560: ファイナイト（有限）次元リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）に対するカノニカル（自然な）トポロジー

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ファイナイト（有限）次元リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）に対するカノニカル（自然な）トポロジーの定義

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話題

About: ベクトルたちスペース（空間）
About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述

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開始コンテキスト

• 読者は、%フィールド（体）名%ベクトルたちスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、トポロジーの定義を知っている。
• 読者は、任意の有限次元リアル（実）ベクトルスペース（空間）に対して、任意のベーシス（基底）に基づいたコーディネイト（座標）スペース（空間）のユークリディアントポロジーによって定義されたトポロジーはベーシス（基底）の選択に依存しないという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、ファイナイト（有限）次元リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）に対するカノニカル（自然な）トポロジーの定義を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$V$: $\in \{\text{ 全ての }d\text{ 次元リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たち }\}$
$\{b_1,...,b_d\}$: $\subseteq V$, $\in \{V\mathrm{の}\text{ 全てのベーシス（基底）たち }\}$
${\mathbb{R}}^d$: $=\text{ 当該ユークリディアントポロジカルスペース（空間） }$
$f$: $:V\to {\mathbb{R}}^d$, $v\mapsto (v^1,...,v^d)$で、$v=v^j{b}_j$を満たすもの
$\ast O$: $=\{U\subseteq V|f(U)\in \{{\mathbb{R}}^d\text{ のトポロジー }\}\}$
//

コンディションたち:
//

$O$は$\{b_1,...,b_d\}$の選択には依存しない、任意の有限次元リアル（実）ベクトルスペース（空間）に対して、任意のベーシス（基底）に基づいたコーディネイト（座標）スペース（空間）のユークリディアントポロジーによって定義されたトポロジーはベーシス（基底）の選択に依存しないという命題によって。

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2: 自然言語記述

任意の$d$-次元リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）$V$、任意のベーシス（基底）$\{b_1,...,b_d\}\subseteq V$、ユークリディアントポロジカルスペース（空間）${\mathbb{R}}^d$、以下を満たすマップ（写像）$f:V\to {\mathbb{R}}^d$, $v\mapsto (v^1,...,v^d)$、つまり、$v=v^j{b}_j$、に対して、トポロジー$O=\{U\subseteq V|f(U)\in \{{\mathbb{R}}^d\text{ のトポロジー }\}\}$

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参考資料

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