\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、に対して、\(C^\infty\)フォームたちのウェッジプロダクト（楔積）は\(C^\infty\)フォームであることの記述/証明
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、に対して、任意の\(C^\infty\)フォームたちのウェッジプロダクト（楔積）は\(C^\infty\)フォームであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(M\): \(\in \{\text{ 全ての } d \text{ -ディメンショナル（次元） } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)
\(f_1\): \(: M \to \Lambda_{q_1} (TM)\), \(\in \{\text{ 全ての } C^\infty q_1 \text{ -フォームたち }\}\)
\(f_2\): \(: M \to \Lambda_{q_2} (TM)\), \(\in \{\text{ 全ての } C^\infty q_2 \text{ -フォームたち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f_1 \wedge f_2 \in \{\text{ 全ての } C^\infty (q_1 + q_2) \text{ -フォームたち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: 任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方の任意の\(q\)-フォームは\(C^\infty\)である、もしも、任意の\(C^\infty\)ベクトルたちフィールド（場）たちへのオペレーション結果が\(C^\infty\)である場合、そしてその場合に限って、という命題を適用する。
ステップ1:
\(f_1 \wedge f_2\)が\(: M \to T^0_{q_1} (TM)\)であるとみなされているか\(: M \to \Lambda_{q_1} (TM)\)であるとみなされているかに関わらず、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方の任意の\(q\)-フォームは\(C^\infty\)である、もしも、任意の\(C^\infty\)ベクトルたちフィールド（場）たちへのオペレーション結果が\(C^\infty\)である場合、そしてその場合に限って、という命題を適用することができる。
\(V_1: M \to TM, ..., V_{q_1 + q_2}: M \to TM\)を任意の\(C^\infty\)ベクトルたちフィールド（場）たちとしよう。
\(f_1 \wedge f_2 (V_1, ..., V_{q_1 + q_2}) = (q_1 + q_2)! / ({q_1}! {q_2}!) Asym (f_1 \otimes f_2) (V_1, ..., V_{q_1 + q_2}) = (q_1 + q_2)! / ({q_1}! {q_2}!) 1 / (q_1 + q_2)! \sum_{\sigma} (f_1 \otimes f_2) (V_{\sigma_1}, ..., V_{\sigma_{q_1 + q_2}}) = 1 / ({q_1}! {q_2}!) \sum_{\sigma} (f_1 (V_{\sigma_1}, ..., V_{\sigma_{q_1}}) f_2 (V_{\sigma_{q_1 + 1}}, ..., V_{\sigma_{q_1 + q_2}})\)、しかし、各\(f_1 (V_{\sigma_1}, ..., V_{\sigma_{q_1}})\)および\(f_2 (V_{\sigma_{q_1 + 1}}, ..., V_{\sigma_{q_1 + q_2}})\)は\(C^\infty\)である、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方の任意の\(q\)-フォームは\(C^\infty\)である、もしも、任意の\(C^\infty\)ベクトルたちフィールド（場）たちへのオペレーション結果が\(C^\infty\)である場合、そしてその場合に限って、という命題によって。
したがって、\(f_1 \wedge f_2 (V_1, ..., V_{q_1 + q_2})\)は\(C^\infty\)である。
