セパラブル（可分）ヒルベルトスペース（空間）およびサブセット（部分集合）に対して、サブセット（部分集合）によって生成されたサブスペース（部分空間）のクロージャー（閉包）はサブセット（部分集合）のダブルオーソゴーナル（直交）コンプリメント（補）であることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ヒルベルトスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーの定義を知っている。
- 読者は、セパラブル（可分）トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、ベクトルたちスペース（空間）のサブセット（部分集合）によって生成されたベクトルたちサブスペース（部分空間）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）の定義を知っている。
- 読者は、ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）を持つもののサブセット（部分集合）のオーソゴーナル（直交）コンプリメント（補）の定義を知っている。
- 読者は、任意のコンプリート（完備）メトリックスペース（計量付き空間）に対して、任意のクローズド（閉）サブスペース（部分空間）はコンプリート（完備）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のセパラブル（可分）トポロジカルスペース（空間）で任意のメトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）なものに対して、任意のトポロジカルサブスペース（部分空間）はセパラブル（可分）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のセパラブル（可分）ヒルベルトスペース（空間）はあるオーソノーマル（正規直交）シャウダーベーシス（基底）を持つという命題を認めている。
- 読者は、任意のリアル（実）またはコンプレックス（複素）インナープロダクト（内積）付きベクトルたちスペース（空間）に対するコーシー・シュワルツ不等式を認めている。
- 読者は、任意のベクトルたちスペース（空間）で任意のインナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）ノルムによってインデュースト（誘導された）メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーを持つもの、任意のサブスペース（部分空間）に対して、当該サブスペース（部分空間）のクロージャー（閉包）はサブスペース（部分空間）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のセパラブル（可分）ヒルベルトスペース（空間）、任意のオーソノーマル（正規直交）サブセット（部分集合）に対して、当該サブセット（部分集合）はオーソノーマル（正規直交）シャウダーベーシス（基底）であるようにエクスパンド（拡張）できるという命題を認めている。
- 読者は、任意のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）はサブセット（部分集合）とサブセット（部分集合）のアキューミュレーションポイント（集積点）たちセット（集合）のユニオン（和集合）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のセパラブル（可分）ヒルベルトスペース（空間）および任意のサブセット（部分集合）に対して、当該サブセット（部分集合）によって生成されたサブスペース（部分空間）のクロージャー（閉包）は当該サブセット（部分集合）のダブルオーソゴーナル（直交）コンプリメント（補）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}\)で、カノニカル（正典）なフィールド（体）ストラクチャー（構造）を持つもの
\((V', dist)\): \(= \{\text{ 全てのセパラブル（可分）ヒルベルトスペース（空間）たち }\}\)で、任意のインナープロダクト（内積）\(\langle \bullet, \bullet \rangle\)を持ち、\(dist\)によってインデュースト（誘導された）トポロジーを持つもの
\(S\): \(\subseteq V'\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\overline{(S)} = {S^\perp}^\perp\)
//
2: 注
それは、"\(\overline{S} = {S^\perp}^\perp\)"ではない: \(S\)によって生成されたサブスペース（部分空間）が要求される。
例えば、ある単一の\(s\)に対して\(S = \{s\}\)である時、\(\overline{S} = \{s\}\)、それは\({S^\perp}^\perp\)に等しくない: \({S^\perp}^\perp\)はベクトルたちサブスペース（部分空間）であるところ、\(\overline{S}\)はベクトルたちサブスペース（部分空間）でさえない。
勿論、\(S\)は既にベクトルたちサブスペース（部分空間）である時は、\((S) = S\)であり、\(\overline{S} = {S^\perp}^\perp\)が成立する。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(S^\perp = (S)^\perp\)であることを見る; ステップ2: \(V'\)の各クローズドサブスペース（閉部分空間）\(V \subseteq V'\)に対して、\(V = {V^\perp}^\perp\)であることを見る; ステップ3: \({\overline{(S)}}^\perp = {(S)}^\perp\)および\({{\overline{(S)}}^\perp}^\perp = {{(S)}^\perp}^\perp\)であることを見る; ステップ4: 本命題を結論する。
ステップ1:
\(S^\perp = (S)^\perp\)であることを見よう。
\((S) = Span (S)\)、ベクトルたちスペース（空間）のサブセット（部分集合）によって生成されたベクトルたちサブスペース（部分空間）の定義に対する"注"によって。
各\(v \in S^\perp\)に対して、\(v \in (S)^\perp\)、なぜなら、各\(c^1 s_1 + ... + c^n s_n \in (S)\)に対して、\(\langle v, c^1 s_1 + ... + c^n s_n \rangle = \overline{c^1} \langle v, s_1 \rangle + ... + \overline{c^n} \langle v, s_n \rangle = 0 + ... + 0 = 0\)。
各\(v \in (S)^\perp\)に対して、\(v \in S^\perp\)、なぜなら、\(S \subseteq (S)\)。
ステップ2:
\(V'\)の各クローズドサブスペース（閉部分空間）\(V \subseteq V'\)に対して、\(V = {V^\perp}^\perp\)であることを見よう、それは、実のところ、本命題の特殊ケースである、なぜなら、\(\overline{(V)} = V\)、なぜなら、\((V) = V\)、\(V\)は既にベクトルたちサブスペース（部分空間）である、そして、\(\overline{V} = V\)、\(V\)は既にクローズド（閉）であるから。
\(V\)はセパラブル（可分）ヒルベルトスペース（空間）である、任意のコンプリート（完備）メトリックスペース（計量付き空間）に対して、任意のクローズド（閉）サブスペース（部分空間）はコンプリート（完備）であるという命題および任意のセパラブル（可分）トポロジカルスペース（空間）で任意のメトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）なものに対して、任意のトポロジカルサブスペース（部分空間）はセパラブル（可分）であるという命題によって。
\(V\)はあるオーソノーマル（正規直交）シャウダーベーシス（基底）\(B = \{b_1, b_2, ...\}\)を持つ、任意のセパラブル（可分）ヒルベルトスペース（空間）はあるオーソノーマル（正規直交）シャウダーベーシス（基底）を持つという命題によって。
\(V'\)は\(B\)のエクスパンション（拡張）としてあるオーソノーマル（正規直交）シャウダーベーシス（基底）\(B' = \{b'_1, b'_2, ...\}\)を持つ、任意のセパラブル（可分）ヒルベルトスペース（空間）、任意のオーソノーマル（正規直交）サブセット（部分集合）に対して、当該サブセット（部分集合）はオーソノーマル（正規直交）シャウダーベーシス（基底）であるようにエクスパンド（拡張）できるという命題によって。
\(V'\)は、\(\sum_j v'^j b'_j\)として表現できる全ての要素たちのセット（集合）に他ならない: \(V'\)の各要素はそのように表現できる; 各コンバージェント（収束する）\(\sum_j v'^j b'_j\)はコーシーシーケンス（列）である、したがって、当該コンバージェンス（収束ポイント）は\(V'\)内にある、なぜなら、\(V'\)はコンプリート（完備）である。
\(V\)は、\(\sum_j v'^j b'_j\)、ここで、\(B\)要素たちだけが\(b'_j\)たちとして現われる、として表現できる全ての要素たちのセット（集合）に他ならない: 同様に。
\(V^\perp\)は、\(\sum_j v'^j b'_j\)、ここで、\(B' \setminus B\)要素たちだけが\(b'_j\)たちとして現われる、として表現できる全ての要素たちのセット（集合）に他ならない、なぜなら、\(V^\perp\)の各要素は、\(B\)要素を持つことはできず、そういう各\(\sum_j v'^j b'_j\)は\(V^\perp\)内にある。
すると、\({V^\perp}^\perp\)は、\(\sum_j v'^j b'_j\)、ここで、\(B\)要素たちだけが\(b'_j\)たちとして現われる、として表現できる全ての要素たちのセット（集合）に他ならない、なぜなら、\({V^\perp}^\perp\)の各要素は\(B' \setminus B\)要素を持つことはできず、そうした各\(\sum_j v'^j b'_j\)は\({V^\perp}^\perp\)内にある。
したがって、\({V^\perp}^\perp = V\)。
ステップ3:
\({\overline{(S)}}^\perp = {(S)}^\perp\)であることを見よう。
\({\overline{(S)}}^\perp \subseteq {(S)}^\perp\)、なぜなら、\((S) \subseteq \overline{(S)}\)および\({\overline{(S)}}^\perp\)の各要素は\((S)\)（それは、\(\overline{(S)}\)と等しいかそれより小さい）の各要素へパーペンディキュラー（垂直）である。
\(v \in {(S)}^\perp\)を任意のものとしよう。各\(v' \in \overline{(S)}\)に対して、\(\langle v, v' \rangle = 0\)？\(v'\)の周りの各\(\epsilon\)-'オープンボール（開球）'\(B_{v', \epsilon} \subseteq V'\)に対して、ある\(v'' \in B_{v', \epsilon} \cap (S)\)がある、任意のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）はサブセット（部分集合）とサブセット（部分集合）のアキューミュレーションポイント（集積点）たちセット（集合）のユニオン（和集合）であるという命題によって。\(\langle v, v'' \rangle = 0\)。\(\langle v, v' \rangle = \langle v, v' - v'' + v'' \rangle = \langle v, v' - v'' \rangle + \langle v, v'' \rangle = \langle v, v' - v'' \rangle + 0 = \langle v, v' - v'' \rangle \le \Vert v \Vert \Vert v' - v'' \Vert\)、任意のリアル（実）またはコンプレックス（複素）インナープロダクト（内積）付きベクトルたちスペース（空間）に対するコーシー・シュワルツ不等式によって、\(\lt \Vert v \Vert \epsilon\)、しかし、\(\epsilon\)は恣意的であるから、\(\langle v, v' \rangle = 0\)。
したがって、\(v \in {\overline{(S)}}^\perp\)、それが意味するのは、\({(S)}^\perp \subseteq {\overline{(S)}}^\perp\)。
したがって、\({\overline{(S)}}^\perp = {(S)}^\perp\)。
したがって、\({{\overline{(S)}}^\perp}^\perp = {{(S)}^\perp}^\perp\)。
ステップ4:
ステップ2によって、\({{\overline{(S)}}^\perp}^\perp = \overline{(S)}\): \(\overline{(S)}\)はベクトルたちサブスペース（部分空間）である、任意のベクトルたちスペース（空間）で任意のインナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）ノルムによってインデュースト（誘導された）メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーを持つもの、任意のサブスペース（部分空間）に対して、当該サブスペース（部分空間）のクロージャー（閉包）はサブスペース（部分空間）であるという命題によって。
ステップ1によって、\({{(S)}^\perp}^\perp = {S^\perp}^\perp\)。
したがって、\(\overline{(S)} = {S^\perp}^\perp\)。
