\(\mathbb{R}\)上のインターバル（区間）およびその上のコンティニュアス（連続）ファンクション（関数）でそのインテグラル（積分）がファイナイト（有限）なものに対して、ファンクション（関数）を、コンティニュアス（連続）で望むインテグラル（積分）を持つように変えるある方法の記述/証明
話題
About: メジャースペース（測度空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、メジャースペース（測度空間）上のルベーグインテグラル（積分）の定義を知っている。
- 読者は、コンティヌアス（連続）マップ（写像）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、\(\mathbb{R}\)上のインターバル（区間）およびその上のコンティニュアス（連続）ファンクション（関数）でそのインテグラル（積分）がファイナイト（有限）なものに対して、ファンクション（関数）を、コンティニュアス（連続）で望むインテグラル（積分）を持つように変えるある方法はこれであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(\mathbb{R}\): \(= \text{ 当該ユークリディアントポロジカルスペース（空間） }\)
\((I, \sigma, \lambda)\): \(\in \{\mathbb{R} \text{ の全てのインターバル（区間）たち }\}\)で、サブスペース（部分空間）トポロジーを持ち、ボレル\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）およびルベーグメジャー（測度）を持つもの
\(f\): \(: I \to \mathbb{C}\), \(\in \{\text{ 全てのコンティニュアス（連続）ファンクション（関数）たち }\}\)で、\(\int_I f d \mu = c \lt \infty\)を満たすもの
\([x_0, x_1]\): \(\subseteq I\)
\(c'\): \(\in \mathbb{C}\)
\(\delta\): \(= 4 (c' - c) / (x_1 - x_0)^2\)
\(f'\): \(: I \to \mathbb{C}\)、で以下を満たすもの、つまり、\(I \setminus [x_0, x_1]\)上にて\(f' = f\)、\([x_0, (x_0 + x_1) / 2]\)上にて\(f' = f + \delta (x - x_0)\)、\(((x_0 + x_1) / 2, x_1]\)上にて\(f' = f + \delta (x_1 - x)\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f' \in \{\text{ 全てのコンティニュアス（連続）ファンクション（関数）たち }\}\)
\(\land\)
\(\int_I f' d \lambda = c'\)
//
2: 注
勿論、これが唯一の方法なわけではない。
そして、勿論、これは、誰でも多分思い付くいくつかのオプションたちの1つとしてとても自然な方法である、しかし、私たちは、同じ計算を2度もしたくないので、結果をここに記録しておく。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(f'\)はコンティニュアス（連続）であることを見る; ステップ2: \(\int_I f' d \lambda = c'\)であることを見る。
ステップ1:
\(f'\)は本当にコンティニュアス（連続）であることを見よう。
\(I \setminus [x_0, x_1]\)上で、\(f'\)はコンティニュアス（連続）である、なぜなら、\(f' = f\)、そこでは。
\([x_0, (x_0 + x_1) / 2]\)上で、\(f'\)は明らかにコンティニュアス（連続）である。
\(((x_0 + x_1) / 2, x_1]\)上で、\(f'\)は明らかにコンティニュアス（連続）である。
問題は、1) \(x\)が\(x_0\)へ左から接近する時、\(f' (x)\)が\(f' (x_0)\)へ接近するか否か; 2) \(x\)が\((x_0 + x_1) / 2\)へ右から接近する時、\(f' (x)\)が\(f' ((x_0 + x_1) / 2)\)へ接近するか否か; 3) \(x\)が\(x_1\)へ右から接近する時、\(f' (x)\)が\(f' (x_1)\)へ接近するか否か。
1)に対して、\(f' (x_0) = f (x_0) + \delta (x_0 - x_0) = f (x_0)\)、そして、確かに、\(x\)が\(x_0\)へ左から接近する時、\(f' (x)\)は\(f (x_0) = f' (x_0)\)へ接近する。
2)に対して、\(f' ((x_0 + x_1) / 2) = f ((x_0 + x_1) / 2) + \delta ((x_0 + x_1) / 2 - x_0) = f ((x_0 + x_1) / 2) + \delta ((x_1 - x_0) / 2)\)、そして、\(x\)が\((x_0 + x_1) / 2\)へ右から接近する時、\(f' (x)\)は\(f ((x_0 + x_1) / 2) + \delta (x_1 - (x_0 + x_1) / 2) = f ((x_0 + x_1) / 2) + \delta ((x_1 - x_0) / 2) = f' ((x_0 + x_1) / 2)\)へ接近する。
3)に対して、\(f' (x_1) = f (x_1) + \delta (x_1 - x_1) = f (x_1)\)、そして、\(x\)が\(x_1\)へ右から接近する時、\(f' (x)\)は\(f (x_1) = f' (x_1)\)へ接近する。
したがって、\(f'\)はコンティニュアス（連続）である。
ステップ2:
本当に\(\int_I f' d \lambda = c'\)であることを見よう。
\(\int_I f' d \lambda = \int_{I \setminus [x_0, x_1]} f' d \lambda + \int_{[x_0, (x_0 + x_1) / 2]} f' d \lambda + \int_{((x_0 + x_1) / 2, x_1]} f' d \lambda = \int_{I \setminus [x_0, x_1]} f d \lambda + \int_{[x_0, (x_0 + x_1) / 2]} (f + \delta (x - x_0)) d \lambda + \int_{((x_0 + x_1) / 2, x_1]} (f + \delta (x_1 - x)) d \lambda = \int_{I \setminus [x_0, x_1]} f d \lambda + \int_{[x_0, (x_0 + x_1) / 2]} f d \lambda + \int_{((x_0 + x_1) / 2, x_1]} f d \lambda + \int_{[x_0, (x_0 + x_1) / 2]} \delta (x - x_0) d \lambda + \int_{((x_0 + x_1) / 2, x_1]} \delta (x_1 - x) d \lambda = \int_I f d \lambda + \int_{[x_0, (x_0 + x_1) / 2]} \delta (x - x_0) d \lambda + \int_{((x_0 + x_1) / 2, x_1]} \delta (x_1 - x) d \lambda = c + \int_{[x_0, (x_0 + x_1) / 2]} \delta (x - x_0) d \lambda + \int_{((x_0 + x_1) / 2, x_1]} \delta (x_1 - x) d \lambda\)。
\(\int_{[x_0, (x_0 + x_1) / 2]} \delta (x - x_0) d \lambda = \delta [(x - x_0)^2 / 2]^{(x_0 + x_1) / 2}_{x_0} = \delta / 2 ((x_0 + x_1) / 2 - x_0)^2 = \delta / 2 ((x_1 - x_0) / 2)^2 = \delta / 8 (x_1 - x_0)^2\)。
\(\int_{((x_0 + x_1) / 2, x_1]} \delta (x_1 - x) d \lambda = - \delta [(x_1 - x)^2 / 2]^{x_1}_{(x_0 + x_1) / 2} = \delta / 2 (x_1 - ((x_0 + x_1) / 2))^2 = \delta / 2 ((x_1 - x_0) / 2)^2 = \delta / 8 (x_1 - x_0)^2\)。
したがって、\(\int_I f' d \lambda = c + \delta / 8 (x_1 - x_0)^2 + \delta / 8 (x_1 - x_0)^2 = c + \delta / 4 (x_1 - x_0)^2 = c + 4 (c' - c) / (x_1 - x_0)^2 / 4 (x_1 - x_0)^2 = c + (c' - c) = c'\)。
