\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、に対して、インテリアポイント（内点）は\(r'\)-\(r\)-オープンボール（開球）たちチャートたちペアを持ち、バウンダリーポイント（境界点）はオープンハーフボール（開半球）たちチャートたちペアを持つことの記述/証明
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上のポイントの周りの\(r'\)-\(r\)-オープンボール（開球）たちチャートたちペアの定義を知っている。
- 読者は、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上のポイントの周りの\(r'\)-\(r\)-オープンハーフボール（開半球）たちチャートたちペアの定義を知っている。
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、に対して、任意のポジティブ（正）\(r\)に対して、各インテリアポイント（内点）はある\(r\)-オープンボール（開球）チャートを持ち、各バウンダリーポイント（境界点）はある\(r\)-オープンハーフボール（開半球）チャートを持つという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、に対して、任意のポジティブ（正）\(r'\)および\(r\)に対して、各インテリアポイント（内点）はある\(r'\)-\(r\)-オープンボール（開球）たちチャートたちペアを持ち、各バウンダリーポイント（境界点）はある\(r'\)-\(r\)-オープンハーフボール（開半球）たちチャートたちペアを持つという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(M\): \(\in \{\text{ 全ての } d \text{ -ディメンショナル（次元） } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)
\(m\): \(\in M\)
\(r'\): \(\in \{r'' \in \mathbb{R} \vert 0 \lt r''\}\)
\(r\): \(\in \{r'' \in \mathbb{R} \vert 0 \lt r''\}\)で、\(r \lt r'\)を満たすもの
//
ステートメント（言明）たち:
(
\(m \in \{M \text{ の全てのインテリアポイント（内点）たち }\}\)
\(\implies\)
\(\exists ((B_{m, r'} \subseteq M, \phi_m), (B_{m, r} \subseteq M, \phi_m \vert_{B_{m, r}})) \in \{M \text{ 上の } m \text{ の周りの全ての } r' \text{ - } r \text{ -オープンボール（開球）たちチャートたちペアたち }\}\)
)
\(\land\)
(
\(m \in \{M \text{ の全てのバウンダリーポイント（境界点）たち }\}\)
\(\implies\)
\(\exists ((H_{m, r'} \subseteq M, \phi_m), (H_{m, r} \subseteq M, \phi_m \vert_{H_{m, r}})) \in \{M \text{ 上の } m \text{ の周りの全ての } r' \text{ - } r \text{ -オープンハーフボール（開半球）たちチャートたちペアたち }\}\)
)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(m\)は任意のインテリアポイント（内点）であると仮定し、\(m\)の周りの任意の\(r'\)-オープンボール（開球）チャート\((B_{m, r'} \subseteq M, \phi_m)\)を取る; ステップ2: \(B_{\phi_m (m), r} \subset B_{\phi_m (m), r'}\)を取り、\(B_{m, r} := \phi_m^{-1} (B_{\phi_m (m), r})\)を定義する; ステップ3: \((B_{m, r} \subseteq M, \phi_m \vert_{B_{m, r}})\)は\(m\)の周りのある\(r\)-オープンボール（開球）チャートであることを見る; ステップ4: \(m\)は任意のバウンダリーポイント（境界点）であると仮定し、\(m\)の周りの任意の\(r'\)-オープンハーフボール（開半球）チャート\((H_{m, r'} \subseteq M, \phi_m)\)を取る; ステップ5: \(H_{\phi_m (m), r} \subset H_{\phi_m (m), r'}\)を取り、\(H_{m, r} := \phi_m^{-1} (H_{\phi_m (m), r})\)を定義する; ステップ6: \((H_{m, r} \subseteq M, \phi_m \vert_{H_{m, r}})\)は\(m\)の周りのある\(r\)-オープンハーフボール（開半球）チャートであることを見る。
ステップ1:
\(m\)は任意のインテリアポイント（内点）であると仮定しよう。
\(m\)の周りの任意の\(r'\)-オープンボール（開球）チャート\((B_{m, r'} \subseteq M, \phi_m)\)を取ろう、それは可能である、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、に対して、任意のポジティブ（正）\(r\)に対して、各インテリアポイント（内点）はある\(r\)-オープンボール（開球）チャートを持ち、各バウンダリーポイント（境界点）はある\(r\)-オープンハーフボール（開半球）チャートを持つという命題によって。
ステップ2:
\(B_{\phi_m (m), r} \subset B_{\phi_m (m), r'}\)を取ろう。
\(B_{m, r} := \phi_m^{-1} (B_{\phi_m (m), r}) \subset B_{m, r'}\)を定義しよう。
\(B_{m, r}\)は\(m\)の\(B_{m, r}\)上および\(M\)上におけるオープンネイバーフッド（開近傍）である。
ステップ3:
\((B_{m, r} \subseteq M, \phi_m \vert_{B_{m, r}})\)はチャートである、なぜなら、\(\phi_m \vert_{B_{m, r}}: B_{m, r} \to B_{\phi_m (m), r}\)はホメオモーフィズム（位相同形写像）であり、\((B_{m, r} \subseteq M, \phi_m \vert_{B_{m, r}})\)はより大きな\((B_{m, r'} \subseteq M, \phi_m)\)と\(C^\infty\)コンパチブル（互換）である。
したがって、\((B_{m, r} \subseteq M, \phi_m \vert_{B_{m, r}})\)は、\(m\)の周りの\(r\)-オープンボール（開球）チャートである。
したがって、\(((B_{m, r'} \subseteq M, \phi_m), (B_{m, r} \subseteq M, \phi_m \vert_{B_{m, r}}))\)は、\(m\)の周りの\(r'\)-\(r\)-オープンボール（開球）たちチャートたちペアである。
ステップ4:
\(m\)は任意のバウンダリーポイント（境界点）であると仮定しよう。
\(m\)の周りの任意の\(r'\)-オープンハーフボール（開半球）チャート\((H_{m, r'} \subseteq M, \phi_m)\)を取ろう、それは可能である、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、に対して、任意のポジティブ（正）\(r\)に対して、各インテリアポイント（内点）はある\(r\)-オープンボール（開球）チャートを持ち、各バウンダリーポイント（境界点）はある\(r\)-オープンハーフボール（開半球）チャートを持つという命題によって。
ステップ5:
\(H_{\phi_m (m), r} \subset H_{\phi_m (m), r'}\)を取ろう。
\(H_{m, r} := \phi_m^{-1} (H_{\phi_m (m), r}) \subset H_{m, r'}\)を定義しよう。
\(H_{m, r}\)は\(m\)の\(H_{m, r}\)上および\(M\)上におけるオープンネイバーフッド（開近傍）である。
ステップ6:
\((H_{m, r} \subseteq M, \phi_m \vert_{H_{m, r}})\)はチャートである、なぜなら、\(\phi_m \vert_{H_{m, r}}: H_{m, r} \to H_{\phi_m (m), r}\)はホメオモーフィズム（位相同形写像）であり、\((H_{m, r} \subseteq M, \phi_m \vert_{H_{m, r}})\)はより大きな\((H_{m, r'} \subseteq M, \phi_m)\)と\(C^\infty\)コンパチブル（互換）である。
したがって、\((H_{m, r} \subseteq M, \phi_m \vert_{H_{m, r}})\)は\(m\)の周りの\(r\)-オープンハーフボール（開半球）チャートである。
したがって、\(((H_{m, r'} \subseteq M, \phi_m), (H_{m, r} \subseteq M, \phi_m \vert_{H_{m, r}}))\)は、\(m\)の周りの\(r'\)-\(r\)-オープンハーフボール（開半球）たちチャートたちペアである。
