2025年2月23日日曜日

1021: フィールド（体）上方のk個のベクトルたちスペース（空間）たちのテンソルプロダクト（積）

<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>
フィールド（体）上方のk個のベクトルたちスペース（空間）たちのテンソルプロダクト（積）の定義

話題


About: ベクトルたちスペース（空間）

この記事の目次

開始コンテキスト

ターゲットコンテキスト



  • 読者は、フィールド（体）上方のk個のベクトルたちスペース（空間）たちのテンソルプロダクト（積）の定義を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

本体

1: 構造化された記述


ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
F: ∈{ 全てのフィールド（体）たち }
{V1,...,Vk}: ⊆{ 全ての F ベクトルたちスペース（空間）たち }
V1×...×Vk: = 当該プロダクトセット（集合）の定義 
F(V1×...×Vk,F): = 当該フリーベクトルたちスペース（空間） 
S: ={((v1,...,rvj,...,vk))−r((v1,...,vk))∈F(V1×...×Vk)|r∈F,v1∈V1,...,vk∈Vk}∪{((v1,...,vj+vj′,...,vk))−((v1,...,vj,...,vk))−((v1,...,vj′,...,vk))∈F(V1×...×Vk)|v1∈V1,...,vk∈Vk,vj′∈Vj}
(S): = 当該、ベクトルたちスペース（空間）のサブセット（部分集合）によって生成されたサブベクトルたちスペース（空間） 
∗V1⊗...⊗Vk: =F(V1×...×Vk)/(S)、当該クオシエント（商）ベクトルたちスペース（空間）
//

コンディションたち:
//

各(v1,...,vk)∈V1×...×Vkに対して、[f(v1,...,vk)]=[((v1,...,vk))]（ここで、f(v1,...,vk):V1×...×Vk→F∈F(V1×...×Vk,F)は、(v1,...,vk)を1へマップし他の要素たちを0へマップするファンクション（関数）である）はしばしばv1⊗...⊗vkと表記され、"v1,...,vkのテンソルプロダクト"と呼ばれるが、著者は、それらはテンソルたちのテンソルプロダクト（積）と混同され紛らわしいと思うので、単に[((v1,...,vk))]と表記することを好む: ((v1,...,vk))のような表記を用いる理由については、セット（集合）上のフリーベクトルたちスペース（空間）の定義の"注"を参照のこと: (v1,...,vk)∈V1×...×Vkであるが((v1,...,vk))∈F(V1×...×Vk,F)。

2: 注


以下のようにしないよう注意する必要がある、つまり、"[r((v1,...,vk))+r′((v1′,...,vk′))]=[(r(v1,...,vk))+(r′(v1′,...,vk′))]=[((rv1,...,rvk))+((r′v1′,...,r′vk′))]=[((rv1,...,rvk)+(r′v1′,...,r′vk′))]=[((rv1+r′v1′,...,rvk+r′vk′))]"、それは誤まっている: その理由は、セット（集合）上のフリーベクトルたちスペース（空間）の定義に対する"注"内に記述されている: 第1のイコールは間違っている、なぜなら、r((v1,...,vk))+r′((v1′,...,vk′))は、(v1,...,vk)をrへマップし(v1′,...,vk′)をr′へマップするファンクション（関数）である一方、(r(v1,...,vk))+(r′(v1′,...,vk′))は、r(v1,...,vk)を1へマップしr′(v1′,...,vk′)を1へマップするが、(v1,...,vk)を0へマップし(v1′,...,vk′)を0へマップするファンクション（関数）である; 第3のイコールは間違っている、なぜなら、((rv1,...,rvk))+((r′v1′,...,r′vk′))は、(rv1,...,rvk)を1へマップし(r′v1′,...,r′vk′)を1へマップするファンクション（関数）である一方、((rv1,...,rvk)+(r′v1′,...,r′vk′))は、(rv1,...,rvk)+(r′v1′,...,r′vk′)を1へマップするが(rv1,...,rvk)を0へマップし(r′v1′,...,r′vk′)を0へマップするファンクション（関数）である。

以下たちは、2つの妥当なルールたちである: 1) [((v1,...,rvj,...,vk))]=r[((v1,...,vk))]; 2) [((v1,...,vj+vj′,...,vk))]=[((v1,...,vj,...,vk))]+[((v1,...,vj′,...,vk))]。

1)の理由は、[((v1,...,rvj,...,vk))]=[((v1,...,rvj,...,vk))−(((v1,...,rvj,...,vk))−r((v1,...,vk)))]=[r((v1,...,vk))]=r[((v1,...,vk))]。

2)の理由は、[((v1,...,vj+vj′,...,vk))]=[((v1,...,vj+vj′,...,vk))−(((v1,...,vj+vj′,...,vk))−((v1,...,vj,...,vk))−((v1,...,vj′,...,vk)))]=[((v1,...,vj,...,vk))+((v1,...,vj′,...,vk))]=[((v1,...,vj,...,vk))]+[((v1,...,vj′,...,vk))]。

参考資料
<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>
投稿者 時刻:
ラベル: