ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）ノルムを持つもの、サブスペース（部分空間）、スーパースペース（空間）上のベクトルに対して、サブスペース（部分空間）上のベクトルでベクトルへの距離が最小なものは、ユニークであり差はサブスペース（部分空間）へ垂直である、そして、サブスペース（部分空間）上のベクトルで差がサブスペース（部分空間）へ垂直なものは、ユニークであり距離は最小であることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のベクトルたちスペース（空間）で任意のインナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）ノルムを持つもの、任意のサブスペース（部分空間）、当該スーパースペース（空間）上の任意のベクトルに対して、もしも、当該サブスペース（部分空間）上のベクトルで当該ベクトルへの距離が最小なものがある場合、それは、ユニークであり当該ベクトルたちの差は当該サブスペース（部分空間）へ垂直である、そして、もしも、当該サブスペース（部分空間）上のベクトルで当該ベクトルたちの差が当該サブスペース（部分空間）へ垂直なものがある場合、それは、ユニークであり距離は最小であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}\)で、カノニカル（正典）なフィールド（体）ストラクチャー（構造）を持つもの
\(V'\): \(\in \{\text{ 全ての } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち } \}\)で、任意のインナープロダクト（内積）\(\langle \bullet, \bullet \rangle: V' \times V' \to F\)および\(\langle \bullet, \bullet \rangle\)によってインデュースト（誘導された）ノルム\(\Vert \bullet \Vert\)を持つもの
\(V\): \(\in \{V' \text{ の全てのサブスペース（部分空間）たち }\}\)
\(v'\): \(\in V'\)
//
ステートメント（言明）たち:
(
\(\exists v_0 \in V (\forall v \in V (\Vert v' - v_0 \Vert \le \Vert v' - v \Vert))\)
\(\implies\)
(
\(v_0 \text{ はユニークである }\)
\(\land\)
\(\forall v \in V (\langle v' - v_0, v \rangle = 0)\)
)
)
\(\land\)
(
\(\exists v_0 \in V (\forall v \in V (\langle v' - v_0, v \rangle = 0))\)
\(\implies\)
(
\(v_0 \text{ はユニークである }\)
\(\land\)
\(\forall v \in V (\Vert v' - v_0 \Vert \le \Vert v' - v \Vert)\)
)
)
//
2: 注
本命題は、そういう\(v_0\)があると主張していない。
任意のヒルベルトスペース（空間）、任意の非空クローズド（閉）コンベックス（凸）サブセット（部分集合）、当該ヒルベルトスペース（空間）上の任意のポイントに対して、当該サブセット（部分集合）上のユニークなポイントで当該ポイントへのディスタンス（距離）が最小であるものがあるという命題と比較のこと。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: 以下を満たすある\(v_0 \in V\)、つまり、各\(v \in V\)に対して、\(\Vert v' - v_0 \Vert \le \Vert v' - v \Vert\)、があると仮定する; ステップ2: 以下を満たす任意の\(v \in V\)、つまり、\(v \neq v_0\)、を取り、\(r := \Vert v - v_0 \Vert\)および\(w := 1 / r (v - v_0)\)を定義し、恣意的な\(\widetilde{r}\)および\(\widetilde{\theta}\)に対して、\(\widetilde{v} := \widetilde{r} e^{\widetilde{\theta} i} w + v_0\)を取り\(\widetilde{v} \in V\)であることを見る; ステップ3: \(\langle v' - \widetilde{v}, v' - \widetilde{v} \rangle = \langle v' - v_0 + v_0 - \widetilde{v}, v' - v_0 + v_0 - \widetilde{v} \rangle\)を展開し、\(\langle v' - v_0, w \rangle = 0\)であることを見る; ステップ4: \(\langle v' - v_0, v_0 \rangle = 0\)および\(\langle v' - v_0, v \rangle = 0\)であることを見る; ステップ5: \(v_0\)はユニークであることを見る; ステップ6: 以下を満たすある\(v_0 \in V\)、つまり、各\(v \in V\)に対して、\(\langle v' - v_0, v \rangle = 0\)、があると仮定する; ステップ7: \(\langle v' - v, v' - v \rangle = \langle v' - v_0 + v_0 - v, v' - v_0 + v_0 - v \rangle\)を展開し、\(\langle v' - v_0, v' - v_0 \rangle \le \langle v' - v, v' - v \rangle\)であることを見る; ステップ8: \(v_0\)はユニークであることを見る。
ステップ1:
以下を満たすある\(v_0 \in V\)、つまり、各\(v \in V\)に対して、\(\Vert v' - v_0 \Vert \le \Vert v' - v \Vert\)、があると仮定しよう。
ステップ2:
\(v \in V\)を\(v \neq v_0\)である任意のものとしよう。
\(r := \Vert v - v_0 \Vert\)および\(w := 1 / r (v - v_0) \in V\)と定義しよう。確かに、\(w \in V\)、なぜなら、\(1 / r \in F\)および\(v, v_0 \in V\)。
不可避に、\(\langle w, w \rangle = \langle 1 / r (v - v_0), 1 / r (v - v_0) \rangle = 1 / r^2 \langle v - v_0, v - v_0 \rangle = 1 / r^2 r^2 = 1\)。
\(\widetilde{v} := \widetilde{r} e^{\widetilde{\theta} i} w + v_0 \in V\)を、以下を満たす任意の\(\widetilde{r} \in \mathbb{R}\)、つまり、\(0 \lt \widetilde{r}\)、および以下を満たす任意の\(\widetilde{\theta} \in \mathbb{R}\)、つまり、\(F = \mathbb{R}\)である時\(\widetilde{\theta} \in \{0, \pi\}\)で\(F = \mathbb{C}\)である時\(0 \le \widetilde{\theta} \lt 2 \pi\)。確かに、\(\widetilde{v} \in V\)、なぜなら、\(\widetilde{r} e^{\widetilde{\theta} i} \in F\)および\(w, v_0 \in V\)。
ステップ3:
\(\langle v' - \widetilde{v}, v' - \widetilde{v} \rangle = \langle v' - v_0 + v_0 - \widetilde{v}, v' - v_0 + v_0 - \widetilde{v} \rangle\)を展開しよう。
\(= \langle v' - v_0, v' - v_0 \rangle + \langle v' - v_0, v_0 - \widetilde{v} \rangle + \langle v_0 - \widetilde{v}, v' - v_0 \rangle + \langle v_0 - \widetilde{v}, v_0 - \widetilde{v} \rangle = \langle v' - v_0, v' - v_0 \rangle + \langle v' - v_0, - \widetilde{r} e^{\widetilde{\theta} i} w \rangle + \langle - \widetilde{r} e^{\widetilde{\theta} i} w, v' - v_0 \rangle + \langle - \widetilde{r} e^{\widetilde{\theta} i} w, - \widetilde{r} e^{\widetilde{\theta} i} w \rangle = \langle v' - v_0, v' - v_0 \rangle + \widetilde{r} e^{- \widetilde{\theta} i} \langle v' - v_0, - w \rangle + \widetilde{r} e^{\widetilde{\theta} i} \langle - w, v' - v_0 \rangle + (- \widetilde{r} e^{\widetilde{\theta} i}) (- \widetilde{r} e^{- \widetilde{\theta} i}) \langle w, w \rangle = \langle v' - v_0, v' - v_0 \rangle + \widetilde{r} e^{- \widetilde{\theta} i} \langle v' - v_0, - w \rangle + \widetilde{r} e^{\widetilde{\theta} i} \langle - w, v' - v_0 \rangle + \widetilde{r}^2\)。
\(\widetilde{r} e^{- \widetilde{\theta} i} \langle v' - v_0, - w \rangle\)はリアル（実）非ポジティブ（正）にできる、ある\(\widetilde{\theta}\)を選ぶことによって。
\(\widetilde{r} e^{\widetilde{\theta} i} \langle - w, v' - v_0 \rangle = \overline{\widetilde{r} e^{- \widetilde{\theta} i}} \overline{\langle v' - v_0, - w \rangle} = \overline{\widetilde{r} e^{- \widetilde{\theta} i} \langle v' - v_0, - w \rangle} = \widetilde{r} e^{- \widetilde{\theta} i} \langle v' - v_0, - w \rangle\)、なぜなら、それは、上記でリアル（実）にされている。
したがって、\(\langle v' - \widetilde{v}, v' - \widetilde{v} \rangle = \langle v' - v_0, v' - v_0 \rangle + 2 \widetilde{r} e^{- \widetilde{\theta} i} \langle v' - v_0, - w \rangle + \widetilde{r}^2\)。
\(\langle v' - v_0, v' - v_0 \rangle \le \langle v' - \widetilde{v}, v' - \widetilde{v} \rangle\)であるから、\(0 \le 2 \widetilde{r} e^{- \widetilde{\theta} i} \langle v' - v_0, - w \rangle + \widetilde{r}^2\)、したがって、\(0 \le 2 e^{- \widetilde{\theta} i} \langle v' - v_0, - w \rangle + \widetilde{r}\)。\(2 e^{- \widetilde{\theta} i} \langle v' - v_0, - w \rangle\)は非ポジティブ（正）であるところ、\(\widetilde{r}\)はいくらでも小さく選ぶことができ、\(2 e^{- \widetilde{\theta} i} \langle v' - v_0, - w \rangle = 0\)が含意される: そうでなければ、十分小さい\(\widetilde{r}\)を選ぶことによって、\(2 e^{- \widetilde{\theta} i} \langle v' - v_0, - w \rangle + \widetilde{r} \lt 0\)、矛盾。
したがって、\(\langle v' - v_0, - w \rangle = 0\)、したがって、\(\langle v' - v_0, w \rangle = 0\)。
ステップ4:
したがって、\(\langle v' - v_0, 1 / r (v - v_0) \rangle = 0\)、したがって、\(\langle v' - v_0, v - v_0 \rangle = 0\)。
\(v_0 \neq 0\)であると仮定しよう。
\(v\)は\(2 v_0\)であるよう取れる（\(2 v_0 \neq v_0\)）ので、\(\langle v' - v_0, v - v_0 \rangle = \langle v' - v_0, v_0 \rangle = 0\)。
したがって、\(\langle v' - v_0, v \rangle = \langle v' - v_0, v - v_0 + v_0 \rangle = \langle v' - v_0, v - v_0 \rangle + \langle v' - v_0, v_0 \rangle = 0 + 0 = 0\)。
\(v_0 = 0\)であると仮定しよう。
\(\langle v' - v_0, v \rangle = \langle v' - v_0, v - v_0 \rangle = 0\)。
したがって、いずれにせよ、\(\langle v' - v_0, v \rangle = 0\)。
\(v = v_0\)である時、\(\langle v' - v_0, v \rangle = \langle v' - v_0, v_0 \rangle = 0\)は上記に見られた。
したがって、任意の\(v \in V\)に対して、\(\langle v' - v_0, v \rangle = 0\)。
ステップ5:
\(v_0\)はユニークであることを見よう。
Let us suppose that there was another \(v_1 \neq v_0\). 別の\(v_1 \neq v_0\)があったと仮定しよう。
\(v_1\)は\(v_0\)に対する諸条件たちを満たすので、私たちは既に\(v' - v_1\)は\(V\)へ垂直であると知っている。
\(\langle v_1 - v_0, v_1 - v_0 \rangle = \langle v_1 - v' + v' - v_0, v_1 - v' + v' - v_0 \rangle = \langle v_1 - v', v_1 - v' \rangle + \langle v_1 - v', v' - v_0 \rangle + \langle v' - v_0, v_1 - v' \rangle + \langle v' - v_0, v' - v_0 \rangle = \langle v_1 - v', - v' \rangle + \langle v_1 - v', v' \rangle + \langle v' - v_0, - v' \rangle + \langle v' - v_0, v' \rangle\)、なぜなら、\(v_0, v_1 \in V\)、\(= 0\)、それが含意するのは、\(v_1 - v_0 = 0\)、それが含意するのは、\(v_1 = v_0\)。
したがって、他の\(v_1\)はない。
ステップ6:
以下を満たすある\(v_0 \in V\)、つまり、各\(v \in V\)に対して、\(\langle v' - v_0, v \rangle = 0\)、があると仮定しよう。
ステップ7:
\(\langle v' - v, v' - v \rangle = \langle v' - v_0 + v_0 - v, v' - v_0 + v_0 - v \rangle = \langle v' - v_0, v' - v_0 \rangle + \langle v' - v_0, v_0 - v \rangle + \langle v_0 - v, v' - v_0 \rangle + \langle v_0 - v, v_0 - v \rangle = \langle v' - v_0, v' - v_0 \rangle + 0 + 0 + \langle v_0 - v, v_0 - v \rangle\)、なぜなら、\(v_0 - v \in V\)、したがって、\(\langle v' - v_0, v' - v_0 \rangle \le \langle v' - v, v' - v \rangle\)、なぜなら、\(0 \le \langle v_0 - v, v_0 - v \rangle\)。
ステップ8:
\(v_0\)はユニークである、ステップ5によって。
