\(\mathbb{R}\)上のコンバージェント（収束する）シーケンス（列）に対して、もしも、各項がナンバー（数）より小さいか大きい場合、コンバージェンス（収束ポイント）はナンバー（数字）に等しいか、それぞれそれより小さいか大きいかであることの記述/証明
話題
About: メトリックスペース（計量付き空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ユークリディアンメトリック（計量）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、\(\mathbb{R}\)上の任意のコンバージェント（収束する）シーケンス（列）に対して、もしも、各項があるナンバー（数）より小さいか大きい場合、当該コンバージェンス（収束ポイント）は当該ナンバー（数字）に等しいか、それぞれそれより小さいか大きいかであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(\mathbb{R}\): で、ユークリディアンメトリック（計量）を持つもの
\(f\): \(: \mathbb{N} \to \mathbb{R}\), \(\in \{\text{ 全てのコンバージェント（収束する）シーケンス（列）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
(
\(\exists M \in \mathbb{R} (\forall j \in \mathbb{N} (f (j) \lt M))\)
\(\implies\)
\(lim f \le M\)
)
\(\land\)
(
\(\exists m \in \mathbb{R} (\forall j \in \mathbb{N} (m \lt f (j)))\)
\(\implies\)
\(m \le lim f\)
)
//
2: 注
容易に推測されるとおり、\(lim f \lt M\)や\(m \lt lim f\)は保証されない。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(f (j) \lt M\)であると仮定する; ステップ2: \(lim f \le M\)であることを見る; ステップ3: \(m \lt f (j)\)であると仮定する; ステップ4: \(m \le lim f\)であることを見る。
ステップ1:
\(\exists M \in \mathbb{R} (\forall j \in \mathbb{N} (f (j) \lt M))\)である仮定しよう。
ステップ2:
\(M \lt lim f\)であると仮定しよう。
任意の\(j \in \mathbb{N}\)に対して、\(lim f = lim f - f (j) + f (j) \le \vert lim f - f (j) \vert + f (j)\)、したがって、\(lim f - \vert lim f - f (j) \vert \le f (j)\)。
しかし、\(j\)は、\(\vert lim f - f (j) \vert \lt lim f - M\)であるように選べる、すると、\(lim f - (lim f - M) \lt f (j)\)、それが含意するのは、\(M \lt f (j)\)、矛盾。
したがって、\(M \lt lim f\)は誤っていた、それが意味するのは、\(lim f \le M\)。
ステップ3:
\(\exists m \in \mathbb{R} (\forall j \in \mathbb{N} (m \lt f (j)))\)であると仮定しよう。
ステップ4:
\(lim f \lt m\)であると仮定しよう。
任意の\(j \in \mathbb{N}\)に対して、\(f (j) = f (j) - lim f + lim f \le \vert f (j) - lim f \vert + lim f\)。
しかし、\(j\)は、\(\vert f (j) - lim f \vert \lt m - lim f\)であるように選べる、すると、\(f (j) \lt m - lim f + lim f = m\)、矛盾。
したがって、\(lim f \lt m\)は誤っていた、それが意味するのは、\(m \le lim f\)。
