\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方の\(q\)-フォームは\(C^\infty\)である、もしも、任意の\(C^\infty\)ベクトルたちフィールド（場）たちへのオペレーション結果が\(C^\infty\)である場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）上方の\(q\)-フォームの定義を知っている。
- 読者は、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上のポイントの周りの\(r'\)-\(r\)-オープンボール（開球）たちチャートたちペアの定義を知っている。
- 読者は、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上のポイントの周りの\(r'\)-\(r\)-オープンハーフボール（開半球）たちチャートたちペアの定義を知っている。
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方の任意の\((0, q)\)-テンソルたちフィールド（場）は\(C^\infty\)である、もしも、任意の\(C^\infty\)ベクトルたちフィールド（場）たちへのオペレーション結果が\(C^\infty\)である場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、に対して、任意のポジティブ（正）\(r'\)および\(r\)に対して、各インテリアポイント（内点）はある\(r'\)-\(r\)-オープンボール（開球）たちチャートたちペアを持ち、各バウンダリーポイント（境界点）はある\(r'\)-\(r\)-オープンハーフボール（開半球）たちチャートたちペアを持つという命題を認めている。
- 読者は、任意の\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）に対して、当該ベーススペース（空間）の任意のクローズドサブセット（閉部分集合）に沿った任意の\(C^\infty\)セクション（断面）は、当該ベーススペース（空間）全体上方へ拡張し、サポートが当該サブセット（部分集合）の任意のオープンネイバーフッド（開近傍）内に包含されるようにできるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方の任意の\(q\)-フォームは\(C^\infty\)である、もしも、任意の\(C^\infty\)ベクトルたちフィールド（場）たちへのオペレーション結果が\(C^\infty\)である場合、そしてその場合に限って、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(M\): \(\in \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)
\(q\): \(\in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)
\((T^0_q (TM), M, \pi)\): \(= M \text{ 上方の } (0, q) \text{ -テンソルたちバンドル（束） }\)
\((\Lambda_q (TM), M, \pi)\): \(= M \text{ 上方の } q \text{ -コベクトルたちバンドル（束） }\)
\(f\): \(: M \to T^0_q (TM)\)で以下を満たすもの、つまり、\(Ran (f) \subseteq \Lambda_q (TM)\)または\(: M \to \Lambda_q (TM)\), \(\in \{\pi \text{ の全てのセクションたち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f \in \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ マップ（写像）たち }\}\)
\(\iff\)
\(\forall V_1, ..., V_q \in \{M \text{ 上方の全ての } C^\infty \text{ ベクトルたちフィールド（場）たち }\} (f (V_1, ..., V_q): M \to \mathbb{R} \in \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ マップ（写像）たち }\})\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(: M \to T^0_q (TM)\)である時、当該命題が制限ことを見る; ステップ2: \(: M \to \Lambda_q (TM)\)であると仮定する; ステップ3: \(f (V_1, ..., V_q) \in \{\text{ the } C^\infty \text{ maps }\}\)であると仮定し、\(f\)は\(C^\infty\)であること見る、各\(m \in M\)の周りにある\(r'\)-\(r\)-オープンボール（開球）たちチャートたちペアまたはある\(r'\)-\(r\)-オープンハーフボール（開半球）たちチャートたちペア\((U'_m \subseteq M, \phi'_m)\)および\((U_m \subseteq M, \phi_m)\)、およびインデュースト（誘導された）チャート\((\pi^{-1} (U_m) \subseteq \Lambda_q (TM), \widetilde{\phi_m})\)を取り、\(f\)のの当該コンポーネントたちファンクション（関数）は\(C^\infty\)であることを見ることによって; ステップ4: \(f\)は\(C^\infty\)であると仮定し、\(f (V_1, ..., V_q)\)は各\(m \in M\)の周りのあるチャート\((U_m \subseteq M, \phi_m)\)上方で\(C^\infty\)であることを見る。
ステップ1:
\(f\)が\(: M \to T^0_q (TM)\)である時は、\(f\)は実際のところ単に特別なタイプの\((0, q)\)-テンソルたちフィールド（場）である、したがって、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方の任意の\((0, q)\)-テンソルたちフィールド（場）は\(C^\infty\)である、もしも、任意の\(C^\infty\)ベクトルたちフィールド（場）たちへのオペレーション結果が\(C^\infty\)である場合、そしてその場合に限って、という命題が適用できる。
ステップ2:
\(f\)は\(: M \to \Lambda_q (TM)\)であると仮定しよう。
ステップ3:
\(f (V_1, ..., V_q) \in \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ マップ（写像）たち }\}\)と仮定しよう。
\(m \in M\)を任意のものとしよう。
\(m\)の周りに任意の\(r'\)-\(r\)-オープンボール（開球）たちチャートたちペアまたは任意の\(r'\)-\(r\)-オープンハーフボール（開半球）たちチャートたちペア\((U'_m \subseteq M, \phi'_m)\)および\((U_m \subseteq M, \phi_m)\)を取ろう、それは可能である、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、に対して、任意のポジティブ（正）\(r'\)および\(r\)に対して、各インテリアポイント（内点）はある\(r'\)-\(r\)-オープンボール（開球）たちチャートたちペアを持ち、各バウンダリーポイント（境界点）はある\(r'\)-\(r\)-オープンハーフボール（開半球）たちチャートたちペアを持つという命題によって、、そして、インデュースト（誘導された）チャート\((\pi^{-1} (U_m) \subseteq \Lambda_q (TM), \widetilde{\phi_m})\)を取ろう。
\(U'_m\)上方の\(V_j = V_j^{l_j} \partial / \partial x^{l_j}\)を\(V_j^{l'_j} \equiv 1\)および\(V_j^{l_j} \equiv 0\)、各\({l_j} \neq l'_j\)に対して、ここで、\(l'_1 \lt ... \lt l'_q\)、と取ろう。\(V_j\)は\(U'_m\)上方で\(C^\infty\)である。\(V_j\)は\(\overline{U_m} \subseteq U'_m\)上方で\(C^\infty\)である。任意の\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）に対して、当該ベーススペース（空間）の任意のクローズドサブセット（閉部分集合）に沿った任意の\(C^\infty\)セクション（断面）は、当該ベーススペース（空間）全体上方へ拡張し、サポートが当該サブセット（部分集合）の任意のオープンネイバーフッド（開近傍）内に包含されるようにできるという命題によって、\(V_j\)は\(M\)上方へエクステンデッド（拡張された）される。当該エクステンデッド（拡張された）\(V_j\)は元の\(V_j\)に\(\overline{U_m}\)上方で、特に\(U_m\)上方で、等しい。
\(m' \in U_m\)は任意のものとしよう。
\(f (m') = \sum_{j_1 \lt ... \lt j_q} f_{j_1, ..., j_q} (m') d x^{j_1} \wedge ... \wedge d x^{j_q}\)。
\(f (m') (V_1, ..., V_q) = \sum_{j_1 \lt ... \lt j_q} f_{j_1, ..., j_q} (m') d x^{j_1} \wedge ... \wedge d x^{j_q} (V_1^{l_1} \partial / \partial x^{l_1}, ..., V_q^{l_q} \partial / \partial x^{l_q}) = \sum_{j_1 \lt ... \lt j_q} f_{j_1, ..., j_q} (m') q! Asym d x^{j_1} \otimes ... \otimes d x^{j_q} (V_1^{l_1} \partial / \partial x^{l_1}, ..., V_q^{l_q} \partial / \partial x^{l_q}) = \sum_{j_1 \lt ... \lt j_q} f_{j_1, ..., j_q} (m') q! 1 / q! \sum_{\sigma \in P_{\{1, ..., q\}}} sgn \sigma d x^{j_1} \otimes ... \otimes d x^{j_q} (V_{\sigma_1}^{l_{\sigma_1}} \partial / \partial x^{l_{\sigma_1}}, ..., V_{\sigma_q}^{l_{\sigma_q}} \partial / \partial x^{l_{\sigma_q}}) = \sum_{j_1 \lt ... \lt j_q} f_{j_1, ..., j_q} (m') \sum_{\sigma \in P_{\{1, ..., q\}}} sgn \sigma d x^{j_1} (V_{\sigma_1}^{l_{\sigma_1}} \partial / \partial x^{l_{\sigma_1}}) ... d x^{j_q} (V_{\sigma_q}^{l_{\sigma_q}} \partial / \partial x^{l_{\sigma_q}}) = \sum_{j_1 \lt ... \lt j_q} f_{j_1, ..., j_q} (m') \sum_{\sigma \in P_{\{1, ..., q\}}} sgn \sigma V_{\sigma_1}^{l_{\sigma_1}} \delta^{j_1}_{l_{\sigma_1}} ... V_{\sigma_q}^{l_{\sigma_q}} \delta^{j_q}_{l_{\sigma_q}} = \sum_{j_1 \lt ... \lt j_q} f_{j_1, ..., j_q} (m') \sum_{\sigma \in P_{\{1, ..., q\}}} sgn \sigma V_{\sigma_1}^{j_1} ... V_{\sigma_q}^{j_q} = \sum_{j_1 \lt ... \lt j_q} f_{j_1, ..., j_q} (m') \sum_{\sigma \in P_{\{1, ..., q\}}} sgn \sigma V_1^{j_{\sigma^{-1} (1)}} ... V_q^{j_{\sigma^{-1} (q)}}\): \(V_{\sigma_1}^{j_1} ... V_{\sigma_q}^{j_q}\)は並び替えられて\(V_1^{m_1} ... V_q^{m_q}\)になる、すると、\(V_{\sigma_n}^{j_n} = V_s^{m_s}\)、それが意味するのは、\(\sigma_n = s\)、したがって、\(n = \sigma^{-1} (s)\)。
\(V_1^{j_{\sigma^{-1} (1)}} ... V_q^{j_{\sigma^{-1} (q)}}\)は\(\sigma = id\)に対してだけ非ゼロであり得る、なぜなら、\(l'_1 \lt ... \lt l'_q\)。
したがって、\(= \sum_{j_1 \lt ... \lt j_q} f_{j_1, ..., j_q} (m') V_1^{j_1} ... V_q^{j_q} = f_{l'_1, ..., l'_q} (m')\)。
\(f (V_1, ..., V_q): U_m \to \mathbb{R}\)は\(C^\infty\)である、当該仮定によって、したがって、\(f_{l'_1, ..., l'_q}: U_m \to \mathbb{R}\)は\(C^\infty\)である。
したがって、各\(f_{j_1, ..., j_q}\)は\(U_m\)上方で\(C^\infty\)である、それが意味するのは、\(f\)の\((U_m \subseteq M, \phi_m)\)および\((\pi^{-1} (U_m) \subseteq \Lambda_q (TM), \widetilde{\phi_m})\)に関するコンポーネントたちファンクション（関数）\(\widetilde{\phi_m} \circ f \circ {\phi_m}^{-1}\)、そのコンポーネントたちは\(f_{j_1, ..., j_q} \circ {\phi_m}^{-1}\)たちである、は\(C^\infty\)であるということ。
したがって、\(f\)は\(C^\infty\)である。
ステップ4:
\(f\)は\(C^\infty\)であると仮定しよう。
\(m \in M\)を任意のものとしよう。
\(m\)の周りの任意のチャート\((U_m \subseteq M, \phi_m)\)およびインデュースト（誘導された）チャート\((\pi^{-1} (U_m) \subseteq \Lambda_q (TM), \widetilde{\phi_m})\)を取ろう。
\(U_m\)上方にて、\(f = f_{j_1, ..., j_q} d x^{j_1} \wedge... \wedge d x^{j_q}\)、ここで、\(f_{j_1, ..., j_q}: U_m \to \mathbb{R}\)は\(C^\infty\)である、なぜなら、それは\(\widetilde{\phi_m} \circ f \circ {\phi_m}^{-1} \circ \phi_m\)のコンポーネントである、その一方で、\(f\)の\((U_m \subseteq M, \phi_m)\)および\((\pi^{-1} (U_m) \subseteq \Lambda_q (TM), \widetilde{\phi_m})\)に関するコンポーネントたちファンクション（関数）\(\widetilde{\phi_m} \circ f \circ {\phi_m}^{-1}\)は\(C^\infty\)であり\(\phi_m\)は\(C^\infty\)である。
\(V_j = V_j^{l_j} \partial / \partial x^{l_j}\)、ここで、\(V_j^{l_j}: U_m \to \mathbb{R}\)は\(C^\infty\)である。
\(f (V_1, ..., V_q) = \sum_{j_1 \lt ... \lt j_q} f_{j_1, ..., j_q} d x^{j_1} \wedge ... \wedge d x^{j_q} (V_1^{l_1} \partial / \partial x^{l_1}, ..., V_q^{l_q} \partial / \partial x^{l_q}) = \sum_{j_1 \lt ... \lt j_q} f_{j_1, ..., j_q} (m') \sum_{\sigma \in P_{\{1, ..., q\}}} sgn \sigma V_{\sigma_1}^{j_1} ... V_{\sigma_q}^{j_q}\)、前と同様、それは、\(C^\infty\)である。
各\(m \in M\)のあるネイバーフッド（近傍）上方で\(f (V_1, ..., V_q)\)は\(C^\infty\)であるから、\(f (V_1, ..., V_q)\)は\(M\)上方で\(C^\infty\)である。
