ノルム付きベクトルたちスペース（空間）によってインデュースト（誘導された）メトリックスペース（計量付き空間）に対して、もしも、シーケンス（列）でノルムたちのシリーズ（級数）がコンバージ（収束）するもの各々に対してシリーズ（級数）がコンバージ（収束）する場合、スペース（空間）はコンプリート（完備）であることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
About: メトリックスペース（計量付き空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のノルム付きベクトルたちスペースによってインデュースト（誘導された）メトリックスペース（計量付き空間）に対して、もしも、シーケンス（列）で当該シーケンス（列）の項のノルムたちのシリーズ（級数）がコンバージ（収束）するもの各々に対して当該シーケンス（列）の項たちのシリーズ（級数）がコンバージ（収束）する場合、当該スペース（空間）はコンプリート（完備）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}\)で、カノニカル（正典）なフィールド（体）ストラクチャー（構造）を持つもの
\(V\): \(\in \{\text{ 全ての } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\), \(= \text{ 以下のノルムによってインデュースト（誘導された）メトリックスペース（計量付き空間） }\)
\(\Vert \bullet \Vert\): \(: V \to \mathbb{R}\), \(\in \{\text{ 全てのノルムたち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\forall f: \mathbb{N} \to V \text{ で以下を満たすもの、つまり、 } \sum_{j = 0, 1, ...} \Vert f (j) \Vert \lt \infty (\sum_{j = 0, 1, ...} f (j) \in \{\text{ 全てのコンバージェント（収束する）シリーズ（級数） }\})\)
\(\implies\)
\(V \in \{\text{ 全てのコンプリート（完備）メトリックスペース（計量付き空間）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: 任意のコーシーシーケンス（列）\(f: \mathbb{N} \to V\)を取る; ステップ2: 以下を満たす\(N_j\)たち、つまり、以下を満たす各\(m, n \in \mathbb{N}\)、つまり、\(N_j \lt m, n\)、に対して、\(\Vert f (n) - f (m) \Vert \lt 2^{- j}\)および\(N_j \lt N_{j + 1}\)、を取る; ステップ3: \(\sum_{j = 0, 1, ...} \Vert f (N_{j + 1} + 1) - f (N_j + 1) \Vert \lt \infty\)であることを見る; ステップ4: \(\sum_{j = 0, 1, ...} f (N_{j + 1} + 1) - f (N_j + 1)\)はコンバージ（収束）しシーケンス（列）\(f (N_0 + 1), f (N_1 + 1), ...\)はコンバージ（収束）することを見る; ステップ5: \(f\)はコンバージ（収束）することを見る。
ステップ1:
\(f: \mathbb{N} \to V\)を任意のコーシーシーケンス（列）としよう。
ステップ2:
各\(j = 0, 1, ...\)に対して、以下を満たす任意の\(N_j\)、つまり、以下を満たす各\(m, n \in \mathbb{N}\)、つまり、\(N_j \lt m, n\)、に対して、\(\Vert f (n) - f (m) \Vert \lt 2^{- j}\)、を取ろう、それは可能である、なぜなら、\(f\)はコーシーシーケンス（列）である。
\(N_j \lt N_{j + 1}\)と取ろう、それは可能である、なぜなら、もしも、\(N_{j + 1} \le N_j\)であれば、\(N_{j + 1}\)を単に\(N_j + 1\)であるよう再定義すればよい、なぜなら、以下を満たす各\(m, n \in \mathbb{N}\)、つまり、\(N_j + 1 \lt m, n\)、に対して、\(N_{j + 1} \lt m, n\)、したがって、\(\Vert f (n) - f (m) \Vert \lt 2^{- (j + 1)}\)は成立する、いずれにせよ。
ステップ3:
\(\sum_{j = 0, 1, ...} \Vert f (N_{j + 1} + 1) - f (N_j + 1) \Vert \lt \infty\)であることを見よう。
\(\sum_{j = 0, 1, ...} \Vert f (N_{j + 1} + 1) - f (N_j + 1) \Vert \lt \sum_{j = 0, 1, ...} 2^{- j}\)、なぜなら、\(N_j \lt N_{j + 1} + 1, N_j + 1\)。
\(= 1 / (1 - 1 / 2) \lt \infty\)、なぜなら、\(\sum_{j = 0, 1, ..., n} 2^{- j} = 1 + 1 / 2 + (1 / 2)^2 + ... + (1 / 2)^n = (1 - 1 / 2^{n + 1}) / (1 - 1 / 2)\)、それは\(1 / (1 - 1 / 2)\)へ収束する、\(n \to \infty\)によって。
ステップ4:
本命題の仮定によって、\(\sum_{j = 0, 1, ...} f (N_{j + 1} + 1) - f (N_j + 1)\)はコンバージ（収束）する。
しかし、\(\sum_{j = 0, 1, ..., n} f (N_{j + 1} + 1) - f (N_j + 1) = (f (N_1 + 1) - f (N_0 + 1)) + (f (N_2 + 1) - f (N_1 + 1)) + ... + (f (N_n + 1) - f (N_{n- 1} + 1)) + (f (N_{n + 1} + 1) - f (N_n + 1)) = f (N_{n + 1} + 1) - f (N_0 + 1)\)、したがって、シーケンス（列）\(f (N_1 + 1) - f (N_0 + 1), f (N_2 + 1) - f (N_0 + 1), ...\)はある\(v\)へコンバージ（収束）する、したがって、シーケンス（列）\(f (N_1 + 1), f (N_2 + 1), ...\)は\(f (N_0 + 1) + v\)へコンバージ（収束）する: \(\Vert f (N_n + 1) - f (N_0 + 1) - v \Vert = \Vert f (N_n + 1) - (f (N_0 + 1) + v) \Vert\)、したがって、\(f (N_1 + 1) - f (N_0 + 1), f (N_2 + 1) - f (N_0 + 1), ...\)が\(v\)へコンバージ（収束）する評価たちは、\(f (N_1 + 1), f (N_2 + 1), ...\)が\(f (N_0 + 1) + v\)へコンバージ（収束）する評価たちと同一である。
ステップ5:
\(f (N_1 + 1), f (N_2 + 1), ...\)は\(f\)のサブシーケンス（部分列）であるから、\(f\)はコンバージ（収束）する、任意のメトリックスペース（計量付き空間）上の任意のコーシーシーケンス（列）に対して、もしも、そのあるサブシーケンス（部分列）があるポイントへコンバージ（収束）する場合、当該シーケンス（列）は同一ポイントへコンバージ（収束）するという命題によって。
したがって、各コーシーシーケンス（列）はコンバージ（収束）するから、\(V\)はコンプリート（完備）である。
