2025年6月1日日曜日

1148: コミュータティブ(可換)リング(環)に対して、マトリックス(行列)のトランスポーズ(転置)のインバース(逆)はマトリックス(行列)のインバース(逆)のトランスポーズ(転置)である

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コミュータティブ(可換)リング(環)に対して、マトリックス(行列)のトランスポーズ(転置)のインバース(逆)はマトリックス(行列)のインバース(逆)のトランスポーズ(転置)であることの記述/証明

話題


About: マトリックス(行列)たちスペース(空間)

この記事の目次


開始コンテキスト



ターゲットコンテキスト



  • 読者は、任意のコミュータティブ(可換)リング(環)に対して、任意のインバーティブル(可逆)マトリックス(行列)のトランスポーズ(転置)のインバース(逆)は当該マトリックス(行列)のインバース(逆)のトランスポーズ(転置)であるという命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。


本体


1: 構造化された記述


ここに'構造化された記述'のルールたちがある

エンティティ(実体)たち:
\(R\): \(\in \{\text{ 全てのコミュータティブ(可換)リング(環)たち }\}\)
\(M\): \(\in \{\text{ 全ての } m \times m \text{ インバーティブル(可逆) } R \text{ マトリックス(行列)たち } \}\)
//

ステートメント(言明)たち:
\({M^t}^{-1} = {M^{-1}}^t\)
//


2: 証明


全体戦略: ステップ1: \({M^{-1}}^t M^t = I\)であることを見、\({M^t M^{-1}}^t = I\)であることを見る。

ステップ1:

\({M^{-1}}^t M^t = (M M^{-1})^t\)、任意のコミュータティブ(可換)リング(環)に対して、任意のマトリックス(行列)たちのプロダクト(積)のトランスポーズ(転置)は、当該構成要素たちのトランスポーズ(転置)たちの逆順によるプロダクト(積)であるという命題によって、\(= I^t = I\)。

\({M^t M^{-1}}^t = (M^{-1} M)^t\)、任意のコミュータティブ(可換)リング(環)に対して、任意のマトリックス(行列)たちのプロダクト(積)のトランスポーズ(転置)は、当該構成要素たちのトランスポーズ(転置)たちの逆順によるプロダクト(積)であるという命題によって、\(= I^t = I\)。

それが意味するのは、\({M^t}^{-1} = {M^{-1}}^t\)。


参考資料


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