ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）を持つもののサブセット（部分集合）のオーソゴーナル（直交）コンプリメント（補）の定義
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）を持つもののサブセット（部分集合）のオーソゴーナル（直交）コンプリメント（補）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( F\): \(\in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}\)で、カノニカル（正典）フィールド（体）ストラクチャー（構造）を持つもの
\( V\): \(\in \{\text{ 全ての } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)で、任意のインナープロダクト（内積）\(\langle \bullet, \bullet \rangle\)を持つもの
\( S\): \(\subseteq V\)
\(*S^\perp\): \(= \{v \in V \vert \forall s \in S (\langle v, s \rangle = 0)\}\)
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コンディションたち:
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2: 注
\(S\)はベクトルたちスペース（空間）である必要はない。
しかし、\(S \neq \emptyset\)である時、\(S^\perp = (S)^\perp\)、ここで、\((S) = Span (S)\)（\(S\)によって生成されたベクトルたちサブスペース（部分空間）に対する"注"を参照のこと）。
それは、なぜなら、各\(v \in S^\perp\)に対して、各\(s \in (S)\)に対して、\(\langle v, s \rangle = 0\)、なぜなら、\(s = r^1 s_1 + ... + r^n s_n\)、ここで、\(s_j \in S\)、そして、\(\langle v, s \rangle = \langle v, r^1 s_1 + ... + r^n s_n \rangle = r^1 \langle v, s_1 \rangle + ... + r^n \langle v, s_n \rangle = 0 + ... + 0 = 0\); 各\(v \in (S)^\perp\)に対して、各\(s \in S\)に対して、\(\langle v, s \rangle = 0\)、なぜなら、\(s \in (S)\)。
