メトリック（計量）はコンティニュアス（連続）である、メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーに関して、という命題の記述および証明を得る。
話題
About: メトリックスペース（計量付き空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、メトリック（計量）の定義を知っている。
- 読者は、メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーの定義を知っている。
- 読者は、プロダクトトポロジーの定義を知っている。
- 読者は、ポイントにおいてコンティヌアス（連続）なマップ（写像）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、メトリック（計量）はコンティニュアス（連続）である、メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーに関して、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T\): \(\in \{\text{ 全てのメトリックスペース（計量付き空間）たち }\}\)、メトリック（計量）\(dist: T \times T \to \mathbb{R}\)を持ち、\(dist\)によってインデュースト（誘導された）トポロジーを持つもの
\(\mathbb{R}\): \(= \text{ 当該ユークリディアントポロジカルスペース（空間） }\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(dist \in \{\text{ 全てのコンティニュアス（連続）マップ（写像）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: 任意の\(p = (p^1, p^2) \in T \times T\)、\(dist (p^1, p^2)\)の任意のネイバーフッド（近傍）\(N_{dist (p^1, p^2)} \subseteq \mathbb{R}\)、\(dist (p^1, p^2)\)の周りの以下を満たすあるオープンボール（開球）\(B_{dist (p^1, p^2), \epsilon} \subseteq \mathbb{R}\)、つまり、\(B_{dist (p^1, p^2), \epsilon} \subseteq N_{dist (p^1, p^2)}\)、を取る; ステップ2: \(p\)のオープンネイバーフッド（開近傍）\(B_{p^1, \epsilon / 2} \times B_{p^2, \epsilon / 2} \subseteq T \times T\)を取り、\(dist (B_{p^1, \epsilon / 2} \times B_{p^2, \epsilon / 2}) \subseteq B_{dist (p^1, p^2), \epsilon} \subseteq N_{dist (p^1, p^2)}\)であることを見る。
ステップ1:
\(p = (p^1, p^2) \in T \times T\)を任意のものとしよう。
\(N_{dist (p^1, p^2)} \subseteq \mathbb{R}\)を\(dist (p^1, p^2)\)の任意のネイバーフッド（近傍）としよう。
\(dist (p^1, p^2)\)の周りに以下を満たすあるオープンボール（開球）\(B_{dist (p^1, p^2), \epsilon} \subseteq \mathbb{R}\)、つまり、\(B_{dist (p^1, p^2), \epsilon} \subseteq N_{dist (p^1, p^2)}\)、がある。
ステップ2:
\(p\)のオープンネイバーフッド（開近傍）\(B_{p^1, \epsilon / 2} \times B_{p^2, \epsilon / 2} \subseteq T \times T\)を取ろう、それは本当に\(T \times T\)上でオープン（開）である、メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーの定義およびプロダクトトポロジーの定義によって。
任意のポイント\(p' = (p'^1, p'^2) \in B_{p^1, \epsilon / 2} \times B_{p^2, \epsilon / 2}\)に対して、\(dist (p'^1, p'^2) \le dist (p'^1, p^1) + dist (p^1, p'^2) \le dist (p'^1, p^1) + dist (p^1, p^2) + dist (p^2, p'^2) \lt \epsilon / 2 + dist (p^1, p^2) + \epsilon / 2\)、したがって、\(dist (p'^1, p'^2) - dist (p^1, p^2) \lt \epsilon\); \(dist (p^1, p^2) \le dist (p^1, p'^1) + dist (p'^1, p^2) \le dist (p^1, p'^1) + dist (p'^1, p'^2) + dist (p'^2, p^2) \lt \epsilon / 2 + dist (p'^1, p'^2) + \epsilon / 2\)、したがって、\(dist (p^1, p^2) - dist (p'^1, p'^2) \lt \epsilon\); したがって、\(\vert dist (p'^1, p'^2) - dist (p^1, p^2) \vert \lt \epsilon\)。
それが意味するのは、\(dist (B_{p^1, \epsilon / 2} \times B_{p^2, \epsilon / 2}) \subseteq B_{dist (p^1, p^2), \epsilon} \subseteq N_{dist (p^1, p^2)}\)。したがって、\(dist\)はコンティニュアス（連続）である。
