\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間ディフェオモーフィズムおよびドメイン（定義域）上方の\(C^\infty\)ベクトルたちフィールド（場）に対して、コドメイン（余域）上方の\(C^\infty\)ベクトルたちフィールド（場）でドメイン（定義域）上方のベクトルたちフィールド（場）にマップ（写像）-リレーテッド（関連付けられた）なユニークなものがあることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、バウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間のディフェオモーフィズムの定義を知っている。
- 読者は、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間\(C^\infty\)マップ（写像）に対するマップ（写像）-リレーテッド（関連付けられた）ベクトルたちフィールド（場）たちペアの定義を知っている。
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間の任意の\(C^\infty\)イマージョンに対して、そのグローバルディファレンシャルは\(C^\infty\)イマージョンであるという命題を認めている。
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）たちで対応するポイントたちにおいて\(C^k\)であるものたち、ここで、\(k\)は\(\infty\)を含む、に対して、コンポジション（合成）はポイントにおいて\(C^k\)であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間任意のディフェオモーフィズムおよび当該ドメイン（定義域）上方の任意の\(C^\infty\)ベクトルたちフィールド（場）に対して、当該コドメイン（余域）上方の\(C^\infty\)ベクトルたちフィールド（場）で当該ドメイン（定義域）上方の当該ベクトルたちフィールド（場）にマップ（写像）-リレーテッド（関連付けられた）なユニークなものがあるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(M_1\): \(\in \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)
\(M_2\): \(\in \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)
\(f\): \(: M_1 \to M_2\), \(\in \{\text{ 全てのディフェオモーフィズムたち }\}\)
\(V_1\): \(\in \{M_1 \text{ 上方の全ての } C^\infty \text{ ベクトルたちフィールド（場）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(! \exists V_2 \in \{M_2 \text{ 上方の全ての } C^\infty \text{ ベクトルたちフィールド（場）たち }\} ((V_1, V_2) \in \{\text{ 全ての } f \text{ -リレーテッド（関連付けられた）ベクトルたちフィールド（場）たちペアたち }\})\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(V_2\)を\(: M_2 \to TM_2, m \mapsto d f_{f^{-1} (m)} V_1 (f^{-1} (m))\)として定義する; ステップ2: \(V_2\)は\(C^\infty\)であることを見る; ステップ3: \(V_2\)はユニークであることを見る。
ステップ1:
\(V_2: M_2 \to TM_2, m \mapsto d f_{f^{-1} (m)} V_1 (f^{-1} (m))\)を定義しよう。
ステップ2:
\(V_2 = d f \circ V_1 \circ f^{-1}\)、ここで、\(d f: TM_1 \to TM_2\)は\(f\)のグローバルディファレンシャル。
\(f^{-1}\)は\(C^\infty\)である、\(V_1\)は\(C^\infty\)である、\(d f\)は\(C^\infty\)である、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間の任意の\(C^\infty\)イマージョンに対して、そのグローバルディファレンシャルは\(C^\infty\)イマージョンであるという命題によって: 任意のディフェオモーフィズムは\(C^\infty\)イマージョンである。
したがって、\(V_2\)は\(C^\infty\)である、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）たちで対応するポイントたちにおいて\(C^k\)であるものたち、ここで、\(k\)は\(\infty\)を含む、に対して、コンポジション（合成）はポイントにおいて\(C^k\)であるという命題によって。
ステップ3:
\(V_2\)はユニークである、なぜなら、各\(m \in M_2\)によって、\(f (f^{-1} (m)) = m\)、したがって、\(V_2 (m) = d f_{f^{-1} (m)} V_1 (f^{-1} (m))\)である以外のオプションはない。
