514: ユークリディアンベクトルたちスペース（空間）上のユークリディアンインナープロダクト（内積）

<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>

ユークリディアンベクトルたちスペース（空間）上のユークリディアンインナープロダクト（内積）の定義

---

話題

About: ベクトルたちスペース（空間）

---

この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 注

---

開始コンテキスト

• 読者は、ユークリディアンベクトルたちスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）上のインナープロダクト（内積）の定義を知っている。

---

ターゲットコンテキスト

• 読者は、ユークリディアンベクトルたちスペース（空間）上のユークリディアンインナープロダクト（内積）の定義を得る。

---

オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

---

本体

---

1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
${\mathbb{R}}^d$: $=\text{ ユークリディアンベクトルたちスペース（空間） }$
$\ast ⟨\bullet ,\bullet ⟩$: $=\in \{{\mathbb{R}}^d\text{ 上の全てのインナープロダクト（内積）たち }\}$, $:{\mathbb{R}}^d\times {\mathbb{R}}^d\to \mathbb{R},(v_1,v_2)\mapsto \sum _{j=1\sim d}{v}_1^j{v}_2^j$
//

コンディションたち:
//

---

2: 自然言語記述

ユークリディアンベクトルたちスペース（空間）${\mathbb{R}}^d$に対して、インナープロダクト（内積）$⟨\bullet ,\bullet ⟩$、$:{\mathbb{R}}^d\times {\mathbb{R}}^d\to \mathbb{R},(v_1,v_2)\mapsto \sum _{j=1\sim d}{v}_1^j{v}_2^j$

---

3: 注

それは実際にインナープロダクト（内積）である: 1) $0\le ⟨v_1,v_1⟩=\sum _{j=1\sim d}{v}_1^j{v}_1^j$で、等号は$v_1=0$である場合、そしてその場合に限って成立する; 2) $⟨v_1,v_2⟩=\sum _{j=1\sim d}{v}_1^j{v}_2^j=\sum _{j=1\sim d}{v}_2^j{v}_1^j=⟨v_2,v_1⟩$; 3) $⟨r_1{v}_1+r_2{v}_2,v_3⟩=\sum _{j=1\sim d}(r_1{v}_1^j+r_2{v}_2^j)v_3^j=\sum _{j=1\sim d}{r}_1{v}_1^j{v}_3^j+\sum _{j=1\sim d}{r}_2{v}_2^j{v}_3^j=r_1⟨v_1,v_3⟩+r_2⟨v_2,v_3⟩$。

ユークリディアンベクトルたちスペース（空間）はユークリディアンインナープロダクト（内積）を持っているものと暗黙に想定されがちであるが、必ずしもそうではない。

---

参考資料

<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>