロジーを持つもの
\(L (V_{2, 1}, ..., V_{2, k_2}: \mathbb{R})\): \(= \text{ 当該テンソルたちスペース（空間） }\)で、カノニカル（正典）トポロジーを持つもの
\(t^1\): \(: T \to L (V_{1, 1}, ..., V_{1, k_1}: \mathbb{R})\)
\(t^2\): \(: T \to L (V_{2, 1}, ..., V_{2, k_2}: \mathbb{R})\)
\(L (V_{1, 1}, ..., V_{1, k_1}, V_{2, 1}, ..., V_{2, k_2}: \mathbb{R})\): \(= \text{ 当該テンソルたちスペース（空間） }\)で、カノニカル（正典）トポロジーを持つもの
\(t^1 \otimes t^2\): \(: T \to L (V_{1, 1}, ..., V_{1, k_1}, V_{2, 1}, ..., V_{2, k_2}: \mathbb{R})\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\exists d t^1 / d r \land \exists d t^2 / d r\)
\(\implies\)
\(\exists d (t^1 \otimes t^2) / d r \land d (t^1 \otimes t^2) / d r = d t^1 / d r \otimes t^2 (r) + t^1 (r) \otimes d t^2 / d r\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(\{V_{1, 1}, ..., V_{1, k_1}, V_{2, 1}, ..., V_{2, k_2}\}\)の各々に対して、任意のベーシス（基底）\(B_{j, l} = \{{b_{j, l}}_{m_{j, l}}\}\)を取り、\(L (V_{1, 1}, ..., V_{1, k_1}: \mathbb{R})\)、\(L (V_{2, 1}, ..., V_{2, k_2}: \mathbb{R})\)、\(L (V_{1, 1}, ..., V_{1, k_1}, V_{2, 1}, ..., V_{2, k_2}: \mathbb{R})\)に対するスタンダード（標準）ベーシス（基底）たち\(B_1\)、\(B_2\)、\(B\)を取る; ステップ2: \(t^1 (r')\)、\(t^2 (r')\)、\(t^1 (r') \otimes t^2 (r')\)を当該ベーシス（基底）たちで表わす; ステップ3: \(d (t^1 \otimes t^2) / d r = lim_{r' \to r} (t^1 (r') \otimes t^2 (r') - t^1 (r) \otimes t^2 (r)) / (r' - r)\)を取り、任意のトポロジカルスペース（空間）マイナス任意のポイントから任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）でカノニカル（正典）トポロジーを持つものの中への任意のマップ（写像）に対して、当該マップ（写像）の、当該ポイントに関するコンバージェンス（収束ポイント）は存在する、もしも、当該コンポーネントマップ（写像）たち（任意のベーシス（基底）に関して）の当該ポイントに関するコンバージェンス（収束ポイント）たちが存在する場合、そしてその場合に限って、そして、その場合、当該コンバージェンス（収束ポイント）は当該コンバージェンス（収束ポイント）たちで表わされるという命題を適用する。
ステップ1:
\(\{V_{1, 1}, ..., V_{1, k_1}, V_{2, 1}, ..., V_{2, k_2}\)の各々に対して、任意のベーシス（基底）\(B_{j, l} = \{{b_{j, l}}_{m_{j, l}}\}\)を取ろう。
\(L (V_{1, 1}, ..., V_{1, k_1}: \mathbb{R})\)に対するスタンダード（標準）ベーシス（基底）\(B_1 = \{b_{1, 1}^{m_{1, 1}} \otimes ... \otimes b_{1, k_1}^{m_{1, k_1}}\}\)を取ろう、それは可能である、任意のフィールド（体）、当該フィールド（体）上方の任意の\(k\)個のベクトルたちスペース（空間）たちに対して、当該フィールド（体）、当該ベクトルたちスペース（空間）たち、当該フィールド（体）に関するテンソルたちスペース（空間）は、ベーシス（基底）で当該ベクトルたちスペース（空間）たちの任意のベーシス（基底）たちのデュアルベーシス（基底）たちの全ての要素たちの全てのテンソルプロダクト（積）たちから構成されるものを持つという命題によって。
\(L (V_{2, 1}, ..., V_{2, k_2}: \mathbb{R})\)に対するスタンダード（標準）ベーシス（基底）\(B_2 = \{b_{2, 1}^{m_{2, 1}} \otimes ... \otimes b_{2, k_2}^{m_{2, k_2}}\}\)を取ろう、それは可能である、同様に。
\(L (V_{1, 1}, ..., V_{1, k_1}, V_{2, 1}, ..., V_{2, k_2}: \mathbb{R})\)に対するスタンダード（標準）ベーシス（基底）\(B = \{b_{1, 1}^{m_{1, 1}} \otimes ... \otimes b_{1, k_1}^{m_{1, k_1}} \otimes b_{2, 1}^{m_{2, 1}} \otimes ... \otimes b_{2, k_2}^{m_{2, k_2}}\}\)を取ろう、それは可能である、同様に。
ステップ2:
\(t^1 (r') = t^1_{m_{1, 1}, ..., m_{1, k_1}} (r') b_{1, 1}^{m_{1, 1}} \otimes ... \otimes b_{1, k_1}^{m_{1, k_1}}\)。
\(t^2 (r') = t^2_{m_{2, 1}, ..., m_{2, k_2}} (r') b_{2, 1}^{m_{2, 1}} \otimes ... \otimes b_{2, k_2}^{m_{2, k_2}}\)。
したがって、\(t^1 (r') \otimes t^2 (r') = (t^1_{m_{1, 1}, ..., m_{1, k_1}} (r') b_{1, 1}^{m_{1, 1}} \otimes ... \otimes b_{1, k_1}^{m_{1, k_1}}) \otimes (t^2_{m_{2, 1}, ..., m_{2, k_2}} (r') b_{2, 1}^{m_{2, 1}} \otimes ... \otimes b_{2, k_2}^{m_{2, k_2}})\)。
テンソルたちのテンソルプロダクト（積）の定義に対する"注"内に言及されているテンソルたちのテンソルプロダクトのプロパティによって、\(= t^1_{m_{1, 1}, ..., m_{1, k_1}} (r') t^2_{m_{2, 1}, ..., m_{2, k_2}} (r') b_{1, 1}^{m_{1, 1}} \otimes ... \otimes b_{1, k_1}^{m_{1, k_1}} \otimes b_{2, 1}^{m_{2, 1}} \otimes ... \otimes b_{2, k_2}^{m_{2, k_2}}\)、それは、\(t^1 (r') \otimes t^2 (r')\)の\(B\)に関する展開である。
ステップ3:
\(d (t^1 \otimes t^2) / d r = lim_{r' \to r} (t^1 (r') \otimes t^2 (r') - t^1 (r) \otimes t^2 (r)) / (r' - r)\)。
\(= lim_{r' \to r} (t^1_{m_{1, 1}, ..., m_{1, k_1}} (r') t^2_{m_{2, 1}, ..., m_{2, k_2}} (r') b_{1, 1}^{m_{1, 1}} \otimes ... \otimes b_{1, k_1}^{m_{1, k_1}} \otimes b_{2, 1}^{m_{2, 1}} \otimes ... \otimes b_{2, k_2}^{m_{2, k_2}} - t^1_{m_{1, 1}, ..., m_{1, k_1}} (r) t^2_{m_{2, 1}, ..., m_{2, k_2}} (r) b_{1, 1}^{m_{1, 1}} \otimes ... \otimes b_{1, k_1}^{m_{1, k_1}} \otimes b_{2, 1}^{m_{2, 1}} \otimes ... \otimes b_{2, k_2}^{m_{2, k_2}}) / (r' - r) = lim_{r' \to r} (t^1_{m_{1, 1}, ..., m_{1, k_1}} (r') t^2_{m_{2, 1}, ..., m_{2, k_2}} (r') - t^1_{m_{1, 1}, ..., m_{1, k_1}} (r) t^2_{m_{2, 1}, ..., m_{2, k_2}} (r)) / (r' - r) b_{1, 1}^{m_{1, 1}} \otimes ... \otimes b_{1, k_1}^{m_{1, k_1}} \otimes b_{2, 1}^{m_{2, 1}} \otimes ... \otimes b_{2, k_2}^{m_{2, k_2}}\)。
任意のトポロジカルスペース（空間）マイナス任意のポイントから任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）でカノニカル（正典）トポロジーを持つものの中への任意のマップ（写像）に対して、当該マップ（写像）の、当該ポイントに関するコンバージェンス（収束ポイント）は存在する、もしも、当該コンポーネントマップ（写像）たち（任意のベーシス（基底）に関して）の当該ポイントに関するコンバージェンス（収束ポイント）たちが存在する場合、そしてその場合に限って、そして、その場合、当該コンバージェンス（収束ポイント）は当該コンバージェンス（収束ポイント）たちで表わされるという命題によって、\(d t^1_{m_{1, 1}, ..., m_{1, k_1}} / d r = lim_{r' \to r} (t^1_{m_{1, 1}, ..., m_{1, k_1}} (r') - t^1_{m_{1, 1}, ..., m_{1, k_1}} (r)) / (r' - r)\)および\(d t^2_{m_{2, 1}, ..., m_{2, k_2}} / d r = lim_{r' \to r} (t^2_{m_{2, 1}, ..., m_{2, k_2}} (r') - t^2_{m_{2, 1}, ..., m_{2, k_2}} (r))/ (r' - r)\)は存在する。
リアル（実）アナリシス（分析）におけるよく知られた事実によって、\(d (t^1_{m_{1, 1}, ..., m_{1, k_1}} (r) t^2_{m_{2, 1}, ..., m_{2, k_2}} (r)) / d r = lim_{r' \to r} (t^1_{m_{1, 1}, ..., m_{1, k_1}} (r') t^2_{m_{2, 2}, ..., m_{2, k_2}} (r') - t^1_{m_{1, 1}, ..., m_{1, k_1}} (r) t^2_{m_{2, 1}, ..., m_{2, k_2}} (r)) / (r' - r)\)は存在し、\(d t^1_{m_{1, 1}, ..., m_{1, k_1}} / d r t^2_{m_{2, 1}, ..., m_{2, k_2}} (r) + t^1_{m_{1, 1}, ..., m_{1, k_1}} d t^2_{m_{2, 1}, ..., m_{2, k_2}} / d r\)に等しい。
任意のトポロジカルスペース（空間）マイナス任意のポイントから任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）でカノニカル（正典）トポロジーを持つものの中への任意のマップ（写像）に対して、当該マップ（写像）の、当該ポイントに関するコンバージェンス（収束ポイント）は存在する、もしも、当該コンポーネントマップ（写像）たち（任意のベーシス（基底）に関して）の当該ポイントに関するコンバージェンス（収束ポイント）たちが存在する場合、そしてその場合に限って、そして、その場合、当該コンバージェンス（収束ポイント）は当該コンバージェンス（収束ポイント）たちで表わされるという命題によって、\(d (t^1 \otimes t^2) / d r = lim_{r' \to r} (t^1 (r') \otimes t^2 (r') - t^1 (r) \otimes t^2 (r)) / (r' - r)\)は存在し、\((d t^1_{m_{1, 1}, ..., m_{1, k_1}} / d r t^2_{m_{2, 1}, ..., m_{2, k_2}} (r) + t^1_{m_{1, 1}, ..., m_{1, k_1}} (r) d t^2_{m_{2, 1}, ..., m_{2, k_2}} / d r) b_{1, 1}^{m_{1, 1}} \otimes ... \otimes b_{1, k_1}^{m_{1, k_1}} \otimes b_{2, 1}^{m_{2, 1}} \otimes ... \otimes b_{2, k_2}^{m_{2, k_2}}\)に等しい。
\(= d t^1_{m_{1, 1}, ..., m_{1, k_1}} / d r t^2_{m_{2, 1}, ..., m_{2, k_2}} (r) b_{1, 1}^{m_{1, 1}} \otimes ... \otimes b_{1, k_1}^{m_{1, k_1}} \otimes b_{2, 1}^{m_{2, 1}} \otimes ... \otimes b_{2, k_2}^{m_{2, k_2}} + t^1_{m_{1, 1}, ..., m_{1, k_1}} (r) d t^2_{m_{2, 1}, ..., m_{2, k_2}} / d r b_{1, 1}^{m_{1, 1}} \otimes ... \otimes b_{1, k_1}^{m_{1, k_1}} \otimes b_{2, 1}^{m_{2, 1}} \otimes ... \otimes b_{2, k_2}^{m_{2, k_2}} = (d t^1_{m_{1, 1}, ..., m_{1, k_1}} / d r b_{1, 1}^{m_{1, 1}} \otimes ... \otimes b_{1, k_1}^{m_{1, k_1}}) \otimes (t^2_{m_{2, 1}, ..., m_{2, k_2}} (r) b_{2, 1}^{m_{2, 1}} \otimes ... \otimes b_{2, k_2}^{m_{2, k_2}}) + (t^1_{m_{1, 1}, ..., m_{1, k_1}} (r) b_{1, 1}^{m_{1, 1}} \otimes ... \otimes b_{1, k_1}^{m_{1, k_1}}) \otimes (d t^2_{m_{2, 1}, ..., m_{2, k_2}} / d r \otimes b_{2, 1}^{m_{2, 1}} \otimes ... \otimes b_{2, k_2}^{m_{2, k_2}}) = d t^1 / d r \otimes t^2 (r) + t^1 (r) \otimes d t^2 / d r\)。
