リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）を持つものおよび\(2\)個のリニア（線形）にインディペンデント（独立）なユニット（単位）ベクトルたちで角度\(\theta\)を持つものたちに対して、平面上で第1ベクトルから角度\(\theta'\)を持つユニット（単位）ベクトルはこれであることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）で任意のインナープロダクト（内積）を持つものおよび任意の\(2\)個のリニア（線形）にインディペンデント（独立）なユニット（単位）ベクトルたちで任意の角度\(\theta\)を持つものたちに対して、当該平面上で第1ベクトルから角度\(\theta'\)を持つユニット（単位）ベクトルはこれであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(\mathbb{R}\): で、カノニカル（正典）なフィールド（体）ストラクチャー（構造）を持つもの
\(V\): \(\in \{\text{ 全ての } \mathbb{R} \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)で、任意のインナープロダクト（内積）\(\langle \bullet, \bullet \rangle\)を持つもの
\(u_1\): \(\in V\)で、\(\langle u_1, u_1 \rangle = 1\)を満たすもの
\(u_2\): \(\in V\)で、\(\langle u_2, u_2 \rangle = 1\)を満たすもの
\(u\): \(\in V\), \(= c u_1 + d u_2\)で、\(\langle u, u \rangle = 1\)を満たすもの
\(\theta\): \(\in \mathbb{R}\)で、\(0 \lt \theta \lt \pi\)を満たすもの
//
ステートメント（言明）たち:
(
\(\langle u_1, u_2 \rangle = cos \theta\)
\(\land\)
\(\langle u_1, u \rangle = cos \theta'\)、ここで、\(0 \le \theta' \lt 2 \pi\)
\(\land\)
\(\langle u_2, u \rangle = cos (\theta' - \theta)\)
)
\(\implies\)
\(c = cos \theta' - (sin \theta' / sin \theta) cos \theta \land d = sin \theta' / sin \theta\)
//
\(\langle u_2, u \rangle = cos (\theta' - \theta)\)であって\(cos (\theta' + \theta)\)でないということが意味するのは、\(\theta'\)は\(\theta\)と同方向に取られるということに他ならない。
2: 注1
\(V\)のディメンション（次元）は、インフィニティ（無限）を含む任意のものでよい。
言い換えると、\(u\)は、\(u_1\)を\(u_2\)へ向けて\(\theta'\)回転したものである。
任意の\(d\)-ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上では、あるベクトルを"軸"としたある回転は、'\(d - 1\)'-ディメンショナル（次元）回転である; 当該'\(d - 1\)'-ディメンショナル（次元）サブスペース（空間）上では、あるベクトルを"軸"としたある回転は、'\(d - 2\)'-ディメンショナル（次元）回転である; ...; 当該\(3\)-ディメンショナル（次元）サブスペース（部分空間）上では、あるベクトルを"軸"としたある回転は、\(2\)-ディメンショナル（次元）回転である。
したがって、任意の\(d\)-ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上の任意の\(2\)-ディメンショナル（次元）回転は、何らか\(d - 2\)個の軸たちを必要とする。
ある\(d\)-ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のある\(2\)-ディメンショナル（次元）回転のことを考える時、しばしば、\(d - 2\)個の軸たちのことを考えるよりも、単に当該\(2\)-ディメンショナル（次元）サブスペース（部分空間）のことを考えるほうがより単純である。
本命題は、\(u_1\)および\(u_2\)によってスパン（張る）される\(2\)-ディメンショナル（次元）サブスペース（部分空間）のことを考えている。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(u = c u_1 + d u_2\)を\(\langle u_1, u \rangle = cos \theta'\)および\(\langle u, u \rangle = 1\)の中へ入れ、\(c\)および\(d\)に対する候補たちを得る; ステップ2: ユニークな\(c\)および\(d\)を選ぶ。
ステップ1:
\(u = c u_1 + d u_2\)を\(\langle u_1, u \rangle = cos \theta'\)および\(\langle u, u \rangle = 1\)の中へ入れよう。
\(cos \theta' = \langle u_1, c u_1 + d u_2 \rangle = c \langle u_1, u_1 \rangle + d \langle u_1, u_2 \rangle = c + d cos \theta\)。
\(1 = \langle u, u \rangle = \langle c u_1 + d u_2, c u_1 + d u_2 \rangle = c^2 \langle u_1, u_1 \rangle + c d \langle u_1, u_2 \rangle + d c \langle u_2, u_1 \rangle + d^2 \langle u_2, u_2 \rangle = c^2 + 2 c d cos \theta + d^2\)。
\(c = cos \theta' - d cos \theta\)であるから、\(1 = (cos \theta' - d cos \theta)^2 + 2 (cos \theta' - d cos \theta) d cos \theta + d^2 = d^2 (1 + cos^2 \theta - 2 cos^2 \theta) + d (- 2 cos \theta' cos \theta + 2 cos \theta' cos \theta) + cos^2 \theta' = d^2 (1 - cos^2 \theta) + cos^2 \theta' = d^2 sin^2 \theta + cos^2 \theta'\)、したがって、\(d^2 = (1 - cos^2 \theta') / sin^2 \theta = sin^2 \theta' / sin^2 \theta\)（\(sin \theta \neq 0\)、なぜなら、\(0 \lt \theta \lt \pi\)）、したがって、\(d = +- sin \theta' / sin \theta\)。
\(c = cos \theta' -+ (sin \theta' / sin \theta) cos \theta\)。
ステップ2:
ステップ1は候補たちだけを得たところ、\(c\)および\(d\)はユニークに決定されるはずである、なぜなら、\(\theta'\)は\(\theta\)と同方向に取られるよう曖昧さなく指定されているので、\(u\)はユニークに決定されるはずである。
言い換えると、条件\(\langle u_2, u \rangle = cos (\theta' - \theta)\)は、\(c\)および\(d\)をユニークに決定するはずである。
\(\langle u_2, u \rangle = \langle u_2, c u_1 + d u_2 \rangle = c \langle u_2, u_1 \rangle + d \langle u_2, u_2 \rangle = c cos \theta + d = (cos \theta' -+ (sin \theta' / sin \theta) cos \theta) cos \theta +- sin \theta' / sin \theta = cos \theta' cos \theta -+ (sin \theta' / sin \theta) cos^2 \theta +- sin \theta' / sin \theta = cos \theta' cos \theta +- (sin \theta' / sin \theta - (sin \theta' / sin \theta) cos^2 \theta) = cos \theta' cos \theta +- sin \theta' / sin \theta (1 - cos^2 \theta) = cos \theta' cos \theta +- sin \theta' / sin \theta (sin^2 \theta) = cos \theta' cos \theta +- sin \theta' sin \theta\)。
他方では、\(cos (\theta' - \theta) = cos (- \theta) cos \theta' - sin (- \theta) sin \theta' = cos \theta cos \theta' + sin \theta sin \theta'\)。
したがって、\(c = cos \theta' - (sin \theta' / sin \theta) cos \theta\)および\(d = sin \theta' / sin \theta\)が答えである。
4: 注2
特に、\(\theta = \pi / 2\)、それが意味するのは、\((u_1, u_2)\)はオーソノーマル（正規直交）であること、である時、\(c = cos \theta'\)および\(d = sin \theta'\)、そして、\(u = cos \theta' u_1 + sin \theta' u_2\)。
当該\(2\)-ディメンショナル（次元）サブスペース（部分空間）上の任意のベクトルに対して、それは、\(u = r u_1 = r ({u_1}^1 e_1 + {u_1}^2 e_2)\)と表わすことができる、当該サブスペース（部分空間）に対する任意のオーソノーマル（正規直交）ベーシス（基底）\((e_1, e_2)\)に対して。\(u_2\)は\(u_2 = - {u_1}^2 e_1 + {u_1}^1 e_2\)と取って\(u_1\)へオーソノーマル（正規直交）にできる。本命題によって、\(u_1\)は\(\theta'\)回転されて\(cos \theta' u_1 + sin \theta' u_2 = cos \theta' ({u_1}^1 e_1 + {u_1}^2 e_2) + sin \theta' (- {u_1}^2 e_1 + {u_1}^1 e_2) = (cos \theta' {u_1}^1 - sin \theta' {u_1}^2) e_1 + (cos \theta' {u_1}^2 + sin \theta' {u_1}^1) e_2\)になり、\(u\)は\(\theta'\)回転されて\(r ((cos \theta' {u_1}^1 - sin \theta' {u_1}^2) e_1 + (cos \theta' {u_1}^2 + sin \theta' {u_1}^1) e_2) = ((cos \theta' r {u_1}^1 - sin \theta' r {u_1}^2) e_1 + (cos \theta' r {u_1}^2 + sin \theta' r {u_1}^1) e_2)\)になる、それが意味するのは、当該ベーシス（基底）に関するコンポーネントたちに対するトランスフォーメーション（変換）マトリックス（行列）は、\(\begin{pmatrix} cos \theta' & - sin \theta' \\ sin \theta' & cos \theta' \end{pmatrix}\)であるということ。
任意のベクトル\(v \in V\)に対して、\(v = u + v'\)、ここで、\(v'\)は\(e_1\)および\(e_2\)へオーソゴーナル（直交）である、そして、\(v\)は、\(\theta'\)回転されて\(((cos \theta' r {u_1}^1 - sin \theta' r {u_1}^2) e_1 + (cos \theta' r {u_1}^2 + sin \theta' r {u_1}^1) e_2) + v'\)となる。
