ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）ノルムによってインデュースト（誘導された）メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーを持つものに対して、ベクトルたちスペース（空間）のサブセット（部分集合）のオーソゴーナル（直交）コンプリメント（補）はクローズド（閉）ベクトルたちサブスペース（部分空間）であることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）上のインナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）ノルムの定義を知っている。
- 読者は、リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）上のノルムによってインデュースト（誘導された）メトリック（計量）の定義を知っている。
- 読者は、メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーの定義を知っている。
- 読者は、ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）を持つもののサブセット（部分集合）のオーソゴーナル（直交）コンプリメント（補）の定義を知っている。
- 読者は、任意のベクトルたちスペース（空間）に対して、当該ベクトルたちスペース（空間）の任意の非空サブセット（部分集合）はベクトルたちサブスペース（部分空間）である、もしも、当該サブセット（部分集合）はリニアコンビネーション（線形結合）の下にクローズド（閉じている）である場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。
- 読者は、任意のリアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）で任意のインナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）ノルムによってインデュースト（誘導された）メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーを持つものに対して、任意の1個の引数を固定したインナープロダクト（内積）はコンティニュアス（連続）マップ（写像）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）たちマップ（写像）はコンティニュアス（連続）である、もしも、コドメイン（余域）の任意のクローズドサブセット（閉部分集合）のプリイメージ（前像）がクローズド（閉）である場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のベクトルたちスペース（空間）で任意のインナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）ノルムによってインデュースト（誘導された）メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーを持つものに対して、当該ベクトルたちスペース（空間）の任意のサブセット（部分集合）のオーソゴーナル（直交）コンプリメント（補）はクローズド（閉）ベクトルたちサブスペース（部分空間）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}\)で、カノニカル（正典）フィールド（体）ストラクチャー（構造）を持つもの
\(V\): \(\in \{\text{ 全ての } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)で、任意のインナープロダクト（内積）\(\langle \bullet, \bullet \rangle\)によってインデュースト（誘導された）ノルムによってインデュースト（誘導された）メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーを持つもの
\(S\): \(\subseteq V\)
\(S^\perp\):
//
ステートメント（言明）たち:
\(S^\perp \in \{V \text{ の全てのクローズド（閉）ベクトルたちサブスペース（部分空間）たち }\}\)
//
何のトポロジーも仮定することなく、\(S^\perp\)は\(V\)のベクトルたちサブスペース（部分空間）である、なぜなら、その事実は何のトポロジーも要求しない。
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(S^\perp\)は\(V\)のベクトルたちサブスペース（部分空間）であることを見る; ステップ2: \(S^\perp\)は\(V\)のクローズド（閉）サブセット（部分集合）であることを見る。
ステップ1:
\(S^\perp\)はリニアコンビネーション（線形結合）の下でクローズド（閉じている）であることを見よう。
\(v_1, v_2 \in S^\perp\)および\(r_1, r_2 \in F\)を任意のものとしよう。
各\(s \in S\)に対して、\(\langle r_1 v_1 + r_2 v_2, s \rangle = r_1 \langle v_1, s \rangle + r_2 \langle v_2, s \rangle = 0 + 0 = 0\)、したがって、\(r_1 v_1 + r_2 v_2 \in S^\perp\)。
任意のベクトルたちスペース（空間）に対して、当該ベクトルたちスペース（空間）の任意の非空サブセット（部分集合）はベクトルたちサブスペース（部分空間）である、もしも、当該サブセット（部分集合）はリニアコンビネーション（線形結合）の下にクローズド（閉じている）である場合、そしてその場合に限って、という命題によって、\(S^\perp\)は\(V\)のベクトルたちサブスペース（部分空間）である。
ステップ2:
各\(s \in S\)に対して、マップ（写像）\(f_s: V \to F, v \mapsto \langle v, s \rangle\)はコンティニュアス（連続）である、任意のリアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）で任意のインナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）ノルムによってインデュースト（誘導された）メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーを持つものに対して、任意の1個の引数を固定したインナープロダクト（内積）はコンティニュアス（連続）マップ（写像）であるという命題によって。
\(\{0\} \in F\)はクローズドサブセット（閉部分集合）であるから、\({f_s}^{-1} (\{0\}) \subseteq V\)はクローズドサブセット（閉部分集合）である、任意のトポロジカルスペース（空間）たちマップ（写像）はコンティニュアス（連続）である、もしも、コドメイン（余域）の任意のクローズドサブセット（閉部分集合）のプリイメージ（前像）がクローズド（閉）である場合、そしてその場合に限って、という命題によって。
\(S^\perp = \cap_{s \in S} {f_s}^{-1} (0)\)、なぜなら、各\(v \in S^\perp\)に対して、各\(s \in S\)に対して、\(f_s (v) = 0\)、それが意味するのは、\(v \in {f_s}^{-1} (0)\)、したがって、\(v \in \cap_{s \in S} {f_s}^{-1} (0)\); 各\(v \in \cap_{s \in S} {f_s}^{-1} (0)\)に対して、各\(s \in S\)に対して、\(v \in {f_s}^{-1} (0)\)、それが意味するのは、\(f_s (v) = 0\)、それが意味するのは、\(v \in S^\perp\)。
\(S^\perp\)はクローズド（閉）である、クローズドサブセット（閉部分集合）たちのインターセクション（共通集合）として。
