1059: メトリック（計量）はコンティニュアス（連続）である、メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーに関して

<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>

メトリック（計量）はコンティニュアス（連続）である、メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーに関して、という命題の記述および証明を得る。

---

話題

About: メトリックスペース（計量付き空間）

---

この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 証明

---

開始コンテキスト

• 読者は、メトリック（計量）の定義を知っている。
• 読者は、メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーの定義を知っている。
• 読者は、プロダクトトポロジーの定義を知っている。
• 読者は、ポイントにおいてコンティヌアス（連続）なマップ（写像）の定義を知っている。

---

ターゲットコンテキスト

• 読者は、メトリック（計量）はコンティニュアス（連続）である、メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーに関して、という命題の記述および証明を得る。

---

オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

---

本体

---

1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$T$: $\in \{\text{ 全てのメトリックスペース（計量付き空間）たち }\}$、メトリック（計量）$dist:T\times T\to \mathbb{R}$を持ち、$dist$によってインデュースト（誘導された）トポロジーを持つもの
$\mathbb{R}$: $=\text{ 当該ユークリディアントポロジカルスペース（空間） }$
//

ステートメント（言明）たち:
$dist\in \{\text{ 全てのコンティニュアス（連続）マップ（写像）たち }\}$
//

---

2: 証明

全体戦略: ステップ1: 任意の$p=(p^1,p^2)\in T\times T$、$dist(p^1,p^2)$の任意のネイバーフッド（近傍）$N_{dist(p^1,p^2)}\subseteq \mathbb{R}$、$dist(p^1,p^2)$の周りの以下を満たすあるオープンボール（開球）$B_{dist(p^1,p^2),ϵ}\subseteq \mathbb{R}$、つまり、$B_{dist(p^1,p^2),ϵ}\subseteq N_{dist(p^1,p^2)}$、を取る; ステップ2: $p$のオープンネイバーフッド（開近傍）$B_{p^1,ϵ/2}\times B_{p^2,ϵ/2}\subseteq T\times T$を取り、$dist(B_{p^1,ϵ/2}\times B_{p^2,ϵ/2})\subseteq B_{dist(p^1,p^2),ϵ}\subseteq N_{dist(p^1,p^2)}$であることを見る。

ステップ1:

$p=(p^1,p^2)\in T\times T$を任意のものとしよう。

$N_{dist(p^1,p^2)}\subseteq \mathbb{R}$を$dist(p^1,p^2)$の任意のネイバーフッド（近傍）としよう。

$dist(p^1,p^2)$の周りに以下を満たすあるオープンボール（開球）$B_{dist(p^1,p^2),ϵ}\subseteq \mathbb{R}$、つまり、$B_{dist(p^1,p^2),ϵ}\subseteq N_{dist(p^1,p^2)}$、がある。

ステップ2:

$p$のオープンネイバーフッド（開近傍）$B_{p^1,ϵ/2}\times B_{p^2,ϵ/2}\subseteq T\times T$を取ろう、それは本当に$T\times T$上でオープン（開）である、メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーの定義およびプロダクトトポロジーの定義によって。

任意のポイント$p^{\prime }=(p^{\prime 1},p^{\prime 2})\in B_{p^1,ϵ/2}\times B_{p^2,ϵ/2}$に対して、$dist(p^{\prime 1},p^{\prime 2})\le dist(p^{\prime 1},p^1)+dist(p^1,p^{\prime 2})\le dist(p^{\prime 1},p^1)+dist(p^1,p^2)+dist(p^2,p^{\prime 2})<ϵ/2+dist(p^1,p^2)+ϵ/2$、したがって、$dist(p^{\prime 1},p^{\prime 2})-dist(p^1,p^2)<ϵ$; $dist(p^1,p^2)\le dist(p^1,p^{\prime 1})+dist(p^{\prime 1},p^2)\le dist(p^1,p^{\prime 1})+dist(p^{\prime 1},p^{\prime 2})+dist(p^{\prime 2},p^2)<ϵ/2+dist(p^{\prime 1},p^{\prime 2})+ϵ/2$、したがって、$dist(p^1,p^2)-dist(p^{\prime 1},p^{\prime 2})<ϵ$; したがって、$|dist(p^{\prime 1},p^{\prime 2})-dist(p^1,p^2)|<ϵ$。

それが意味するのは、$dist(B_{p^1,ϵ/2}\times B_{p^2,ϵ/2})\subseteq B_{dist(p^1,p^2),ϵ}\subseteq N_{dist(p^1,p^2)}$。したがって、$dist$はコンティニュアス（連続）である。

---

参考資料

<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>