ベクトルたちスペース（空間）に対するトップ-コベクトルは、ベクトルたちスペース（空間）に対するオーダード（順序付き）ベーシス（基底）に対する結果によって決定されることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のベクトルたちスペース（空間）に対する任意のトップ-コベクトルは、当該ベクトルたちスペース（空間）に対する任意のオーダード（順序付き）ベーシス（基底）に対する結果によって決定されるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
\(V\): \(\in \{\text{ 全ての } d \text{ -ディメンショナル（次元） } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(\Lambda_d (V: F)\): \(= \text{ 当該トップ-コベクトルたちスペース（空間） }\)
\(t\): \(\in \Lambda_d (V: F)\)
\(t'\): \(\in \Lambda_d (V: F)\)
\((b_1, ..., b_d)\): \(\in \{V \text{ に対する全てのベーシス（基底）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(t (b_1, ..., b_d) = t' (b_1, ..., b_d)\)
\(\implies\)
\(t = t'\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \((v_1, ..., v_d)\)を\(V\)のベクトルたちの任意のセット（集合）とし、\(t (v_1, ..., v_d) = t' (v_1, ..., v_d)\)であることを見る。
ステップ1:
\((v_1, ..., v_d)\)を\(V\)のベクトルたちの任意のセット（集合）とする。
もしも、\(t (v_1, ..., v_d) = t' (v_1, ..., v_d)\)であれば、\(t = t'\)。
そこで、\(t (v_1, ..., v_d) = t' (v_1, ..., v_d)\)であることを見よう。
\(v_j = v^{l_j}_j b_{l_j}\)。
\(t (v_1, ..., v_d) = t (v^{l_1}_1 b_{l_1}, ..., v^{l_d}_d b_{l_d}) = v^{l_1}_1 ... v^{l_d}_d t (b_{l_1}, ..., b_{l_d})\)。
\((b_{l_1}, ..., b_{l_d})\)が\((b_1, ..., b_d)\)からあるパーミュテーション（並べ替え）\(\sigma\)によってできたものである時、\(t (b_{l_1}, ..., b_{l_d}) = sgn \sigma t (b_1, ..., b_d) = sgn \sigma t' (b_1, ..., b_d) = t' (b_{l_1}, ..., b_{l_d})\)。
そうでなければ、\(\{b_{l_1}, ..., b_{l_d}\}\)は互いに異なるのではない、したがって、\(t (b_{l_1}, ..., b_{l_d}) = 0 = t' (b_{l_1}, ..., b_{l_d})\)。
したがって、\(t (v_1, ..., v_d) = v^{l_1}_1 ... v^{l_d}_d t (b_{l_1}, ..., b_{l_d}) = v^{l_1}_1 ... v^{l_d}_d t' (b_{l_1}, ..., b_{l_d}) = t' (v^{l_1}_1 b_{l_1}, ..., v^{l_d}_d b_{l_d}) = t' (v_1, ..., v_d)\)。
したがって、\(t = t'\)。
