テンソルたちのテンソルプロダクト（積）のアンチシンメトライゼーション（反対称化）はアンチシンメトライゼーション（反対称化）たちをシーケンシャルに適用したものであることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、テンソルたちのテンソルプロダクト（積）の定義を知っている。
- 読者は、テンソルのいくつかの引数たちに関するアンチシンメトライゼーション（反対称化）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、テンソルたちのテンソルプロダクト（積）のアンチシンメトライゼーション（反対称化）はアンチシンメトライゼーション（反対称化）たちをシーケンシャルに適用したものであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
\(\{V, W\}\): \(\subseteq \{\text{ 全ての } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(t_1\): \(\in L (V, ..., V: W)\)、ここで、\(V\)は\(k_1\)回現われる
\(t_2\): \(\in L (V, ..., V: W)\)、ここで、\(V\)は\(k_2\)回現われる
//
ステートメント（言明）たち:
\(Asym (t_1 \otimes t_2) = Asym (Asym (t_1) \otimes t_2) = Asym (t_1 \otimes Asym (t_2))\)
//
2: 注
本命題をシーケンシャルに適用することにより、\(Asym (t_1 \otimes ... \otimes t_n)\)は多くの方法たちにて表現できる。
例えば、\(Asym (t_1 \otimes t_2 \otimes t_3) = Asym ((t_1 \otimes t_2) \otimes t_3) = Asym (Asym (t_1 \otimes t_2) \otimes t_3) = Asym (Asym (Asym (t_1) \otimes t_2) \otimes t_3)\)。
パーシャル（部分的）アンチシンメトライゼーション（反対称化）についてもっと一般的な命題もあり得るが、それは厄介なものになるように思われ、私たちの即座の必要性はフル（全体）アンチシンメトライゼーション（反対称化）たちだけを求めるので、本命題はフル（全体）アンチシンメトライゼーション（反対称化）たちだけに対処する。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \((v_1, ..., v_{k_1 + k_2}) \in V \times ... \times V\)を任意のものとする; ステップ2: \(Asym (t_1 \otimes t_2)\)を\((v_1, ..., v_{k_1 + k_2})\)に作用させ、当該結果を展開する; ステップ3: \(Asym (Asym (t_1) \otimes t_2)\)を\((v_1, ..., v_{k_1 + k_2})\)に作用させ、当該結果を展開する; ステップ4: \(Asym (t_1 \otimes Asym (t_2))\)を\((v_1, ..., v_{k_1 + k_2})\)に作用させ、当該結果を展開する。
ステップ1:
\((v_1, ..., v_{k_1 + k_2}) \in V \times ... \times V\)を任意のものとしよう。
もしも、何らかの2テンソルたちがそれに作用して同一の結果をもたらせば、当該2テンソルたちは同一であろう。
ステップ2:
\(Asym (t_1 \otimes t_2)\)を\((v_1, ..., v_{k_1 + k_2})\)に作用させよう。
\(Asym (t_1 \otimes t_2) ((v_1, ..., v_{k_1 + k_2})) = 1 / (k_1 + k_2)! \sum_{\sigma \in S^{k_1 + k_2}} sgn \sigma t_1 \otimes t_2 (v_{\sigma_1}, ..., v_{\sigma_{k_1 + k_2}})\)。
\(\sigma\)は\(\sigma_1 \circ \sigma_2 \circ \sigma'\)と表わせる、ここで、\(\sigma'\)は、\(\sigma\)の後に\((\sigma_1, ..., \sigma_{k_1})\)および\((\sigma_{k_1 + 1}, ..., \sigma_{k_1 + k_2})\)を昇順たちに並び替えるパーミュテーション（並び替え）であり、\(\sigma_1\)または\(\sigma_2\)は、\((\sigma'_1, ..., \sigma'_{k_1})\)または\((\sigma'_{k_1 + 1}, ..., \sigma'_{k_1 + k_2})\)をそれぞれ\((\sigma_1, ..., \sigma_{k_1})\)または\((\sigma_{k_1 + 1}, ..., \sigma_{k_1 + k_2})\)へ戻す。
\(\sigma_1\)たちのセット（集合）は、実際上、シンメトリックグループ（対称群）\(S^{k_1}\)である; \(\sigma_2\)たちのセット（集合）は、実際上、シンメトリックグループ（対称群）\(S^{k_2}\)である。
したがって、\(\sigma_1 \circ \sigma_2 \circ \sigma'\)が意味するのは、任意の\(S^{k_1 + k_2}\)要素は、第1に、\((1, ..., k_1 + k_2)\)を\((\sigma'_1, ..., \sigma'_{k_1})\)および\((\sigma'_{k_1 + 1}, ..., \sigma'_{k_1 + k_2})\)が昇順であるように並び替え、次に、\((\sigma'_1, ..., \sigma'_{k_1})\)および\((\sigma'_{k_1 + 1}, ..., \sigma'_{k_1 + k_2})\)を並び替えることである、ということ。
\(sgn \sigma = sgn \sigma_1 sgn \sigma_2 sgn \sigma'\)。
したがって、\(Asym (t_1 \otimes t_2) ((v_1, ..., v_{k_1 + k_2})) = 1 / (k_1 + k_2)! \sum_{\sigma'} sgn \sigma' \sum_{\sigma_1} sgn \sigma_1 \sum_{\sigma_2} sgn \sigma_2 t_1 \otimes t_2 (v_{(\sigma_1 \circ \sigma_2 \circ \sigma')_1}, ..., v_{(\sigma_1 \circ \sigma_2 \circ \sigma')_{k_1 + k_2}}) = 1 / (k_1 + k_2)! \sum_{\sigma'} sgn \sigma' \sum_{\sigma_1} sgn \sigma_1 t_1 (v_{(\sigma_1 \circ \sigma_2 \circ \sigma')_1}, ..., v_{(\sigma_1 \circ \sigma_2 \circ \sigma')_{k_1}}) {k_2}! / {k_2}! \sum_{\sigma_2} sgn \sigma_2 t_2 (v_{(\sigma_1 \circ \sigma_2 \circ \sigma')_{k_1 + 1}}, ..., v_{(\sigma_1 \circ \sigma_2 \circ \sigma')_{k_1 + k_2}})\)。
\((v_{(\sigma_1 \circ \sigma_2 \circ \sigma')_1}, ..., v_{(\sigma_1 \circ \sigma_2 \circ \sigma')_{k_1}}) = (v_{(\sigma_1 \circ \sigma')_1}, ..., v_{(\sigma_1 \circ \sigma')_{k_1}})\)、なぜなら、\(\sigma_2\)は関心事のコンポーネントたちを変更しない; 同様に、\((v_{(\sigma_1 \circ \sigma_2 \circ \sigma')_{k_1 + 1}}, ..., v_{(\sigma_1 \circ \sigma_2 \circ \sigma')_{k_1 + k_2}}) = (v_{(\sigma_2 \circ \sigma')_{k_1 + 1}}, ..., v_{(\sigma_2 \circ \sigma')_{k_1 + k_2}})\)。
したがって、\(Asym (t_1 \otimes t_2) ((v_1, ..., v_{k_1 + k_2})) = 1 / (k_1 + k_2)! \sum_{\sigma'} sgn \sigma' {k_1}! / {k_1}! \sum_{\sigma_1} sgn \sigma_1 t_1 (v_{(\sigma_1 \circ \sigma')_1}, ..., v_{(\sigma_1 \circ \sigma')_{k_1}}) {k_2}! Asym (t_2) (v_{{\sigma'}_{k_1 + 1}}, ..., v_{{\sigma'}_{k_1 + k_2}}) = 1 / (k_1 + k_2)! \sum_{\sigma'} sgn \sigma' {k_1}! Asym (t_1) (v_{{\sigma'}_1}, ..., v_{{\sigma'}_{k_1}}) {k_2}! Asym (t_2) (v_{{\sigma'}_{k_1 + 1}}, ..., v_{{\sigma'}_{k_1 + k_2}})\)。
ステップ3:
\(Asym (Asym (t_1) \otimes t_2)\)を\((v_1, ..., v_{k_1 + k_2})\)に作用させよう。
\(Asym (Asym (t_1) \otimes t_2) (v_1, ..., v_{k_1 + k_2}) = 1 / (k_1 + k_2)! \sum_{\sigma \in S^{k_1 + k_2}} sgn \sigma Asym (t_1) \otimes t_2 (v_{\sigma_1}, ..., v_{\sigma_{k_1 + k_2}})\)。
前と同様に、\(\sigma\)は\(\sigma_1 \circ \sigma_2 \circ \sigma'\)と表現できる。
したがって、\(Asym (Asym (t_1) \otimes t_2) (v_1, ..., v_{k_1 + k_2}) = 1 / (k_1 + k_2)! \sum_{\sigma'} sgn \sigma' \sum_{\sigma_1} sgn \sigma_1 \sum_{\sigma_2} sgn \sigma_2 Asym (t_1) \otimes t_2 (v_{(\sigma_1 \circ \sigma_2 \circ \sigma')_1}, ..., v_{(\sigma_1 \circ \sigma_2 \circ \sigma')_{k_1 + k_2}}) = 1 / (k_1 + k_2)! \sum_{\sigma'} sgn \sigma' \sum_{\sigma_1} sgn \sigma_1 Asym (t_1) (v_{(\sigma_1 \circ \sigma_2 \circ \sigma')_1}, ..., v_{(\sigma_1 \circ \sigma_2 \circ \sigma')_{k_1}}) (k_2)! / (k_2)! \sum_{\sigma_2} sgn \sigma_2 t_2 (v_{(\sigma_1 \circ \sigma_2 \circ \sigma')_{k_1 + 1}}, ..., v_{(\sigma_1 \circ \sigma_2 \circ \sigma')_{k_1 + k_2}})\)。
\(= 1 / (k_1 + k_2)! \sum_{\sigma'} sgn \sigma' \sum_{\sigma_1} sgn \sigma_1 Asym (t_1) (v_{(\sigma_1 \circ \sigma')_1}, ..., v_{(\sigma_1 \circ \sigma')_{k_1}}) (k_2)! / (k_2)! \sum_{\sigma_2} sgn \sigma_2 t_2 (v_{(\sigma_2 \circ \sigma')_{k_1 + 1}}, ..., v_{(\sigma_2 \circ \sigma')_{k_1 + k_2}}) = 1 / (k_1 + k_2)! \sum_{\sigma'} sgn \sigma' \sum_{\sigma_1} sgn \sigma_1 Asym (t_1) (v_{(\sigma_1 \circ \sigma')_1}, ..., v_{(\sigma_1 \circ \sigma')_{k_1}}) (k_2)! Asym (t_2) (v_{{\sigma'}_{k_1 + 1}}, ..., v_{{\sigma'}_{k_1 + k_2}})\)。
\(Asym (t_1) (v_{{\sigma_1 \circ \sigma'}_1}, ..., v_{{\sigma_1 \circ \sigma'}_{k_1}}) = sgn \sigma_1 Asym (t_1) (v_{{\sigma'}_1}, ..., v_{{\sigma'}_{k_1}})\)、なぜなら、\(Asym (t_1)\)はアンチシンメトリック（反対称）である。
したがって、\(= 1 / (k_1 + k_2)! \sum_{\sigma'} sgn \sigma' \sum_{\sigma_1} sgn \sigma_1 sgn \sigma_1 Asym (t_1) (v_{{\sigma'}_1}, ..., v_{{\sigma'}_{k_1}}) (k_2)! Asym (t_2) (v_{{\sigma'}_{k_1 + 1}}, ..., v_{{\sigma'}_{k_1 + k_2}}) = 1 / (k_1 + k_2)! \sum_{\sigma'} sgn \sigma' \sum_{\sigma_1} Asym (t_1) (v_{{\sigma'}_1}, ..., v_{{\sigma'}_{k_1}}) (k_2)! Asym (t_2) (v_{{\sigma'}_{k_1 + 1}}, ..., v_{{\sigma'}_{k_1 + k_2}}) = 1 / (k_1 + k_2)! \sum_{\sigma'} sgn \sigma' (k_1)! Asym (t_1) (v_{{\sigma'}_1}, ..., v_{{\sigma'}_{k_1}}) (k_2)! Asym (t_2) (v_{{\sigma'}_{k_1 + 1}}, ..., v_{{\sigma'}_{k_1 + k_2}})\)。
それは、ステップ2の結果と同じである。
したがって、\(Asym (t_1 \otimes t_2) = Asym (Asym (t_1) \otimes t_2)\)。
ステップ4:
\(Asym (t_1 \otimes Asym (t_2))\)を\((v_1, ..., v_{k_1 + k_2})\)に作用させよう。
\(Asym (t_1 \otimes Asym (t_2)) (v_1, ..., v_{k_1 + k_2}) = 1 / (k_1 + k_2)! \sum_{\sigma \in S^{k_1 + k_2}} sgn \sigma t_1 \otimes Asym (t_2) (v_{\sigma_1}, ..., v_{\sigma_{k_1 + k_2}})\)。
前と同様に、\(\sigma\)は\(\sigma_1 \circ \sigma_2 \circ \sigma'\)と表現できる。
したがって、\(Asym (t_1 \otimes Asym (t_2)) (v_1, ..., v_{k_1 + k_2}) = 1 / (k_1 + k_2)! \sum_{\sigma'} sgn \sigma' \sum_{\sigma_1} sgn \sigma_1 \sum_{\sigma_2} sgn \sigma_2 t_1 \otimes Asym (t_2) (v_{(\sigma_1 \circ \sigma_2 \circ \sigma')_1}, ..., v_{(\sigma_1 \circ \sigma_2 \circ \sigma')_{k_1 + k_2}}) = 1 / (k_1 + k_2)! \sum_{\sigma'} sgn \sigma' \sum_{\sigma_1} sgn \sigma_1 t_1 (v_{(\sigma_1 \circ \sigma_2 \circ \sigma')_1}, ..., v_{(\sigma_1 \circ \sigma_2 \circ \sigma')_{k_1}}) \sum_{\sigma_2} sgn \sigma_2 Asym (t_2) (v_{(\sigma_1 \circ \sigma_2 \circ \sigma')_{k_1 + 1}}, ..., v_{(\sigma_1 \circ \sigma_2 \circ \sigma')_{k_1 + k_2}})\)。
\(= 1 / (k_1 + k_2)! \sum_{\sigma'} sgn \sigma' (k_1)! / (k_1)! \sum_{\sigma_1} sgn \sigma_1 t_1 (v_{(\sigma_1 \circ \sigma')_1}, ..., v_{(\sigma_1 \circ \sigma')_{k_1}}) \sum_{\sigma_2} sgn \sigma_2 Asym (t_2) (v_{(\sigma_2 \circ \sigma')_{k_1 + 1}}, ..., v_{(\sigma_2 \circ \sigma')_{k_1 + k_2}}) = 1 / (k_1 + k_2)! \sum_{\sigma'} sgn \sigma' (k_1)! Asym (t_1) (v_{{\sigma'}_1}, ..., v_{{\sigma'}_{k_1}}) \sum_{\sigma_2} sgn \sigma_2 Asym (t_2) (v_{(\sigma_2 \circ \sigma')_{k_1 + 1}}, ..., v_{(\sigma_2 \circ \sigma')_{k_1 + k_2}})\)。
\(Asym (t_2) (v_{(\sigma_2 \circ \sigma')_{k_1 + 1}}, ..., v_{(\sigma_2 \circ \sigma')_{k_1 + k_2}}) = sgn \sigma_2 Asym (t_2) (v_{{\sigma'}_{k_1 + 1}}, ..., v_{{\sigma'}_{k_1 + k_2}})\)、なぜなら、\(Asym (t_2)\)はアンチシンメトリック（反対称）である。
したがって、\(= 1 / (k_1 + k_2)! \sum_{\sigma'} sgn \sigma' (k_1)! Asym (t_1) (v_{{\sigma'}_1}, ..., v_{{\sigma'}_{k_1}}) \sum_{\sigma_2} sgn \sigma_2 sgn \sigma_2 Asym (t_2) (v_{{\sigma'}_{k_1 + 1}}, ..., v_{{\sigma'}_{k_1 + k_2}}) = 1 / (k_1 + k_2)! \sum_{\sigma'} sgn \sigma' (k_1)! Asym (t_1) (v_{{\sigma'}_1}, ..., v_{{\sigma'}_{k_1}}) \sum_{\sigma_2} Asym (t_2) (v_{{\sigma'}_{k_1 + 1}}, ..., v_{{\sigma'}_{k_1 + k_2}}) = 1 / (k_1 + k_2)! \sum_{\sigma'} sgn \sigma' (k_1)! Asym (t_1) (v_{{\sigma'}_1}, ..., v_{{\sigma'}_{k_1}}) (k_2)! Asym (t_2) (v_{{\sigma'}_{k_1 + 1}}, ..., v_{{\sigma'}_{k_1 + k_2}})\)。
それは、ステップ2の結果と同じである。
したがって、\(Asym (t_1 \otimes t_2) = Asym (t_1 \otimes Asym (t_2))\)。
