ベクトルたちスペース（空間）に対して、非空サブセット（部分集合）はベクトルたちサブスペース（部分空間）である、もしも、サブセット（部分集合）はリニアコンビネーション（線形結合）の下にクローズド（閉じている）である場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、%フィールド（体）名%ベクトルたちスペース（空間）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のベクトルたちスペース（空間）に対して、当該ベクトルたちスペース（空間）の任意の非空サブセット（部分集合）はベクトルたちサブスペース（部分空間）である、もしも、当該サブセット（部分集合）はリニアコンビネーション（線形結合）の下にクローズド（閉じている）である場合、そしてその場合に限って、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
\(V\): \(\in \{\text{ 全ての } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(S\): \(\subseteq V\), \(\neq \emptyset\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(S \in \{V \text{ の全てのベクトルたちサブスペース（部分空間）たち }\}\)
\(\iff\)
\(\forall s_1, s_2 \in S, \forall r_1, r_2 \in F (r_1 s_1 + r_2 s_2 \in S)\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(r_1 s_1 + r_2 s_2 \in S\)であると仮定する; ステップ2: \(S\)は\(V\)のベクトルたちサブスペース（部分空間）であることを見る; ステップ3: \(S\)は\(V\)のベクトルたちサブスペース（部分空間）であると仮定する; ステップ4: \(r_1 s_1 + r_2 s_2 \in S\)であることを見る。
ステップ1:
\(\forall s_1, s_2 \in S, \forall r_1, r_2 \in F (r_1 s_1 + r_2 s_2 \in S)\)であると仮定しよう。
\(S\)はベクトルたちスペース（空間）であるための条件たちを満たしていることを見よう。
1) 任意の要素たち\(s_1, s_2 \in S\)に対して、\(s_1 + s_2 \in S\)（アディション（加法）の下で閉じていること）: \(s_1 + s_2 = 1 s_1 + 1 s_2 \in S\)。
2) 任意の要素たち\(s_1, s_2 \in S\)に対して、\(s_1 + s_2 = s_2 + s_1\)（アディション（加法）のコミュータティビティ（可換性））: それは成立する、なぜなら、それは周囲\(V\)上で成立する。
3) 任意の要素たち\(s_1, s_2, s_3 \in S\)に対して、\((s_1 + s_2) + s_3 = s_1 + (s_2 + s_3)\)（アディション（加法）たちのアソシアティビティ（結合性））: それは成立する、なぜなら、それは周囲\(V\)上で成立する。
4) 以下を満たすある0要素\(0 \in S\)、つまり、任意の\(s \in S\)に対して、\(s + 0 = s\)、がある（0ベクトルの存在）: ある\(s \in S\)がある、なぜなら、\(S \neq \emptyset\)、そして、\(0 = 0 s + 0 s \in S\)、そして、\(s + 0 = s\)、なぜなら、それは周囲\(V\)上で成立する。
5) 任意の要素\(s \in S\)に対して、以下を満たすあるインバース（逆）要素\(s' \in S\)、つまり、\(s' + s = 0\)、がある（インバース（逆）ベクトルの存在）: \(-1 s + 0 s = -1 s \in S\)、そして、\(-1 s + s = 0\)、なぜなら、それは周囲\(V\)上で成立する。
6) 任意の要\(s \in S\)、任意のスカラ\(r \in F\)に対して、\(r . s \in S\)（スカラーマルチプリケーション（乗法）の下で閉じていること）: \(r . s = r . s + 0 . s \in S\)。
7) 任意の要素\(s \in S\)、任意のスカラーたち\(r_1, r_2 \in F\)に対して、\((r_1 + r_2) . s = r_1 . s + r_2 . s\)（スカラーたちアディション（加法）に対するスカラーマルチプリケーション（乗法）ディストリビュータビリティ（分配性））: それは成立する、なぜなら、それは周囲\(V\)上で成立する。
8) 任意の要素たち\(s_1, s_2 \in S\)、任意のスカラー\(r \in F\)に対して、\(r . (s_1 + s_2) = r . s_1 + r . s_2\)（ベクトルたちアディション（加法）に対するスカラーマルチプリケーション（乗法）ディストリビュータビリティ（分配性））: それは成立する、なぜなら、それは周囲\(V\)上で成立する。
9) 任意の要素\(s \in S\)、任意のスカラーたち\(r_1, r_2 \in F\)に対して、\((r_1 r_2) . s = r_1 . (r_2 . s)\)（スカラーマルチプリケーション（乗法）たちのアソシアティビティ（結合性））: それは成立する、なぜなら、それは周囲\(V\)上で成立する。
10) 任意の要素\(s \in S\)に対して、\(1 . s = s\)それは成立する、なぜなら、それは周囲\(V\)上で成立する。
ステップ3:
\(S\)は\(V\)のベクトルたちサブスペース（部分空間）であると仮定しよう。
ステップ4:
\(\forall s_1, s_2 \in S, \forall r_1, r_2 \in F (r_1 s_1 + r_2 s_2 \in S)\)は成立する、なぜなら、ベクトルたちスペース（空間）であるための条件たちがそれを要求する。
