2025年4月6日日曜日

1068: ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）ノルムを持つもの、サブスペース（部分空間）、スーパースペース（空間）上のベクトルに対して、サブスペース（部分空間）上のベクトルでベクトルへの距離が最小なものは、ユニークであり差はサブスペース（部分空間）へ垂直である、そして、サブスペース（部分空間）上のベクトルで差がサブスペース（部分空間）へ垂直なものは、ユニークであり距離は最小である

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ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）ノルムを持つもの、サブスペース（部分空間）、スーパースペース（空間）上のベクトルに対して、サブスペース（部分空間）上のベクトルでベクトルへの距離が最小なものは、ユニークであり差はサブスペース（部分空間）へ垂直である、そして、サブスペース（部分空間）上のベクトルで差がサブスペース（部分空間）へ垂直なものは、ユニークであり距離は最小であることの記述/証明

話題


About: ベクトルたちスペース（空間）

この記事の目次

開始コンテキスト

ターゲットコンテキスト



  • 読者は、任意のベクトルたちスペース（空間）で任意のインナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）ノルムを持つもの、任意のサブスペース（部分空間）、当該スーパースペース（空間）上の任意のベクトルに対して、もしも、当該サブスペース（部分空間）上のベクトルで当該ベクトルへの距離が最小なものがある場合、それは、ユニークであり当該ベクトルたちの差は当該サブスペース（部分空間）へ垂直である、そして、もしも、当該サブスペース（部分空間）上のベクトルで当該ベクトルたちの差が当該サブスペース（部分空間）へ垂直なものがある場合、それは、ユニークであり距離は最小であるという命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

本体

1: 構造化された記述


ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
F: ∈{R,C}で、カノニカル（正典）なフィールド（体）ストラクチャー（構造）を持つもの
V′: ∈{ 全ての F ベクトルたちスペース（空間）たち }で、任意のインナープロダクト（内積）⟨∙,∙⟩:V′×V′→Fおよび⟨∙,∙⟩によってインデュースト（誘導された）ノルム‖∙‖を持つもの
V: ∈{V′ の全てのサブスペース（部分空間）たち }
v′: ∈V′
//

ステートメント（言明）たち:
(
∃v0∈V(∀v∈V(‖v′−v0‖≤‖v′−v‖))
⟹
(
v0 はユニークである 
∧
∀v∈V(⟨v′−v0,v⟩=0)
)
)
∧
(
∃v0∈V(∀v∈V(⟨v′−v0,v⟩=0))
⟹
(
v0 はユニークである 
∧
∀v∈V(‖v′−v0‖≤‖v′−v‖)
)
)
//

2: 注


本命題は、そういうv0があると主張していない。

任意のヒルベルトスペース（空間）、任意の非空クローズド（閉）コンベックス（凸）サブセット（部分集合）、当該ヒルベルトスペース（空間）上の任意のポイントに対して、当該サブセット（部分集合）上のユニークなポイントで当該ポイントへのディスタンス（距離）が最小であるものがあるという命題と比較のこと。

3: 証明


全体戦略: ステップ1: 以下を満たすあるv0∈V、つまり、各v∈Vに対して、‖v′−v0‖≤‖v′−v‖、があると仮定する; ステップ2: 以下を満たす任意のv∈V、つまり、v≠v0、を取り、r:=‖v−v0‖およびw:=1/r(v−v0)を定義し、恣意的なr~およびθ~に対して、v~:=r~eθ~iw+v0を取りv~∈Vであることを見る; ステップ3: ⟨v′−v~,v′−v~⟩=⟨v′−v0+v0−v~,v′−v0+v0−v~⟩を展開し、⟨v′−v0,w⟩=0であることを見る; ステップ4: ⟨v′−v0,v0⟩=0および⟨v′−v0,v⟩=0であることを見る; ステップ5: v0はユニークであることを見る; ステップ6: 以下を満たすあるv0∈V、つまり、各v∈Vに対して、⟨v′−v0,v⟩=0、があると仮定する; ステップ7: ⟨v′−v,v′−v⟩=⟨v′−v0+v0−v,v′−v0+v0−v⟩を展開し、⟨v′−v0,v′−v0⟩≤⟨v′−v,v′−v⟩であることを見る; ステップ8: v0はユニークであることを見る。

ステップ1:

以下を満たすあるv0∈V、つまり、各v∈Vに対して、‖v′−v0‖≤‖v′−v‖、があると仮定しよう。

ステップ2:

v∈Vをv≠v0である任意のものとしよう。

r:=‖v−v0‖およびw:=1/r(v−v0)∈Vと定義しよう。確かに、w∈V、なぜなら、1/r∈Fおよびv,v0∈V。

不可避に、⟨w,w⟩=⟨1/r(v−v0),1/r(v−v0)⟩=1/r2⟨v−v0,v−v0⟩=1/r2r2=1。

v~:=r~eθ~iw+v0∈Vを、以下を満たす任意のr~∈R、つまり、0<r~、および以下を満たす任意のθ~∈R、つまり、F=Rである時θ~∈{0,π}でF=Cである時0≤θ~<2π。確かに、v~∈V、なぜなら、r~eθ~i∈Fおよびw,v0∈V。

ステップ3:

⟨v′−v~,v′−v~⟩=⟨v′−v0+v0−v~,v′−v0+v0−v~⟩を展開しよう。

=⟨v′−v0,v′−v0⟩+⟨v′−v0,v0−v~⟩+⟨v0−v~,v′−v0⟩+⟨v0−v~,v0−v~⟩=⟨v′−v0,v′−v0⟩+⟨v′−v0,−r~eθ~iw⟩+⟨−r~eθ~iw,v′−v0⟩+⟨−r~eθ~iw,−r~eθ~iw⟩=⟨v′−v0,v′−v0⟩+r~e−θ~i⟨v′−v0,−w⟩+r~eθ~i⟨−w,v′−v0⟩+(−r~eθ~i)(−r~e−θ~i)⟨w,w⟩=⟨v′−v0,v′−v0⟩+r~e−θ~i⟨v′−v0,−w⟩+r~eθ~i⟨−w,v′−v0⟩+r~2。

r~e−θ~i⟨v′−v0,−w⟩はリアル（実）非ポジティブ（正）にできる、あるθ~を選ぶことによって。

r~eθ~i⟨−w,v′−v0⟩=r~e−θ~i―⟨v′−v0,−w⟩―=r~e−θ~i⟨v′−v0,−w⟩―=r~e−θ~i⟨v′−v0,−w⟩、なぜなら、それは、上記でリアル（実）にされている。

したがって、⟨v′−v~,v′−v~⟩=⟨v′−v0,v′−v0⟩+2r~e−θ~i⟨v′−v0,−w⟩+r~2。

⟨v′−v0,v′−v0⟩≤⟨v′−v~,v′−v~⟩であるから、0≤2r~e−θ~i⟨v′−v0,−w⟩+r~2、したがって、0≤2e−θ~i⟨v′−v0,−w⟩+r~。2e−θ~i⟨v′−v0,−w⟩は非ポジティブ（正）であるところ、r~はいくらでも小さく選ぶことができ、2e−θ~i⟨v′−v0,−w⟩=0が含意される: そうでなければ、十分小さいr~を選ぶことによって、2e−θ~i⟨v′−v0,−w⟩+r~<0、矛盾。

したがって、⟨v′−v0,−w⟩=0、したがって、⟨v′−v0,w⟩=0。

ステップ4:

したがって、⟨v′−v0,1/r(v−v0)⟩=0、したがって、⟨v′−v0,v−v0⟩=0。

v0≠0であると仮定しよう。

vは2v0であるよう取れる（2v0≠v0）ので、⟨v′−v0,v−v0⟩=⟨v′−v0,v0⟩=0。

したがって、⟨v′−v0,v⟩=⟨v′−v0,v−v0+v0⟩=⟨v′−v0,v−v0⟩+⟨v′−v0,v0⟩=0+0=0。

v0=0であると仮定しよう。

⟨v′−v0,v⟩=⟨v′−v0,v−v0⟩=0。

したがって、いずれにせよ、⟨v′−v0,v⟩=0。

v=v0である時、⟨v′−v0,v⟩=⟨v′−v0,v0⟩=0は上記に見られた。

したがって、任意のv∈Vに対して、⟨v′−v0,v⟩=0。

ステップ5:

v0はユニークであることを見よう。

Let us suppose that there was another v1≠v0. 別のv1≠v0があったと仮定しよう。

v1はv0に対する諸条件たちを満たすので、私たちは既にv′−v1はVへ垂直であると知っている。

⟨v1−v0,v1−v0⟩=⟨v1−v′+v′−v0,v1−v′+v′−v0⟩=⟨v1−v′,v1−v′⟩+⟨v1−v′,v′−v0⟩+⟨v′−v0,v1−v′⟩+⟨v′−v0,v′−v0⟩=⟨v1−v′,−v′⟩+⟨v1−v′,v′⟩+⟨v′−v0,−v′⟩+⟨v′−v0,v′⟩、なぜなら、v0,v1∈V、=0、それが含意するのは、v1−v0=0、それが含意するのは、v1=v0。

したがって、他のv1はない。

ステップ6:

以下を満たすあるv0∈V、つまり、各v∈Vに対して、⟨v′−v0,v⟩=0、があると仮定しよう。

ステップ7:

⟨v′−v,v′−v⟩=⟨v′−v0+v0−v,v′−v0+v0−v⟩=⟨v′−v0,v′−v0⟩+⟨v′−v0,v0−v⟩+⟨v0−v,v′−v0⟩+⟨v0−v,v0−v⟩=⟨v′−v0,v′−v0⟩+0+0+⟨v0−v,v0−v⟩、なぜなら、v0−v∈V、したがって、⟨v′−v0,v′−v0⟩≤⟨v′−v,v′−v⟩、なぜなら、0≤⟨v0−v,v0−v⟩。

ステップ8:

v0はユニークである、ステップ5によって。

参考資料
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