メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジカルスペース（空間）はハウスドルフであることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーの定義を知っている。
- 読者は、ハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジカルスペース（空間）はハウスドルフであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)、任意のメトリック（計量）\(dist: T \times T \to \mathbb{R}\)によってインデュースト（誘導された）
//
ステートメント（言明）たち:
\(T \in \{\text{ 全てのハウスドルフトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: 以下を満たす各\(t, t' \in T\)、つまり、\(t \neq t'\)、に対して、\(t\)のオープンネイバーフッド（開近傍）\(B_{t, dist (t, t') / 2}\)および\(t'\)のオープンネイバーフッド（開近傍）\(B_{t', dist (t, t') / 2}\)を取り、\(B_{t, dist (t, t') / 2} \cap B_{t', dist (t, t') / 2} = \emptyset\)であることを見る。
ステップ1:
\(t, t' \in T\)を\(t \neq t'\)を満たす任意のものとしよう。
\(0 \lt dist (t, t')\)。
\(t\)のオープンネイバーフッド（開近傍）\(B_{t, dist (t, t') / 2}\)および\(t'\)のオープンネイバーフッド（開近傍）\(B_{t', dist (t, t') / 2}\)を取ろう。
\(B_{t, dist (t, t') / 2} \cap B_{t', dist (t, t') / 2} = \emptyset\)であることを見よう。
\(u \in B_{t, dist (t, t') / 2}\)を任意のものとしよう。
\(dist (t, t') \le dist (t, u) + dist (u, t')\)、したがって、\(dist (t, t') - dist (t, u) \le dist (u, t')\)、しかし、\(dist (t, t') / 2 = dist (t, t') - dist (t, t') / 2 \lt dist (t, t') - dist (t, u)\)、したがって、\(dist (t, t') / 2 \lt dist (u, t')\)、それが意味するのは、\(u \notin B_{t', dist (t, t') / 2}\)。
したがって、\(B_{t, dist (t, t') / 2} \cap B_{t', dist (t, t') / 2} = \emptyset\)。
