1023: k個のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たちのテンソルプロダクト（積）はベーシス（基底）要素たちによってインデュースト（誘導された）クラスたちから構成されるベーシス（基底）を持つ

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$k$個のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たちのテンソルプロダクト（積）はベーシス（基底）要素たちによってインデュースト（誘導された）クラスたちから構成されるベーシス（基底）を持つことの記述/証明

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話題

About: ベクトルたちスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 注
• 3: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、$k$個のベクトルたちスペース（空間）たちのテンソルプロダクト（積）の定義を知っている。
• 読者は、モジュール（加群）のベーシス（基底）の定義を知っている。
• 読者は、ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対するベーシス（基底）の、コベクトルたち（デュアル）スペース（空間）に対するデュアルベーシス（基底）の定義を知っている。
• 読者は、テンソルたちのテンソルプロダクト（積）の定義を知っている。
• 読者は、任意のファイナイト（有限）プロダクト（積）ベクトルたちスペース（空間）からの任意のマルチリニアマップ（多重線形写像）に対して、当該ファイナイト（有限）個ベクトルたちスペース（空間）たちのテンソルプロダクト（積）からのユニークなリニアマップ（線形写像）で、当該マルチリニアマップ（多重線形写像）は、当該プロダクト（積）ベクトルたちスペース（空間）から当該テンソルプロダクト（積）の中へのカノニカル（正典）マップ（写像）の後に当該リニアマップ（写像）を作用させるものであるものがあるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意の$k$個のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たちのテンソルプロダクト（積）は任意のベーシス（基底）要素たちによってインデュースト（誘導された）クラスたちから構成されるベーシス（基底）を持つという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$F$: $\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}$
$\{V_1,...,V_k\}$: $\subseteq \{\text{ 全てのファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元） }F\text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}$
$\{B_1,...,B_k\}$: $B_l\in \{\text{ に対する全てのベーシス（基底）たち }{V}_l\}$
$V_1\otimes ...\otimes V_k$: $=\text{ 当該テンソルプロダクト }$
$B$: $=\{[((b_{1,j_1},...,b_{k,j_k}))]|b_{l,j_l}\in B_l\}$
//

ステートメント（言明）たち:
$B\in \{V_1\otimes ...\otimes V_k\text{ に対する全てのベーシス（基底）たち }\}$
//

$B$を"$\{B_1,...,B_k\}$に関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）"と呼ぼう: それは$\{B_1,...,B_k\}$が指定されなければ決定されない。

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2: 注

各$V_j$はファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）である必要がある、なぜなら、"証明"は$B_j$のデュアルを用いる: ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対するベーシス（基底）の、コベクトルたち（デュアル）スペース（空間）に対するデュアルベーシス（基底）の定義は$V_j$がファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）であることを要求する。

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3: 証明

全体戦略: ステップ1: $B$は$V_1\otimes ...\otimes V_k$をスパンする（張る）ことを見る; ステップ2: $B$はリニア（線形）にインディペンデント（独立）であることを見る。

ステップ1:

$B$は$V_1\otimes ...\otimes V_k$をスパンする（張る）ことを見よう。

$V_1\otimes ...\otimes V_k$の各要素は$[r^1((v_{1,1},...,v_{1,k}))+...+r^l((v_{l,1},...,v_{l,k}))]$、$k$個のベクトルたちスペース（空間）たちのテンソルプロダクト（積）の定義によって。

$[r^1((v_{1,1},...,v_{1,k}))+...+r^l((v_{l,1},...,v_{l,k}))]=r^1[((v_{1,1},...,v_{1,k}))]+...+r^l[((v_{l,1},...,v_{l,k}))]$、それは、ベクトルたちスペース（空間）のサブベクトルたちスペース（空間）によるクウォシェント（商）ベクトルたちスペース（空間）の定義による。

各$r^j[((v_{j,1},...,v_{j,k}))]$を見よう。

$r^j[((v_{j,1},...,v_{j,k}))]=r^j[((\sum _{m_1\in S_{1,j}}{v}_{j,1}^{m_1}{b}_{1,m_1},...,\sum _{m_k\in S_{k,j}}{v}_{j,k}^{m_k}{b}_{k,m_k}))]$、ここで、$S_{l,j}$はファイナイト（有限）インデックスセット（集合）、$=r^j\sum _{m_1\in S_{1,j}}{v}_{j,1}^{m_1}[((b_{1,m_1},...,\sum _{m_k\in S_{k,j}}{v}_{j,k}^{m_k}{b}_{k,m_k}))]$、それは、"2つの妥当なルールたち"による、$=...=r^j\sum _{m_1\in S_{1,j}}{v}_{j,1}^{m_1}...\sum _{m_k\in S_{k,j}}{v}_{j,k}^{m_k}[((b_{1,m_1},...,b_{k,m_k}))]$、それが意味するのは、$r^j[((v_{j,1},...,v_{j,k}))]$は$B$のリニアコンビネーション（線形結合）であるということ。

したがって、$[r^1((v_{1,1},...,v_{1,k}))+...+r^l((v_{l,1},...,v_{l,k}))]=r^1[((v_{1,1},...,v_{1,k}))]+...+r^l[((v_{l,1},...,v_{l,k}))]$は$B$のリニアコンビネーション（線形結合）である。

したがって、$B$は$V_1\otimes ...\otimes V_k$をスパンする（張る）。

注意として、本ステップは、$V_j$たちのファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）性を使わなかった、したがって、$B$は$V_1\otimes ...\otimes V_k$をスパンする（張る）、$V_j$たちがインフィニット（無限）-ディメンショナル（次元）である時も。

ステップ2:

$B$はリニア（線形）にインディペンデント（独立）であることを見よう。

$r^1[((b_{1,j_{1,1}},...,b_{k,j_{1,k}}))]+...+r^l[((b_{1,j_{l,1}},...,b_{k,j_{l,k}}))]=0$であるとしよう。

各$B_j$のデュアルベーシス（基底）$B_j^{\ast }=\{b_j^l\}$を取ろう。

マルチリニアマップ（多重線形写像）$f_{j_{m,1},...,j_{m,k}}:V_1\times ...\times V_k\to F=b_1^{j_{m,1}}\otimes ...\otimes b_k^{j_{m,k}}$を取ろう。

任意のファイナイト（有限）プロダクト（積）ベクトルたちスペース（空間）からの任意のマルチリニアマップ（多重線形写像）に対して、当該ファイナイト（有限）個ベクトルたちスペース（空間）たちのテンソルプロダクト（積）からのユニークなリニアマップ（線形写像）で、当該マルチリニアマップ（多重線形写像）は、当該プロダクト（積）ベクトルたちスペース（空間）から当該テンソルプロダクト（積）の中へのカノニカル（正典）マップ（写像）の後に当該リニアマップ（写像）を作用させるものであるものがあるという命題によって、以下を満たすユニークなリニアマップ（線形写像）$f_{j_{m,1},...,j_{m,k}}^{\prime }:V_1\otimes ...\otimes V_k\to F$、つまり、$f_{j_{m,1},...,j_{m,k}}=f_{j_{m,1},...,j_{m,k}}^{\prime }\circ g$、ここで、$g:V_1\times ...\times V_k\to V_1\otimes ...\otimes V_k,(v_1,...,v_k)\mapsto [((v_1,...,v_k))]$、がある。

$0=f_{j_{m,1},...,j_{m,k}}^{\prime }(0)=f_{j_{m,1},...,j_{m,k}}^{\prime }(r^1[((b_{1,j_{1,1}},...,b_{k,j_{1,k}}))]+...+r^l[((b_{1,j_{l,1}},...,b_{k,j_{l,k}}))])=r^1{f}_{j_{m,1},...,j_{m,k}}^{\prime }([((b_{1,j_{1,1}},...,b_{k,j_{1,k}}))])+...+r^l{f}_{j_{m,1},...,j_{m,k}}^{\prime }([((b_{1,j_{l,1}},...,b_{k,j_{l,k}}))])$、なぜなら、$f_{j_{m,1},...,j_{m,k}}^{\prime }$はリニア（線形）である、しかし、$f_{j_{m,1},...,j_{m,k}}^{\prime }([((b_{1,j_{n,1}},...,b_{k,j_{n,k}}))])=f_{j_{m,1},...,j_{m,k}}^{\prime }\circ g((b_{1,j_{n,1}},...,b_{k,j_{n,k}}))=f_{j_{m,1},...,j_{m,k}}((b_{1,j_{n,1}},...,b_{k,j_{n,k}}))=b_1^{j_{m,1}}\otimes ...\otimes b_k^{j_{m,k}}((b_{1,j_{n,1}},...,b_{k,j_{n,k}}))=b_1^{j_{m,1}}(b_{1,j_{n,1}})...b_k^{j_{m,k}}(b_{k,j_{n,k}})={\delta }_{m,n}$、したがって、$0=r^m$。

したがって、$B$はリニア（線形）にインディペンデント（独立）である。

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参考資料

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