\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上のポイントの周りの\(r'\)-\(r\)-オープンボール（開球）たちチャートたちペアの定義
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上のポイントの周りの\(r'\)-\(r\)-オープンボール（開球）たちチャートたちペアの定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( M\): \(\in \{\text{ 全ての } d \text{ -ディメンショナル（次元） } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)
\( m\): \(\in M\)
\( r'\): \(\in \{r'' \in \mathbb{R} \vert 0 \lt r''\}\)
\( r\): \(\in \{r'' \in \mathbb{R} \vert 0 \lt r''\}\)で、\(r \lt r'\)を満たすもの
\( (B_{m, r'} \subseteq M, \phi_m)\): \(= \text{ 当該 } r' \text{ -オープンボール（開球）チャート }\)
\( (B_{m, r} \subseteq M, \phi_m \vert_{B_{m, r}})\): \(= \text{ 当該 } r \text{ -オープンボール（開球）チャート }\)で、\(B_{m, r} \subset B_{m, r'}\)を満たすもの
\(*((B_{m, r'} \subseteq M, \phi_m), (B_{m, r} \subseteq M, \phi_m \vert_{B_{m, r}}))\):
//
コンディションたち:
//
\((B_{m, r'} \subseteq M, \phi_m)\)は、"アウター（外側）（オープンボール（開球））チャート"と呼ばれる。
\((B_{m, r} \subseteq M, \phi_m \vert_{B_{m, r}})\)は、"インナー（内側）（オープンボール（開球））チャート"と呼ばれる。
2: 注
\(m\)がバウンダリーポイント（境界点）である時は、\(m\)周りの\(r'\)-\(r\)-オープンボール（開球）たちチャートたちペアはない。
\(m\)がインテリアポイント（内点）である時は、常に、\(m\)周りのある\(r'\)-\(r\)-オープンボール（開球）たちチャートたちペアがある、任意のポジティブ（正）\(r'\)および\(r\)に対して、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、に対して、任意のポジティブ（正）\(r'\)および\(r\)に対して、各インテリアポイント（内点）はある\(r'\)-\(r\)-オープンボール（開球）たちチャートたちペアを持ち、各バウンダリーポイント（境界点）はある\(r'\)-\(r\)-オープンハーフボール（開半球）たちチャートたちペアを持つという命題によって。
ある\(r'\)-\(r\)-オープンボール（開球）たちチャートたちペアが時々有用である理由は、\(\overline{B_{m, r}} \subset B_{m, r'}\)である一方で\(\overline{B_{m, r}}\)は\(B_{m, r'}\)上および\(M\)上でクロージャー（閉包）であり、\(B_{m, r'}\)のおよび\(M\)のコンパクトサブスペース（部分空間）であること。
上記事実を見よう。
\(B_{m, r'}\)上にて、\(\overline{B_{m, r}} = \phi_m^{-1} (\overline{B_{\phi_m (m), r}})\)、任意のトポロジカルスペース（空間）間の任意のコンティニュアス（連続）マップ（写像）に対して、当該コドメイン（余域）の任意のサブセット（部分集合）の当該マップ（写像）プリイメージ（前像）のクロージャー（閉包）は当該サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）のプリイメージ（前像）に等しい、もしも、当該マップ（写像）はオープン（開）である場合、特に、もしも、当該マップ（写像）はサージェクティブ（全射）で当該ドメイン（定義域）の任意のオープンサブセット（開部分集合）は当該コドメイン（余域）のあるオープンサブセット（開部分集合）のプリイメージ（前像）である場合、という命題によって。
\(\overline{B_{\phi_m (m), r}} \subset B_{\phi_m (m), r'}\)から、\(\phi_m^{-1} (\overline{B_{\phi_m (m), r}}) \subset \phi_m^{-1} (B_{\phi_m (m), r'})\)、しかし、左辺は、\(\overline{B_{m, r}}\)であり、右辺は、\(B_{m, r'}\)である。
\(\overline{B_{\phi_m (m), r}}\)は\(B_{\phi_m (m), r'}\)上でコンパクトであるから、\(\overline{B_{m, r}}\)は\(B_{m, r'}\)上でコンパクトである。
\(\overline{B_{m, r}}\)は\(M\)上でコンパクトである、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のサブスペース（部分空間）の任意のコンパクトサブセット（部分集合）はベーススペース（空間）上でコンパクトであるという命題によって。
\(\overline{B_{m, r}}\)は\(M\)上でクローズド（閉）である、任意のハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の各コンパクトサブセット（部分集合）はクローズド（閉）であるという命題によって。
もしも、\(B_{m, r}\)の\(M\)上におけるクロージャー（閉包）が\(\overline{B_{m, r}}\)でなく\(C' \subseteq M\)であった場合、\(C' \subset \overline{B_{m, r}}\)、したがって、\(C' \cap B_{m, r'} \subset \overline{B_{m, r}}\)、しかし、\(C' \cap B_{m, r'}\)は\(B_{m, r'}\)のクローズドサブセット（閉部分集合）であり\(B_{m, r} \subseteq C' \cap B_{m, r'}\)であることになる、したがって、\(\overline{B_{m, r}}\)で\(C' \cap B_{m, r'} \subset \overline{B_{m, r}}\)を満たすものは\(B_{m, r'}\)上におけるクロージャー（閉包）ではないことになる、矛盾、したがって、\(\overline{B_{m, r}}\)は\(M\)上におけるクロージャー（閉包）である。
