1067: 3-ディメンショナル（次元）ユークリディアンベクトルたちスペース（空間）に対して、任意のアクシス（軸）の周りのオーソノーマル（正規直交）ベーシス（基底）に関する回転マトリックス（行列）はこれである

<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>

3-ディメンショナル（次元）ユークリディアンベクトルたちスペース（空間）に対して、任意のアクシス（軸）の周りのオーソノーマル（正規直交）ベーシス（基底）に関する回転マトリックス（行列）はこれであることの記述/証明

---

話題

About: ベクトルたちスペース（空間）

---

この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 証明
• 3: 注

---

開始コンテキスト

• 読者は、ユークリディアンベクトルたちスペース（空間）上のユークリディアンインナープロダクト（内積）の定義を知っている。
• 読者は、任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）および任意のベクトルたちスペース（空間）エンドモーフィズム（自己準同形写像）に対して、ベーシス（基底）たちの任意の変更に関するエンドモーフィズム（自己準同形写像）マトリックス（行列）のトランジション（遷移）はこれであるという命題を認めている。
• 読者は、マトリックス（行列）のデターミナント（行列式）のラプラス展開を認めている。

---

ターゲットコンテキスト

• 読者は、3-ディメンショナル（次元）ユークリディアンベクトルたちスペース（空間）に対して、任意のアクシス（軸）の周りの任意のオーソノーマル（正規直交）ベーシス（基底）に関する回転マトリックス（行列）はこれであるという命題の記述および証明を得る。

---

オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

---

本体

---

1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$V$: $={\mathbb{R}}^3$, $=\text{ 当該ユークリディアンベクトルたちスペース（空間） }$で、ユークリディアンインナープロダクト（内積）を持つもの
$B$: $\in \{V\text{ に対する全てのオーソノーマル（正規直交）ベーシス（基底）たち }\}$、$=\{b_1,b_2,b_3\}$
$n$: $\in V$, $=n^1{b}_1+n^2{b}_2+n^3{b}_3$で以下を満たすもの、つまり、$⟨n,n⟩=1$
$f$: $:V\to V$, $=n\text{ の周りの }\theta \text{ -回転 }$
$N$: $=f\text{ の }B\text{ に関するコンポーネントたちマトリックス（行列） }$
//

ステートメント（言明）たち:
$N=M{N}^{\prime }{M}^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}(1-{n^1}^2)cos\theta +{n^1}^2& -n^1{n}^{2}cos\theta -n^{3}sin\theta +n^1{n}^2& n^{2}sin\theta -n^3{n}^{1}cos\theta +n^3{n}^1\\ -n^1{n}^{2}cos\theta +n^{3}sin\theta +n^1{n}^2& (1-{n^2}^2)cos\theta +{n^2}^2& -n^2{n}^{3}cos\theta -n^{1}sin\theta +n^2{n}^3\\ -n^3{n}^{1}cos\theta -n^{2}sin\theta +n^3{n}^1& -n^2{n}^{3}cos\theta +n^{1}sin\theta +n^3{n}^2& ({n^1}^2+{n^2}^2)cos\theta +{n^3}^2\end{array}\right)$、ここで、$M=\left(\begin{array}{ccc}1/\sqrt{{n^1}^2+{n^2}^2}{n}^2& 1/\sqrt{{n^1}^2+{n^2}^2}{n}^3{n}^1& n^1\\ -1/\sqrt{{n^1}^2+{n^2}^2}{n}^1& 1/\sqrt{{n^1}^2+{n^2}^2}{n}^2{n}^3& n^2\\ 0& -1/\sqrt{{n^1}^2+{n^2}^2}({n^1}^2+{n^2}^2)& n^3\end{array}\right)$および$N^{\prime }=\left(\begin{array}{ccc}cos\theta & -sin\theta & 0\\ sin\theta & cos\theta & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$
//

---

2: 証明

全体戦略: 任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）および任意のベクトルたちスペース（空間）エンドモーフィズム（自己準同形写像）に対して、ベーシス（基底）たちの任意の変更に関するエンドモーフィズム（自己準同形写像）マトリックス（行列）のトランジション（遷移）はこれであるという命題を適用する; ステップ1: あるオーソノーマル（正規直交）ベーシス（基底）$B^{\prime }$で$b_3^{\prime }=n$であるものを取る; ステップ2: $f$の$B^{\prime }$に関するコンポーネントたちマトリックス（行列）を取る; ステップ3: 任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）および任意のベクトルたちスペース（空間）エンドモーフィズム（自己準同形写像）に対して、ベーシス（基底）たちの任意の変更に関するエンドモーフィズム（自己準同形写像）マトリックス（行列）のトランジション（遷移）はこれであるという命題を適用する。

ステップ1:

$B$がオーソノーマル（正規直交）であることが意味するのは、$⟨b_j,b_l⟩={\delta }_{j,l}$、すると、$⟨{\bar{v}}^1{b}_1+{\bar{v}}^2{b}_2+{\bar{v}}^3{b}_3,v^1{b}_1+v^2{b}_2+v^3{b}_3⟩={\bar{v}}^1{v}^1+{\bar{v}}^2{v}^2+{\bar{v}}^3{v}^3$。

あるオーソノーマル（正規直交）ベーシス（基底）$B^{\prime }=(b_1^{\prime },b_2^{\prime },b_3^{\prime })$を$b_3^{\prime }=n$であるように取ろう: そのコンディションはそれをユニークには決定していない、まだ。

$b_1^{\prime }$を$1/\sqrt{{n^1}^2+{n^2}^2}(n^2{b}_1-n^1{b}_2+0b_3)$としよう、それは確かに$⟨b_3^{\prime },b_1^{\prime }⟩=0$および$⟨b_1^{\prime },b_1^{\prime }⟩=0$を満たす。

$b_2^{\prime }$を$b_3^{\prime }\times b_1^{\prime }=1/\sqrt{{n^1}^2+{n^2}^2}(n^3{n}^1{b}_1+n^2{n}^3{b}_2-({n^1}^2+{n^2}^2)b_3)$としよう。

$(b_1^{\prime },b_2^{\prime },b_3^{\prime })=(b_1,b_2,b_3)M$、ここで、$M=\left(\begin{array}{ccc}1/\sqrt{{n^1}^2+{n^2}^2}{n}^2& 1/\sqrt{{n^1}^2+{n^2}^2}{n}^3{n}^1& n^1\\ -1/\sqrt{{n^1}^2+{n^2}^2}{n}^1& 1/\sqrt{{n^1}^2+{n^2}^2}{n}^2{n}^3& n^2\\ 0& -1/\sqrt{{n^1}^2+{n^2}^2}({n^1}^2+{n^2}^2)& n^3\end{array}\right)$。

ステップ2:

$f$の$B^{\prime }$に関するコンポーネントたちマトリックス（行列）$N^{\prime }$を得よう。

それは$b_3^{\prime }$アクシス（軸）の周りの$\theta$-回転であるから、$N^{\prime }=\left(\begin{array}{ccc}cos\theta & -sin\theta & 0\\ sin\theta & cos\theta & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$: 各$(rcos{\theta }_0,rsin{\theta }_0,z{)}^t$は$(rcos({\theta }_0+\theta ),rsin({\theta }_0+\theta ),z{)}^t=(r(cos{\theta }_{0}cos\theta -sin{\theta }_{0}sin\theta ),r(sin{\theta }_{0}cos\theta +cos{\theta }_{0}sin\theta ),z{)}^t=(cos\theta (rcos{\theta }_0)-sin\theta (rsin{\theta }_0),sin\theta (rcos{\theta }_0)+cos\theta (rsin{\theta }_0),z{)}^t$へマップされる。

ステップ3:

任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）および任意のベクトルたちスペース（空間）エンドモーフィズム（自己準同形写像）に対して、ベーシス（基底）たちの任意の変更に関するエンドモーフィズム（自己準同形写像）マトリックス（行列）のトランジション（遷移）はこれであるという命題を適用しよう。

$N=M{N}^{\prime }{M}^{-1}$。

$M^{-1}$を得よう、マトリックス（行列）のデターミナント（行列式）のラプラス展開によって。

$detM=1$: それは律儀な計算によって得られるが、それはよく知られた事実である、なぜなら、それはオーソノーマル（正規直交）ベーシス（基底）たち間のトランスフォーメーション（変換）マトリックス（行列）である。

$M^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1/\sqrt{{n^1}^2+{n^2}^2}{n}^2& -1/\sqrt{{n^1}^2+{n^2}^2}{n}^1& 0\\ 1/\sqrt{{n^1}^2+{n^2}^2}{n}^3{n}^1& 1/\sqrt{{n^1}^2+{n^2}^2}{n}^2{n}^3& -1/\sqrt{{n^1}^2+{n^2}^2}({n^1}^2+{n^2}^2)\\ n^1& n^2& n^3\end{array}\right)$。

$N^{\prime }{M}^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1/\sqrt{{n^1}^2+{n^2}^2}(n^{2}cos\theta -n^3{n}^{1}sin\theta )& -1/\sqrt{{n^1}^2+{n^2}^2}(n^{1}cos\theta +n^2{n}^{3}sin\theta )& 1/\sqrt{{n^1}^2+{n^2}^2}({n^1}^2+{n^2}^2)sin\theta \\ 1/\sqrt{{n^1}^2+{n^2}^2}(n^3{n}^{1}cos\theta +n^{2}sin\theta )& 1/\sqrt{{n^1}^2+{n^2}^2}(n^2{n}^{3}cos\theta -n^{1}sin\theta )& -1/\sqrt{{n^1}^2+{n^2}^2}({n^1}^2+{n^2}^2)cos\theta \\ n^1& n^2& n^3\end{array}\right)$。

$M{N}^{\prime }{M}^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}(1-{n^1}^2)cos\theta +{n^1}^2& -n^1{n}^{2}cos\theta -n^{3}sin\theta +n^1{n}^2& n^{2}sin\theta -n^3{n}^{1}cos\theta +n^3{n}^1\\ -n^1{n}^{2}cos\theta +n^{3}sin\theta +n^1{n}^2& (1-{n^2}^2)cos\theta +{n^2}^2& -n^2{n}^{3}cos\theta -n^{1}sin\theta +n^2{n}^3\\ -n^3{n}^{1}cos\theta -n^{2}sin\theta +n^3{n}^1& -n^2{n}^{3}cos\theta +n^{1}sin\theta +n^3{n}^2& ({n^1}^2+{n^2}^2)cos\theta +{n^3}^2\end{array}\right)$。

---

3: 注

当該フォーミュラはいくつかの特別なケースたちと矛盾しないことを見よう。

$(n^1,n^2,n^3)=(1,0,0)$である時、$N=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& cos\theta & -sin\theta \\ 0& sin\theta & cos\theta \end{array}\right)$。

$(n^1,n^2,n^3)=(0,1,0)$である時、$N=\left(\begin{array}{ccc}cos\theta & 0& sin\theta \\ 0& 1& 0\\ -sin\theta & 0& cos\theta \end{array}\right)$。

$\theta =0$である時、$N=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$。

---

参考資料

<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>