ユークリディアンベクトルたちスペース（空間）上のユークリディアンインナープロダクト（内積）の定義
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ユークリディアンベクトルたちスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）上のインナープロダクト（内積）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、ユークリディアンベクトルたちスペース（空間）上のユークリディアンインナープロダクト（内積）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( \mathbb{R}^d\): \(= \text{ ユークリディアンベクトルたちスペース（空間） }\)
\(*\langle \bullet, \bullet \rangle\): \(= \in \{ \mathbb{R}^d \text{ 上の全てのインナープロダクト（内積）たち }\}\), \(:\mathbb{R}^d \times \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}, (v_1, v_2) \mapsto \sum_{j = 1 \sim d} v_1^j v_2^j\)
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コンディションたち:
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2: 自然言語記述
ユークリディアンベクトルたちスペース（空間）\(\mathbb{R}^d\)に対して、インナープロダクト（内積）\(\langle \bullet, \bullet \rangle\)、\(:\mathbb{R}^d \times \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}, (v_1, v_2) \mapsto \sum_{j = 1 \sim d} v_1^j v_2^j\)
3: 注
それは実際にインナープロダクト（内積）である: 1) \(0 \le \langle v_1, v_1\rangle = \sum_{j = 1 \sim d} v_1^j v_1^j\)で、等号は\(v_1 = 0\)である場合、そしてその場合に限って成立する; 2) \(\langle v_1, v_2 \rangle = \sum_{j = 1 \sim d} v_1^j v_2^j = \sum_{j = 1 \sim d} v_2^j v_1^j = \langle v_2, v_1\rangle\); 3) \(\langle r_1 v_1 + r_2 v_2, v_3 \rangle = \sum_{j = 1 \sim d} (r_1 v_1^j + r_2 v_2^j) v_3^j = \sum_{j = 1 \sim d} r_1 v_1^j v_3^j + \sum_{j = 1 \sim d} r_2 v_2^j v_3^j = r_1 \langle v_1, v_3 \rangle + r_2 \langle v_2, v_3 \rangle\)。
ユークリディアンベクトルたちスペース（空間）はユークリディアンインナープロダクト（内積）を持っているものと暗黙に想定されがちであるが、必ずしもそうではない。
