ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）ノルム付きのもの上のパラレログラム（平行四辺形）法則の記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）ノルム付きのもの上のパラレログラム（平行四辺形）法則の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}\)、カノニカル（正典）フィールド（体）ストラクチャー（構造）を持つもの
\(V\): \(\in \{\text{ 全ての } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)、\(\langle \bullet, \bullet \rangle: V \times V \to F\)によってインデュースト（誘導された）\(\Vert \bullet \Vert: V \to \mathbb{R}\)を持つもの
//
ステートメント（言明）たち:
\(\forall v_1, v_2 \in V (\Vert v_1 + v_2 \Vert^2 + \Vert v_1 - v_2 \Vert^2 = 2 (\Vert v_1 \Vert^2 + \Vert v_2 \Vert^2))\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(\Vert v_1 + v_2 \Vert^2 = \langle v_1 + v_2, v_1 + v_2 \rangle\)および\(\Vert v_1 - v_2 \Vert^2 = \langle v_1 - v_2, v_1 - v_2 \rangle\)を展開し、合計が\(2 (\langle v_1, v_1 \rangle + \langle v_1, v_1 \rangle) = 2 (\Vert v_1 \Vert^2 + \Vert v_2 \Vert^2)\)であることを見る。
ステップ1:
\(\Vert v_1 + v_2 \Vert^2 = \langle v_1 + v_2, v_1 + v_2 \rangle = \langle v_1, v_1 \rangle + \langle v_2, v_2 \rangle + \langle v_1, v_2 \rangle + \langle v_2, v_1 \rangle\)。
\(\Vert v_1 - v_2 \Vert^2 = \langle v_1 - v_2, v_1 - v_2 \rangle = \langle v_1, v_1 \rangle + \langle v_2, v_2 \rangle - \langle v_1, v_2 \rangle - \langle v_2, v_1 \rangle\)。
したがって、\(\Vert v_1 + v_2 \Vert^2 + \Vert v_1 - v_2 \Vert^2 = 2 \langle v_1, v_1 \rangle + 2 \langle v_2, v_2 \rangle = 2 (\langle v_1, v_1 \rangle + \langle v_2, v_2 \rangle) = 2 (\Vert v_1 \Vert^2 + \Vert v_2 \Vert^2)\)。
