\(k\)個のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たちのテンソルプロダクト（積）はベーシス（基底）要素たちによってインデュースト（誘導された）クラスたちから構成されるベーシス（基底）を持つことの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、\(k\)個のベクトルたちスペース（空間）たちのテンソルプロダクト（積）の定義を知っている。
- 読者は、モジュール（加群）のベーシス（基底）の定義を知っている。
- 読者は、ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対するベーシス（基底）の、コベクトルたち（デュアル）スペース（空間）に対するデュアルベーシス（基底）の定義を知っている。
- 読者は、テンソルたちのテンソルプロダクト（積）の定義を知っている。
- 読者は、任意のファイナイト（有限）プロダクト（積）ベクトルたちスペース（空間）からの任意のマルチリニアマップ（多重線形写像）に対して、当該ファイナイト（有限）個ベクトルたちスペース（空間）たちのテンソルプロダクト（積）からのユニークなリニアマップ（線形写像）で、当該マルチリニアマップ（多重線形写像）は、当該プロダクト（積）ベクトルたちスペース（空間）から当該テンソルプロダクト（積）の中へのカノニカル（正典）マップ（写像）の後に当該リニアマップ（写像）を作用させるものであるものがあるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の\(k\)個のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たちのテンソルプロダクト（積）は任意のベーシス（基底）要素たちによってインデュースト（誘導された）クラスたちから構成されるベーシス（基底）を持つという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
\(\{V_1, ..., V_k\}\): \(\subseteq \{\text{ 全てのファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元） } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(\{B_1, ..., B_k\}\): \(B_l \in \{\text{ に対する全てのベーシス（基底）たち } V_l\}\)
\(V_1 \otimes ... \otimes V_k\): \(= \text{ 当該テンソルプロダクト }\)
\(B\): \(= \{[((b_{1, j_1}, ..., b_{k, j_k}))] \vert b_{l, j_l} \in B_l\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(B \in \{V_1 \otimes ... \otimes V_k \text{ に対する全てのベーシス（基底）たち }\}\)
//
\(B\)を"\(\{B_1, ..., B_k\}\)に関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）"と呼ぼう: それは\(\{B_1, ..., B_k\}\)が指定されなければ決定されない。
2: 注
各\(V_j\)はファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）である必要がある、なぜなら、"証明"は\(B_j\)のデュアルを用いる: ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対するベーシス（基底）の、コベクトルたち（デュアル）スペース（空間）に対するデュアルベーシス（基底）の定義は\(V_j\)がファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）であることを要求する。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(B\)は\(V_1 \otimes ... \otimes V_k\)をスパンする（張る）ことを見る; ステップ2: \(B\)はリニア（線形）にインディペンデント（独立）であることを見る。
ステップ1:
\(B\)は\(V_1 \otimes ... \otimes V_k\)をスパンする（張る）ことを見よう。
\(V_1 \otimes ... \otimes V_k\)の各要素は\([r^1 ((v_{1, 1}, ..., v_{1, k})) + ... + r^l ((v_{l, 1}, ..., v_{l, k}))]\)、\(k\)個のベクトルたちスペース（空間）たちのテンソルプロダクト（積）の定義によって。
\([r^1 ((v_{1, 1}, ..., v_{1, k})) + ... + r^l ((v_{l, 1}, ..., v_{l, k}))] = r^1 [((v_{1, 1}, ..., v_{1, k}))] + ... + r^l [((v_{l, 1}, ..., v_{l, k}))]\)、それは、ベクトルたちスペース（空間）のサブベクトルたちスペース（空間）によるクウォシェント（商）ベクトルたちスペース（空間）の定義による。
各\(r^j [((v_{j, 1}, ..., v_{j, k}))]\)を見よう。
\(r^j [((v_{j, 1}, ..., v_{j, k}))] = r^j [((\sum_{m_1 \in S_{1, j}} v_{j, 1}^{m_1} b_{1, m_1}, ..., \sum_{m_k \in S_{k, j}} v_{j, k}^{m_k} b_{k, m_k}))]\)、ここで、\(S_{l, j}\)はファイナイト（有限）インデックスセット（集合）、\(= r^j \sum_{m_1 \in S_{1, j}} v_{j, 1}^{m_1} [((b_{1, m_1}, ..., \sum_{m_k \in S_{k, j}} v_{j, k}^{m_k} b_{k, m_k}))]\)、それは、"2つの妥当なルールたち"による、\(= ... = r^j \sum_{m_1 \in S_{1, j}} v_{j, 1}^{m_1} ... \sum_{m_k \in S_{k, j}} v_{j, k}^{m_k} [((b_{1, m_1}, ..., b_{k, m_k}))]\)、それが意味するのは、\(r^j [((v_{j, 1}, ..., v_{j, k}))]\)は\(B\)のリニアコンビネーション（線形結合）であるということ。
したがって、\([r^1 ((v_{1, 1}, ..., v_{1, k})) + ... + r^l ((v_{l, 1}, ..., v_{l, k}))] = r^1 [((v_{1, 1}, ..., v_{1, k}))] + ... + r^l [((v_{l, 1}, ..., v_{l, k}))]\)は\(B\)のリニアコンビネーション（線形結合）である。
したがって、\(B\)は\(V_1 \otimes ... \otimes V_k\)をスパンする（張る）。
注意として、本ステップは、\(V_j\)たちのファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）性を使わなかった、したがって、\(B\)は\(V_1 \otimes ... \otimes V_k\)をスパンする（張る）、\(V_j\)たちがインフィニット（無限）-ディメンショナル（次元）である時も。
ステップ2:
\(B\)はリニア（線形）にインディペンデント（独立）であることを見よう。
\(r^1 [((b_{1, j_{1, 1}}, ..., b_{k, j_{1, k}}))] + ... + r^l [((b_{1, j_{l, 1}}, ..., b_{k, j_{l, k}}))] = 0\)であるとしよう。
各\(B_j\)のデュアルベーシス（基底）\(B^*_j = \{b_j^l\}\)を取ろう。
マルチリニアマップ（多重線形写像）\(f_{j_{m, 1}, ..., j_{m, k}}: V_1 \times ... \times V_k \to F = b_1^{j_{m, 1}} \otimes ... \otimes b_k^{j_{m, k}}\)を取ろう。
任意のファイナイト（有限）プロダクト（積）ベクトルたちスペース（空間）からの任意のマルチリニアマップ（多重線形写像）に対して、当該ファイナイト（有限）個ベクトルたちスペース（空間）たちのテンソルプロダクト（積）からのユニークなリニアマップ（線形写像）で、当該マルチリニアマップ（多重線形写像）は、当該プロダクト（積）ベクトルたちスペース（空間）から当該テンソルプロダクト（積）の中へのカノニカル（正典）マップ（写像）の後に当該リニアマップ（写像）を作用させるものであるものがあるという命題によって、以下を満たすユニークなリニアマップ（線形写像）\(f'_{j_{m, 1}, ..., j_{m, k}}: V_1 \otimes ... \otimes V_k \to F\)、つまり、\(f_{j_{m, 1}, ..., j_{m, k}} = f'_{j_{m, 1}, ..., j_{m, k}} \circ g\)、ここで、\(g: V_1 \times ... \times V_k \to V_1 \otimes ... \otimes V_k, (v_1, ..., v_k) \mapsto [((v_1, ..., v_k))]\)、がある。
\(0 = f'_{j_{m, 1}, ..., j_{m, k}} (0) = f'_{j_{m, 1}, ..., j_{m, k}} (r^1 [((b_{1, j_{1, 1}}, ..., b_{k, j_{1, k}}))] + ... + r^l [((b_{1, j_{l, 1}}, ..., b_{k, j_{l, k}}))]) = r^1 f'_{j_{m, 1}, ..., j_{m, k}} ([((b_{1, j_{1, 1}}, ..., b_{k, j_{1, k}}))]) + ... + r^l f'_{j_{m, 1}, ..., j_{m, k}} ([((b_{1, j_{l, 1}}, ..., b_{k, j_{l, k}}))])\)、なぜなら、\(f'_{j_{m, 1}, ..., j_{m, k}}\)はリニア（線形）である、しかし、\(f'_{j_{m, 1}, ..., j_{m, k}} ([((b_{1, j_{n, 1}}, ..., b_{k, j_{n, k}}))]) = f'_{j_{m, 1}, ..., j_{m, k}} \circ g ((b_{1, j_{n, 1}}, ..., b_{k, j_{n, k}})) = f_{j_{m, 1}, ..., j_{m, k}} ((b_{1, j_{n, 1}}, ..., b_{k, j_{n, k}})) = b_1^{j_{m, 1}} \otimes ... \otimes b_k^{j_{m, k}} ((b_{1, j_{n, 1}}, ..., b_{k, j_{n, k}})) = b_1^{j_{m, 1}} (b_{1, j_{n, 1}}) ... b_k^{j_{m, k}} (b_{k, j_{n, k}}) = \delta_{m, n}\)、したがって、\(0 = r^m\)。
したがって、\(B\)はリニア（線形）にインディペンデント（独立）である。
