1057: メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジカルスペース（空間）はハウスドルフである

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メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジカルスペース（空間）はハウスドルフであることの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーの定義を知っている。
• 読者は、ハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジカルスペース（空間）はハウスドルフであるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$T$: $\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}$、任意のメトリック（計量）$dist:T\times T\to \mathbb{R}$によってインデュースト（誘導された）
//

ステートメント（言明）たち:
$T\in \{\text{ 全てのハウスドルフトポロジカルスペース（空間）たち }\}$
//

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2: 証明

全体戦略: ステップ1: 以下を満たす各$t,t^{\prime }\in T$、つまり、$t\ne t^{\prime }$、に対して、$t$のオープンネイバーフッド（開近傍）$B_{t,dist(t,t^{\prime })/2}$および$t^{\prime }$のオープンネイバーフッド（開近傍）$B_{t^{\prime },dist(t,t^{\prime })/2}$を取り、$B_{t,dist(t,t^{\prime })/2}\cap B_{t^{\prime },dist(t,t^{\prime })/2}=\mathrm{\varnothing }$であることを見る。

ステップ1:

$t,t^{\prime }\in T$を$t\ne t^{\prime }$を満たす任意のものとしよう。

$0<dist(t,t^{\prime })$。

$t$のオープンネイバーフッド（開近傍）$B_{t,dist(t,t^{\prime })/2}$および$t^{\prime }$のオープンネイバーフッド（開近傍）$B_{t^{\prime },dist(t,t^{\prime })/2}$を取ろう。

$B_{t,dist(t,t^{\prime })/2}\cap B_{t^{\prime },dist(t,t^{\prime })/2}=\mathrm{\varnothing }$であることを見よう。

$u\in B_{t,dist(t,t^{\prime })/2}$を任意のものとしよう。

$dist(t,t^{\prime })\le dist(t,u)+dist(u,t^{\prime })$、したがって、$dist(t,t^{\prime })-dist(t,u)\le dist(u,t^{\prime })$、しかし、$dist(t,t^{\prime })/2=dist(t,t^{\prime })-dist(t,t^{\prime })/2<dist(t,t^{\prime })-dist(t,u)$、したがって、$dist(t,t^{\prime })/2<dist(u,t^{\prime })$、それが意味するのは、$u\notin B_{t^{\prime },dist(t,t^{\prime })/2}$。

したがって、$B_{t,dist(t,t^{\prime })/2}\cap B_{t^{\prime },dist(t,t^{\prime })/2}=\mathrm{\varnothing }$。

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参考資料

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