コミュータティブ（可換）リング（環）に対して、マトリックス（行列）のトランスポーズ（転置）のインバース（逆）はマトリックス（行列）のインバース（逆）のトランスポーズ（転置）であることの記述/証明
話題
About: マトリックス（行列）たちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のコミュータティブ（可換）リング（環）に対して、任意のインバーティブル（可逆）マトリックス（行列）のトランスポーズ（転置）のインバース（逆）は当該マトリックス（行列）のインバース（逆）のトランスポーズ（転置）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(R\): \(\in \{\text{ 全てのコミュータティブ（可換）リング（環）たち }\}\)
\(M\): \(\in \{\text{ 全ての } m \times m \text{ インバーティブル（可逆） } R \text{ マトリックス（行列）たち } \}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\({M^t}^{-1} = {M^{-1}}^t\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \({M^{-1}}^t M^t = I\)であることを見、\({M^t M^{-1}}^t = I\)であることを見る。
ステップ1:
\({M^{-1}}^t M^t = (M M^{-1})^t\)、任意のコミュータティブ（可換）リング（環）に対して、任意のマトリックス（行列）たちのプロダクト（積）のトランスポーズ（転置）は、当該構成要素たちのトランスポーズ（転置）たちの逆順によるプロダクト（積）であるという命題によって、\(= I^t = I\)。
\({M^t M^{-1}}^t = (M^{-1} M)^t\)、任意のコミュータティブ（可換）リング（環）に対して、任意のマトリックス（行列）たちのプロダクト（積）のトランスポーズ（転置）は、当該構成要素たちのトランスポーズ（転置）たちの逆順によるプロダクト（積）であるという命題によって、\(= I^t = I\)。
それが意味するのは、\({M^t}^{-1} = {M^{-1}}^t\)。
