ベクトルたちスペース（空間）からベクトルたちサブスペース（部分空間）の中へのプロジェクション（射影）の定義
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、リニアマップ（線形写像）の定義を知っている。
- 読者は、%フィールド（体）名%ベクトルたちスペース（空間）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、ベクトルたちスペース（空間）からベクトルたちサブスペース（部分空間）の中へのプロジェクション（射影）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( F\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
\( V'\): \(\in \{\text{ 全ての } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\( V\): \(\in \{V' \text{ の全てのベクトルたちサブスペース（部分空間）たち }\}\)
\(*f\): \(: V' \to V\), \(\in \{\text{ 全てのリニアマップ（線形写像）たち }\}\)
//
コンディションたち:
\(\forall v \in V (f (v) = v)\)
//
2: 注
不可避に、\(f \circ f = f\)、なぜなら、各\(v' \in V'\)に対して、\(f (v') \in V\)、したがって、\(f \circ f (v') = f (v')\)。
本定義は、\(V'\)にインナープロダクト（内積）が備わっていると要求しない。
\(V'\)も\(V\)もファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）である必要はない。
以下を満たす任意のベクトルたちサブスペース（部分空間）\(W \subseteq V'\)、つまり、各\(w \in W\)に対して、\(f (w) = 0\)、は、"\(V\)へ\(f\)に関してパーペンディキュラー（垂直）"であると言われる: それは、確かに\(f\)の選択に依存する。
\(W\)が\(V\)へ\(f\)に関してパーペンディキュラー（垂直）であるということは、勿論、\(V\)が\(W\)へパーペンディキュラー（垂直）であることを含意しない、なぜなら、\(W\)の中へのプロジェクション（射影）が指定されていないのに、それは意味をなさない。
\(V'\)があるインナープロダクト（内積）を持つ時、各ベクトルたちサブスペース（部分空間）へのプロジェクション（射影）はしばしば（多くの場合暗黙的に）定義される、ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）を持つものからベクトルたちサブスペース（部分空間）の中へのオーソノーマル（正規直交）プロジェクション（射影）の定義によって、そして、\(V\)は\(W\)へパーペンディキュラー（垂直）であるか否かが、しばしば、明示的にプロジェクション（射影）に言及することなく語られる。
