3-ディメンショナル（次元）ユークリディアンベクトルたちスペース（空間）に対して、任意のアクシス（軸）の周りのオーソノーマル（正規直交）ベーシス（基底）に関する回転マトリックス（行列）はこれであることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、3-ディメンショナル（次元）ユークリディアンベクトルたちスペース（空間）に対して、任意のアクシス（軸）の周りの任意のオーソノーマル（正規直交）ベーシス（基底）に関する回転マトリックス（行列）はこれであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(V\): \(= \mathbb{R}^3\), \(= \text{ 当該ユークリディアンベクトルたちスペース（空間） }\)で、ユークリディアンインナープロダクト（内積）を持つもの
\(B\): \(\in \{V \text{ に対する全てのオーソノーマル（正規直交）ベーシス（基底）たち }\}\)、\(= \{b_1, b_2, b_3\}\)
\(n\): \(\in V\), \(= n^1 b_1 + n^2 b_2 + n^3 b_3\)で以下を満たすもの、つまり、\(\langle n, n \rangle = 1\)
\(f\): \(: V \to V\), \(= n \text{ の周りの } \theta \text{ -回転 }\)
\(N\): \(= f \text{ の } B \text{ に関するコンポーネントたちマトリックス（行列） }\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(N = M N' M^{-1} = \begin{pmatrix} (1 - {n^1}^2) cos \theta + {n^1}^2 & - n^1 n^2 cos \theta - n^3 sin \theta + n^1 n^2 & n^2 sin \theta - n^3 n^1 cos \theta + n^3 n^1 \\ - n^1 n^2 cos \theta + n^3 sin \theta + n^1 n^2 & (1 - {n^2}^2) cos \theta + {n^2}^2 & - n^2 n^3 cos \theta - n^1 sin \theta + n^2 n^3 \\ - n^3 n^1 cos \theta - n^2 sin \theta + n^3 n^1 & - n^2 n^3 cos \theta + n^1 sin \theta + n^3 n^2 & ({n^1}^2 + {n^2}^2) cos \theta + {n^3}^2 \end{pmatrix}\)、ここで、\(M = \begin{pmatrix} 1 / \sqrt{{n^1}^2 + {n^2}^2} n^2 & 1 / \sqrt{{n^1}^2 + {n^2}^2} n^3 n^1 & n^1 \\ - 1 / \sqrt{{n^1}^2 + {n^2}^2} n^1 & 1 / \sqrt{{n^1}^2 + {n^2}^2} n^2 n^3 & n^2 \\ 0 & - 1 / \sqrt{{n^1}^2 + {n^2}^2} ({n^1}^2 + {n^2}^2) & n^3 \end{pmatrix}\)および\(N' = \begin{pmatrix} cos \theta & - sin \theta & 0 \\ sin \theta & cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\)
//
2: 証明
全体戦略: 任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）および任意のベクトルたちスペース（空間）エンドモーフィズム（自己準同形写像）に対して、ベーシス（基底）たちの任意の変更に関するエンドモーフィズム（自己準同形写像）マトリックス（行列）のトランジション（遷移）はこれであるという命題を適用する; ステップ1: あるオーソノーマル（正規直交）ベーシス（基底）\(B'\)で\(b'_3 = n\)であるものを取る; ステップ2: \(f\)の\(B'\)に関するコンポーネントたちマトリックス（行列）を取る; ステップ3: 任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）および任意のベクトルたちスペース（空間）エンドモーフィズム（自己準同形写像）に対して、ベーシス（基底）たちの任意の変更に関するエンドモーフィズム（自己準同形写像）マトリックス（行列）のトランジション（遷移）はこれであるという命題を適用する。
ステップ1:
\(B\)がオーソノーマル（正規直交）であることが意味するのは、\(\langle b_j, b_l \rangle = \delta_{j, l}\)、すると、\(\langle \overline{v}^1 b_1 + \overline{v}^2 b_2 + \overline{v}^3 b_3, v^1 b_1 + v^2 b_2 + v^3 b_3 \rangle = \overline{v}^1 v^1 + \overline{v}^2 v^2 + \overline{v}^3 v^3\)。
あるオーソノーマル（正規直交）ベーシス（基底）\(B' = (b'_1, b'_2, b'_3)\)を\(b'_3 = n\)であるように取ろう: そのコンディションはそれをユニークには決定していない、まだ。
\(b'_1\)を\(1 / \sqrt{{n^1}^2 + {n^2}^2} (n^2 b_1 - n^1 b_2 + 0 b_3)\)としよう、それは確かに\(\langle b'_3, b'_1 \rangle = 0\)および\(\langle b'_1, b'_1 \rangle = 0\)を満たす。
\(b'_2\)を\(b'_3 \times b'_1 = 1 / \sqrt{{n^1}^2 + {n^2}^2} (n^3 n^1 b_1 + n^2 n^3 b_2 - ({n^1}^2 + {n^2}^2) b_3)\)としよう。
\((b'_1, b'_2, b'_3) = (b_1, b_2, b_3) M\)、ここで、\(M = \begin{pmatrix} 1 / \sqrt{{n^1}^2 + {n^2}^2} n^2 & 1 / \sqrt{{n^1}^2 + {n^2}^2} n^3 n^1 & n^1 \\ - 1 / \sqrt{{n^1}^2 + {n^2}^2} n^1 & 1 / \sqrt{{n^1}^2 + {n^2}^2} n^2 n^3 & n^2 \\ 0 & - 1 / \sqrt{{n^1}^2 + {n^2}^2} ({n^1}^2 + {n^2}^2) & n^3 \end{pmatrix}\)。
ステップ2:
\(f\)の\(B'\)に関するコンポーネントたちマトリックス（行列）\(N'\)を得よう。
それは\(b'_3\)アクシス（軸）の周りの\(\theta\)-回転であるから、\(N' = \begin{pmatrix} cos \theta & - sin \theta & 0 \\ sin \theta & cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\): 各\((r cos \theta_0, r sin \theta_0, z)^t\)は\((r cos (\theta_0 + \theta), r sin (\theta_0 + \theta), z)^t = (r (cos \theta_0 cos \theta - sin \theta_0 sin \theta), r (sin \theta_0 cos \theta + cos \theta_0 sin \theta), z)^t = (cos \theta (r cos \theta_0) - sin \theta (r sin \theta_0), sin \theta (r cos \theta_0) + cos \theta (r sin \theta_0), z)^t\)へマップされる。
ステップ3:
任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）および任意のベクトルたちスペース（空間）エンドモーフィズム（自己準同形写像）に対して、ベーシス（基底）たちの任意の変更に関するエンドモーフィズム（自己準同形写像）マトリックス（行列）のトランジション（遷移）はこれであるという命題を適用しよう。
\(N = M N' M^{-1}\)。
\(M^{-1}\)を得よう、マトリックス（行列）のデターミナント（行列式）のラプラス展開によって。
\(det M = 1\): それは律儀な計算によって得られるが、それはよく知られた事実である、なぜなら、それはオーソノーマル（正規直交）ベーシス（基底）たち間のトランスフォーメーション（変換）マトリックス（行列）である。
\(M^{-1} = \begin{pmatrix} 1 / \sqrt{{n^1}^2 + {n^2}^2} n^2 & - 1 / \sqrt{{n^1}^2 + {n^2}^2} n^1 & 0 \\ 1 / \sqrt{{n^1}^2 + {n^2}^2} n^3 n^1 & 1 / \sqrt{{n^1}^2 + {n^2}^2} n^2 n^3 & - 1 / \sqrt{{n^1}^2 + {n^2}^2} ({n^1}^2 + {n^2}^2) \\ n^1 & n^2 & n^3 \end{pmatrix}\)。
\(N' M^{-1} = \begin{pmatrix} 1 / \sqrt{{n^1}^2 + {n^2}^2} (n^2 cos \theta - n^3 n^1 sin \theta) & - 1 / \sqrt{{n^1}^2 + {n^2}^2} (n^1 cos \theta + n^2 n^3 sin \theta) & 1 / \sqrt{{n^1}^2 + {n^2}^2} ({n^1}^2 + {n^2}^2) sin \theta \\ 1 / \sqrt{{n^1}^2 + {n^2}^2} (n^3 n^1 cos \theta + n^2 sin \theta) & 1 / \sqrt{{n^1}^2 + {n^2}^2} (n^2 n^3 cos \theta - n^1 sin \theta) & - 1 / \sqrt{{n^1}^2 + {n^2}^2} ({n^1}^2 + {n^2}^2) cos \theta \\ n^1 & n^2 & n^3 \end{pmatrix}\)。
\(M N' M^{-1} = \begin{pmatrix} (1 - {n^1}^2) cos \theta + {n^1}^2 & - n^1 n^2 cos \theta - n^3 sin \theta + n^1 n^2 & n^2 sin \theta - n^3 n^1 cos \theta + n^3 n^1 \\ - n^1 n^2 cos \theta + n^3 sin \theta + n^1 n^2 & (1 - {n^2}^2) cos \theta + {n^2}^2 & - n^2 n^3 cos \theta - n^1 sin \theta + n^2 n^3 \\ - n^3 n^1 cos \theta - n^2 sin \theta + n^3 n^1 & - n^2 n^3 cos \theta + n^1 sin \theta + n^3 n^2 & ({n^1}^2 + {n^2}^2) cos \theta + {n^3}^2 \end{pmatrix}\)。
3: 注
当該フォーミュラはいくつかの特別なケースたちと矛盾しないことを見よう。
\((n^1, n^2, n^3) = (1, 0, 0)\)である時、\(N = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & cos \theta & - sin \theta \\ 0 & sin \theta & cos \theta \end{pmatrix}\)。
\((n^1, n^2, n^3) = (0, 1, 0)\)である時、\(N = \begin{pmatrix} cos \theta & 0 & sin \theta \\ 0 & 1 & 0 \\ - sin \theta & 0 & cos \theta \end{pmatrix}\)。
\(\theta = 0\)である時、\(N = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\)。
