ベクトルたちスペース（空間）および2個のサブスペース（部分空間）たちに対して、もしも、サブスペース（部分空間）たちの中へのプロジェクション（射影）たちの合計がサブスペース（部分空間）の中へのプロジェクション（射影）である場合、2個のサブスペース（部分空間）たちは互いへプロジェクション（射影）たちに関してパーペンディキュラー（垂直）であることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のベクトルたちスペース（空間）およ、任意の2個のサブスペース（部分空間）たちに対して、もしも、当該サブスペース（部分空間）たちの中への任意のプロジェクション（射影）たちの合計が任意の別のサブスペース（部分空間）の中への任意のプロジェクション（射影）である場合、当該2個のサブスペース（部分空間）たちは互いへ当該プロジェクション（射影）たちに関してパーペンディキュラー（垂直）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
\(V'\): \(\in \{\text{ 全ての } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(V_1\): \(\in \{V' \text{ の全てのベクトルたちサブスペース（部分空間）たち }\}\)
\(V_2\): \(\in \{V' \text{ の全てのベクトルたちサブスペース（部分空間）たち }\}\)
\(V_3\): \(\in \{V' \text{ の全てのベクトルたちサブスペース（部分空間）たち }\}\)
\(f_1\): \(: V' \to V_1\), \(\in \{\text{ 全てのプロジェクション（射影）たち }\}\)
\(f_2\): \(: V' \to V_2\), \(\in \{\text{ 全てのプロジェクション（射影）たち }\}\)
\(f_3\): \(: V' \to V_3\), \(\in \{\text{ 全てのプロジェクション（射影）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f_1 + f_2 = f_3\)
\(\implies\)
\(\forall v_1 \in V_1 (f_2 (v_1) = 0) \land \forall v_2 \in V_2 (f_1 (v_2) = 0)\)
//
2: 注
\(f_1\)、\(f_2\)、\(f_3\)は、ある程度独立して定義されている、ベクトルたちスペース（空間）からベクトルたちサブスペース（部分空間）の中へのプロジェクション（射影）の定義によって、しかし、それらが当該定義を満たし\(f_1 + f_2 = f_3\)が満たされる限り、本命題は成立する、"証明"が示すとおり。
典型的には、\(f_1\)、\(f_2\)、\(f_3\)は一貫して定義される、ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）を持つものからベクトルたちサブスペース（部分空間）の中へのオーソノーマル（正規直交）プロジェクション（射影）の定義によって、そして、本命題は特殊ケースとして成立する。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(f_3 \circ (f_1 + f_2) (v_1) = f_3 \circ f_3 (v_1)\)を行ない、\(f_1 \circ f_2 (v_1) + f_2 (v_1) = 0\)であることを見る; ステップ2: \(V_1 \cap V_2 = \{0\}\)であることを見る; ステップ3: \(f_2 (v_1) = 0\)であることを見る; ステップ4: 本命題を結論する。
ステップ1:
\(f_1 + f_2 = f_3\)であるから、\(f_3 \circ (f_1 + f_2) = f_3 \circ f_3 = f_3\)。
\(v_1 \in V_1\)を任意のものとする。
\(f_3 \circ (f_1 + f_2) (v_1) = f_3 (v_1)\)。
\(f_3 \circ (f_1 + f_2) (v_1) = f_3 (f_1 (v_1) + f_2 (v_1)) = f_3 (v_1 + f_2 (v_1)) = f_3 (v_1) + f_3 \circ f_2 (v_1)\)。
したがって、\(f_3 (v_1) + f_3 \circ f_2 (v_1) = f_3 (v_1)\)、それが含意するのは、\(f_3 \circ f_2 (v_1) = 0\)。
\((f_1 + f_2) \circ f_2 (v_1) = 0\)、したがって、\(f_1 \circ f_2 (v_1) + f_2 \circ f_2 (v_1) = f_1 \circ f_2 (v_1) + f_2 (v_1) = 0\)。
ステップ2:
\(V_1 \cap V_2 = \{0\}\)であることを見よう。
\(v' \in V_1 \cap V_2\)を任意のものとしよう。
\(f_1 + f_2 = f_3\)であるから、\((f_1 + f_2) (v') = f_3 (v')\)。
しかし、\((f_1 + f_2) (v') = f_1 (v') + f_2 (v') = v' + v' = 2 v'\)。
しかし、\(f_3 (v') = 2 v'\)。
\(f_3 \circ f_3 (v') = f_3 (2 v')\)、それが含意するのは、\(f_3 (v') = 2 f_3 (v')\)、したがって、\(0 = f_3 (v') - f_3 (v') = 2 f_3 (v') - f_3 (v') = f_3 (v')\)。しかし、\(f_3 (v') = 2 v'\)であるから、\(2 v' = 0\)、したがって、\(v' = 0 / 2 = 0\)。
それが意味するのは、\(V_1 \cap V_2 = \{0\}\)。
ステップ3:
ステップ1によって、\(f_1 \circ f_2 (v_1) = - f_2 (v_1)\)。
しかし、左辺は\(V_1\)の中にいて、右辺は\(V_2\)の中にいる、したがって、両辺は\(V_1 \cap V_2\)の中にいる。
しかし、ステップ2によって、\(V_1 \cap V_2 = \{0\}\)、そして、\(- f_2 (v_1) = 0\)、それが含意するのは、\(f_2 (v_1) = 0\)。
ステップ4:
対称性により、各\(v_2 \in V_2\)に対して\(f_1 (v_2) = 0\)。
