コミュータティブ(可換)リング(環)に対して、マトリックス(行列)のトランスポーズ(転置)のインバース(逆)はマトリックス(行列)のインバース(逆)のトランスポーズ(転置)であることの記述/証明
話題
About: マトリックス(行列)たちスペース(空間)
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のコミュータティブ(可換)リング(環)に対して、任意のインバーティブル(可逆)マトリックス(行列)のトランスポーズ(転置)のインバース(逆)は当該マトリックス(行列)のインバース(逆)のトランスポーズ(転置)であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ(実体)たち:
\(R\): \(\in \{\text{ 全てのコミュータティブ(可換)リング(環)たち }\}\)
\(M\): \(\in \{\text{ 全ての } m \times m \text{ インバーティブル(可逆) } R \text{ マトリックス(行列)たち } \}\)
//
ステートメント(言明)たち:
\({M^t}^{-1} = {M^{-1}}^t\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \({M^{-1}}^t M^t = I\)であることを見、\({M^t M^{-1}}^t = I\)であることを見る。
ステップ1:
\({M^{-1}}^t M^t = (M M^{-1})^t\)、任意のコミュータティブ(可換)リング(環)に対して、任意のマトリックス(行列)たちのプロダクト(積)のトランスポーズ(転置)は、当該構成要素たちのトランスポーズ(転置)たちの逆順によるプロダクト(積)であるという命題によって、\(= I^t = I\)。
\({M^t M^{-1}}^t = (M^{-1} M)^t\)、任意のコミュータティブ(可換)リング(環)に対して、任意のマトリックス(行列)たちのプロダクト(積)のトランスポーズ(転置)は、当該構成要素たちのトランスポーズ(転置)たちの逆順によるプロダクト(積)であるという命題によって、\(= I^t = I\)。
それが意味するのは、\({M^t}^{-1} = {M^{-1}}^t\)。