コンプリート（完備）メトリックスペース（計量付き空間）およびユニフォーム（一様）にコンバージェント（収束する）であるシーケンス（列）たちのシーケンス（列）に対して、もしも、シーケンス（列）たちの各対応する項たちのシーケンス（列）がコンバージ（収束）する場合、コンバージェンス（収束ポイント）たちのシーケンス（列）はシーケンス（列）たちのコンバージェンス（収束ポイント）たちのシーケンス（列）のコンバージェンス（収束ポイント）へコンバージ（収束）することの記述/証明
話題
About: メトリックスペース（計量付き空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のコンプリート（完備）メトリックスペース（計量付き空間）およびユニフォーム（一様）にコンバージェント（収束する）であるシーケンス（列）たちの任意のシーケンス（列）に対して、もしも、当該シーケンス（列）たちの各対応する項たちのシーケンス（列）がコンバージ（収束）する場合、当該ユニフォーム（一様）にコンバージェント（収束する）シーケンス（列）たちのコンバージェンス（収束ポイント）たちのシーケンス（列）は、対応する項たちシーケンス（列）たちのコンバージェンス（収束ポイント）たちのシーケンス（列）のコンバージェンス（収束ポイント）へコンバージ（収束）するという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(M\): \(\in \{\text{ 全てのコンプリート（完備）メトリックスペース（計量付き空間）たち }\}\)
\(S\): \(= \{f: \mathbb{N} \to M \vert f \in \{\text{ 全てのコンバージェント収束する）シーケンス（列）たち }\}\}\)
\(g\): \(: \mathbb{N} \to S\)
//
ステートメント（言明）たち:
(
\(\forall \epsilon \in \mathbb{R} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } 0 \lt \epsilon (\exists N \in \mathbb{N} (\forall j \in \mathbb{N}, \forall n \in \mathbb{N} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } N \lt n (dist (lim g (j), g (j) (n)) \lt \epsilon)))\)
\(\land\)
\(\forall n \in \mathbb{N} (lim_{j \to \infty} g (j) (n) = h (n))\)
)
\(\implies\)
\(lim_{j \to \infty} lim g (j) = lim h\)
//
"\(\text{ lim }\)"が現われる時はいつでも、それは、リミット（極限）（それはコンバージェンス（収束ポイント）に他ならない）が存在することを含意する。
単なる"\(\text{ lim }\)"が意味するのは、当該シーケンス（列）のコンバージェンス（収束ポイント）である: 例えば、\(lim g (j)\)が意味するのは、シーケンス（列）\(g (j)\)のコンバージェンス（収束ポイント）であり、\(j \to \infty\)を取ることではない。したがって、\(lim g (j) := lim_{n \to \infty} g (j) (n)\)、\(j\)は固定されて。
第1コンディションが意味するのは、当該シーケンス（列）たちのシーケンス（列）に対するユニフォーム（一様）コンバージェンス（収束）である: \(N\)は\(j\)に依存せずに選ばれる。
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(h\)はコーシーシーケンスであることを見る; ステップ2: \(lim_{j \to \infty} lim g (j) = lim h\)であることを見る。
ステップ1:
本命題の仮定によって、シーケンス（列）\(h: \mathbb{N} \to M\)は存在する。
\(h\)はコーシーシーケンス（列）であることを見よう。
\(\epsilon \in \mathbb{R}\)を以下を満たす任意のもの、つまり、\(0 \lt \epsilon\)、としよう。
任意のメトリックスペース（計量付き空間）に対して、任意のコンバージェント（収束する）シーケンス（列）はコーシーシーケンス（列）であり、コーシー\(\epsilon\)コンディションに対する\(N\)はコンバージェンス（収束）\(\epsilon / 2\)コンディションに対する\(N\)に選べるという命題によって、各\(g (j)\)はコーシーシーケンス（列）であり、コーシー\(\epsilon / 2\)コンディションに対する\(N\)は、コンバージェンス\(\epsilon / 4\)コンディションに対する\(N\)としてユニフォーム（一様）に選べる。
したがって、\(N \in \mathbb{N}\)を以下を満たすもの、つまり、以下を満たす各\(n, o \in \mathbb{N}\)、つまり、\(N \lt n, o\)、に対して、\(dist (g (j) (o), g (j) (n)) \lt \epsilon / 2\)、としよう、ここで、\(N\)は\(j\)に依存しない。
任意の\(j\)に対して、\(dist (h (o), h (n)) \le dist (h (o), g (j) (o)) + dist (g (j) (o), g (j) (n)) + dist (g (j) (n), h (n)) \lt dist (h (o), g (j) (o)) + \epsilon / 2 + dist (g (j) (n), h (n))\)。
以下を満たすある\(N_o \in \mathbb{N}\)、つまり、各\(N_o \lt j\)に対して、\(dist (h (o), g (j) (o)) \lt \epsilon / 4\)、および以下を満たすある\(N_n \in \mathbb{N}\)、つまり、各\(N_n \lt j\)に対して、\(dist (h (n), g (j) (n)) \lt \epsilon / 4\)、がある。
したがって、以下を満たす\(j\)、つまり、\(N_o, N_n \lt j\)、選ぼう、すると、\(dist (h (o), h (n)) \lt \epsilon / 4 + \epsilon / 2 + \epsilon / 4 = \epsilon\)。
\(j\)の選択は\(n\)および\(o\)に依存するが、そういう行ないは、\(n\)および\(o\)の選択たちを制限しない、したがって、以下を満たす各\(n, o \in \mathbb{N}\)、つまり、\(N \lt n, o\)、に対して、\(dist (h (o), h (n)) \lt \epsilon\)、それが意味するのは、\(h\)はコーシーシーケンス（列）であるということ。
ステップ2:
したがって、\(lim h\)は存在する、なぜなら、\(M\)はコンプリート（完備）である。
\(\epsilon \in \mathbb{R}\)を以下を満たす任意のもの、つまり、\(0 \lt \epsilon\)、としよう。
任意の\(n \in \mathbb{N}\)に対して、\(dist (lim h, lim g (j)) \le dist (lim h, h (n)) + dist (h (n), g (j) (n)) + dist (g (j) (n), lim g (j))\)。
以下を満たすある\(N_h \in \mathbb{N}\)、つまり、以下を満たす各\(n \in \mathbb{N}\)、つまり、\(N_h \lt n\)、に対して、\(dist (lim h, h (n)) \lt \epsilon / 2\)、および以下を満たすある\(N \in \mathbb{N}\)、つまり、以下を満たす各\(n \in \mathbb{N}\)、つまり、\(N \lt n\)、に対して、\(dist (g (j) (n), lim g (j)) \lt \epsilon / 4\)、がある、ここで、\(N\)は\(j\)に依存しない、本命題の仮定によって。
したがって、\(n\)を\(N_h, N \lt n\)と選ぼう、すると、\(dist (lim h, lim g (j)) \lt \epsilon / 2 + dist (h (n), g (j) (n)) + \epsilon / 4\)。
以下を満たすある\(N' \in \mathbb{N}\)、つまり、各\(j \in \mathbb{N}\)、つまり、\(N' \lt j\)、に対して、\(dist (h (n), g (j) (n)) \lt \epsilon / 4\)、がある。
\(N'\)は\(n\)に依存するが、それは問題ではない: 要点は、\(N'\)がいずれにせよ存在することである。
したがって、以下を満たす各\(j \in \mathbb{N}\)、つまり、\(N' \lt j\)、に対して、\(dist (lim h, lim g (j)) \lt \epsilon / 2 + \epsilon / 4 + \epsilon / 4 = \epsilon\)。
それが意味するのは、\(lim_{j \to \infty} lim g (j) = lim h\)。
