フィールド（体）上方の\(k\)個のベクトルたちスペース（空間）たちのテンソルプロダクト（積）の定義
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、%フィールド（体）名%ベクトルたちスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、プロダクトセット（集合）の定義を知っている。
- 読者は、セット（集合）上のフリーベクトルたちスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、ベクトルたちスペース（空間）のサブセット（部分集合）によって生成されたサブベクトルたちスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、ベクトルたちスペース（空間）のサブベクトルたちスペース（空間）によるクウォシェント（商）ベクトルたちスペース（空間）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、フィールド（体）上方の\(k\)個のベクトルたちスペース（空間）たちのテンソルプロダクト（積）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( F\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
\( \{V_1, ..., V_k\}\): \(\subseteq \{\text{ 全ての } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\( V_1 \times ... \times V_k\): \(= \text{ 当該プロダクトセット（集合）の定義 }\)
\( F (V_1 \times ... \times V_k, F)\): \(= \text{ 当該フリーベクトルたちスペース（空間） }\)
\( S\): \(= \{((v_1, ..., r v_j, ..., v_k)) - r ((v_1, ..., v_k)) \in F (V_1 \times ... \times V_k) \vert r \in F, v_1 \in V_1, ..., v_k \in V_k\} \cup \{((v_1, ..., v_j + v'_j, ..., v_k)) - ((v_1, ..., v_j, ..., v_k)) - ((v_1, ..., v'_j, ..., v_k)) \in F (V_1 \times ... \times V_k) \vert v_1 \in V_1, ..., v_k \in V_k, v'_j \in V_j\}\)
\( (S)\): \(= \text{ 当該、ベクトルたちスペース（空間）のサブセット（部分集合）によって生成されたサブベクトルたちスペース（空間） }\)
\(*V_1 \otimes ... \otimes V_k\): \(= F (V_1 \times ... \times V_k) / (S)\)、当該クオシエント（商）ベクトルたちスペース（空間）
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コンディションたち:
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各\((v_1, ..., v_k) \in V_1 \times ... \times V_k\)に対して、\([f_{(v_1, ..., v_k)}] = [((v_1, ..., v_k))]\)（ここで、\(f_{(v_1, ..., v_k)}: V_1 \times ... \times V_k \to F \in F (V_1 \times ... \times V_k, F)\)は、\((v_1, ..., v_k)\)を\(1\)へマップし他の要素たちを\(0\)へマップするファンクション（関数）である）はしばしば\(v_1 \otimes ... \otimes v_k\)と表記され、"\(v_1, ..., v_k\)のテンソルプロダクト"と呼ばれるが、著者は、それらはテンソルたちのテンソルプロダクト（積）と混同され紛らわしいと思うので、単に\([((v_1, ..., v_k))]\)と表記することを好む: \(((v_1, ..., v_k))\)のような表記を用いる理由については、セット（集合）上のフリーベクトルたちスペース（空間）の定義の"注"を参照のこと: \((v_1, ..., v_k) \in V_1 \times ... \times V_k\)であるが\(((v_1, ..., v_k)) \in F (V_1 \times ... \times V_k, F)\)。
2: 注
以下のようにしないよう注意する必要がある、つまり、"\([r ((v_1, ..., v_k)) + r' ((v'_1, ..., v'_k))] = [(r (v_1, ..., v_k)) + (r' (v'_1, ..., v'_k))] = [((r v_1, ..., r v_k)) + ((r' v'_1, ..., r' v'_k))] = [((r v_1 , ..., r v_k) + (r' v'_1, ..., r' v'_k))] = [((r v_1 + r' v'_1, ..., r v_k + r' v'_k))]\)"、それは誤まっている: その理由は、セット（集合）上のフリーベクトルたちスペース（空間）の定義に対する"注"内に記述されている: 第1のイコールは間違っている、なぜなら、\(r ((v_1, ..., v_k)) + r' ((v'_1, ..., v'_k))\)は、\((v_1, ..., v_k)\)を\(r\)へマップし\((v'_1, ..., v'_k)\)を\(r'\)へマップするファンクション（関数）である一方、\((r (v_1, ..., v_k)) + (r' (v'_1, ..., v'_k))\)は、\(r (v_1, ..., v_k)\)を\(1\)へマップし\(r' (v'_1, ..., v'_k)\)を\(1\)へマップするが、\((v_1, ..., v_k)\)を\(0\)へマップし\((v'_1, ..., v'_k)\)を\(0\)へマップするファンクション（関数）である; 第3のイコールは間違っている、なぜなら、\(((r v_1, ..., r v_k)) + ((r' v'_1, ..., r' v'_k))\)は、\((r v_1, ..., r v_k)\)を\(1\)へマップし\((r' v'_1, ..., r' v'_k)\)を\(1\)へマップするファンクション（関数）である一方、\(((r v_1 , ..., r v_k) + (r' v'_1, ..., r' v'_k))\)は、\((r v_1 , ..., r v_k) + (r' v'_1, ..., r' v'_k)\)を\(1\)へマップするが\((r v_1, ..., r v_k)\)を\(0\)へマップし\((r' v'_1, ..., r' v'_k)\)を\(0\)へマップするファンクション（関数）である。
以下たちは、2つの妥当なルールたちである: 1) \([((v_1, ..., r v_j, ..., v_k))] = r [((v_1, ..., v_k))]\); 2) \([((v_1, ..., v_j + v'_j, ..., v_k))] = [((v_1, ..., v_j, ..., v_k))] + [((v_1, ..., v'_j, ..., v_k))]\)。
1)の理由は、\([((v_1, ..., r v_j, ..., v_k))] = [((v_1, ..., r v_j, ..., v_k)) - (((v_1, ..., r v_j, ..., v_k)) - r ((v_1, ..., v_k)))] = [r ((v_1, ..., v_k))] = r [((v_1, ..., v_k))]\)。
2)の理由は、\([((v_1, ..., v_j + v'_j, ..., v_k))] = [((v_1, ..., v_j + v'_j, ..., v_k)) - (((v_1, ..., v_j + v'_j, ..., v_k)) - ((v_1, ..., v_j, ..., v_k)) - ((v_1, ..., v'_j, ..., v_k)))] = [((v_1, ..., v_j, ..., v_k)) + ((v_1, ..., v'_j, ..., v_k))] = [((v_1, ..., v_j, ..., v_k))] + [((v_1, ..., v'_j, ..., v_k))]\)。
