2025年3月30日日曜日

1058: ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）ノルム付きのもの上のパラレログラム（平行四辺形）法則

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ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）ノルム付きのもの上のパラレログラム（平行四辺形）法則の記述/証明

話題


About: ベクトルたちスペース（空間）

この記事の目次

開始コンテキスト

ターゲットコンテキスト



  • 読者は、ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）ノルム付きのもの上のパラレログラム（平行四辺形）法則の記述および証明を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

本体

1: 構造化された記述


ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
F: ∈{R,C}、カノニカル（正典）フィールド（体）ストラクチャー（構造）を持つもの
V: ∈{ 全ての F ベクトルたちスペース（空間）たち }、⟨∙,∙⟩:V×V→Fによってインデュースト（誘導された）‖∙‖:V→Rを持つもの
//

ステートメント（言明）たち:
∀v1,v2∈V(‖v1+v2‖2+‖v1−v2‖2=2(‖v1‖2+‖v2‖2))
//

2: 証明


全体戦略: ステップ1: ‖v1+v2‖2=⟨v1+v2,v1+v2⟩および‖v1−v2‖2=⟨v1−v2,v1−v2⟩を展開し、合計が2(⟨v1,v1⟩+⟨v1,v1⟩)=2(‖v1‖2+‖v2‖2)であることを見る。

ステップ1:

‖v1+v2‖2=⟨v1+v2,v1+v2⟩=⟨v1,v1⟩+⟨v2,v2⟩+⟨v1,v2⟩+⟨v2,v1⟩。

‖v1−v2‖2=⟨v1−v2,v1−v2⟩=⟨v1,v1⟩+⟨v2,v2⟩−⟨v1,v2⟩−⟨v2,v1⟩。

したがって、‖v1+v2‖2+‖v1−v2‖2=2⟨v1,v1⟩+2⟨v2,v2⟩=2(⟨v1,v1⟩+⟨v2,v2⟩)=2(‖v1‖2+‖v2‖2)。

参考資料
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