ノンディジェネレート（非縮退）エルミートマトリックス（行列）の定義
話題
About: マトリックス（行列）たちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、エルミートマトリックス（行列）の定義を知っている。
- 読者は、コンプレックス（複素）マトリックス（行列）のエルミートコンジュゲート（共役）の定義を知っている。
- 読者は、ベクトルたちスペース（空間）のコベクトルたち（デュアル）スペース（空間）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、ノンディジェネレート（非縮退）エルミートマトリックス（行列）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(*M\): \(\in \{\text{ 全ての } n \times n \text{ エルミートマトリックス（行列）たち }\}\)
//
コンディションたち:
\(\forall v \in \{\text{ 全ての } n \times 1 \text{ コンプレックス（複素）マトリックス（行列）たち }\}\)
(
\(\forall w \in \{\text{ 全ての } n \times 1 \text{ コンプレックス（複素）マトリックス（行列）たち }\} (w^* M v = 0) \implies v = 0\)
)
//
条件、\(\forall v \in \{\text{ 全ての } n \times 1 \text{ コンプレックス（複素）マトリックス（行列）たち }\} \text{ で以下を満たすもの、つまり、 } v \neq 0 (\exists w \in \{\text{ 全ての } n \times 1 \text{ コンプレックス（複素）マトリックス（行列）たち }\} (w^* M v \neq 0))\)、は等価な条件である（"第1代替条件"と呼ばれる）、"注"内で見られるとおり。
条件、\(f: \mathbb{C}^n \to {\mathbb{C}^n}^*, v \mapsto (w \mapsto v^* M w)\)、ここで、\({\mathbb{C}^n}^*\)は\(\mathbb{C}^n\)のコベクトルたちスペース（空間）\(L (\mathbb{C}^n: \mathbb{C})\)、は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である、は等価な条件である（"第2代替条件"と呼ばれる）、"注"内で見られるとおり。
条件、\(M\)はダイアゴナライズ（対角化）して全てのダイアゴナル（対角）コンポーネントたちが非ゼロであるようにできる、あるユニタリマトリックス（行列）でもって、は等価な条件である（"第3代替条件"と呼ばれる）、"注"内で見られるとおり。
2: 注
第1代替条件は等価な条件であることを見よう。
本定義の条件を仮定しよう。
\(v \neq 0\)を任意のものとしよう。
もしも、\(w^* M v \neq 0\)である\(w\)がなかったら、各\(w\)に対して、\(w^* M v = 0\)、それは\(v = 0\)を含意することになる、矛盾。
したがって、ある\(w\)がある。
第1代替条件を仮定しよう。
\(v\)を任意のものとしよう。
各\(w\)に対して\(w^* M v = 0\)であると仮定しよう。
もしも、\(v \neq 0\)であったら、\(w^* M v \neq 0\)を満たすある\(w\)があることになる、各\(w\)に対して\(w^* M v = 0\)であることに反する矛盾。
したがって、\(v = 0\)。
第2代替条件が等価な条件であることを見よう。
第1に、\(f (v)\)は本当に\({\mathbb{C}^n}^*\)内にあることを見よう。
各\(w \in \mathbb{C}^n\)に対して、\(f (v) (w) = v^* M w \in \mathbb{C}\)。各\(w, w' \in \mathbb{C}^n\)および各\(r, r' \in \mathbb{C}\)に対して、\(f (v) (r w + r' w') = v^* M (r w + r' w') = r v^* M w + r' v^* M w' = r f (v) (w) + r' f (v) (w')\)、それが意味するのは、\(f (v)\)はマルチリニアマップ（多重線形写像）であるということ。
したがって、\(f (v) \in {\mathbb{C}^n}^*\)。
本定義の条件を仮定しよう。
\(f\)はリニア（線形）であることを見よう。
\(f (r v + r' v') (w) = (r v + r' v')^* M w = r v^* M w + r' v'^* M w = r f (v) (w) + r' f (v') (w) = (r f (v) + r' f (v')) (w)\)、それが含意するのは、\(f (r v + r' v') = r f (v) + r' f (v')\)。
\(f\)はインジェクティブ（単射）であることを見よう。
\(v, v' \in \mathbb{C}^n\)を\(v \neq v'\)を満たす任意のものたちとしよう。
\(f (v) = f (v')\)であると仮定しよう。各\(w \in \mathbb{C}^n\)に対して、\(f (v) (w) - f (v') (w) = 0\)、\(f (v - v') (w) = (v - v')^* M w = 0\)、したがって、\(((v - v')^* M w)^* = 0^* = 0\)、しかし、左辺は\(w^* M^* (v - v') = w^* M (v - v')\)である、したがって、\(w^* M (v - v') = 0\)、それが含意するのは、\(v - v' = 0\)、したがって、\(v = v'\)、矛盾。
したがって、\(f\)はインジェクティブ（単射）である。
したがって、\(f\)は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である、任意の同一ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たち間の任意のリニア（線形）インジェクション（単射）は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題によって: 任意のコベクトルたちスペース（空間）は元のスペース（空間）と同一ディメンショナル（次元）であると知られている。
第2代替条件を仮定しよう。
\(v \in \mathbb{C}^n\)を\(v \neq 0\)を満たす任意のものとしよう。
以下を満たすある\(w \in \mathbb{C}^n\)、つまり、\(v^* M w \neq 0\)、がある、なぜなら、\(f\)はインジェクティブ（単射）であるから、\(f (v) \neq f (0)\)、それが意味するのは、以下を満たすある\(w\)、つまり、\(f (v) (w) \neq 0\)、がある（そうでなければ、\(f (v) = f (0)\)）、そして、\(f (v) (w) = v^* M w \neq 0\)、したがって、\((v^* M w)^* \neq 0^* = 0\)、しかし、左辺は、\(w^* M^* v = w^* M v\)、したがって、\(w^* M v \neq 0\)。
したがって、第1代替条件は満たされている、それが含意するのは、本定義の条件は満たされているということ。
第3代替条件は等価な条件であることを見よう。
注意として、任意のエルミートマトリックス（行列）\(M\)はあるユニタリマトリックス（行列）\(U\)によって\(U^* M U\)としてダイアゴナライズ（対角化）してダイアゴナル（対角）コンポーネントたちが全てリアル（実）であるようにできる。問題は、ゼロダイアゴナル（対角）コンポーネントがないということを確かめることである。
本定義の条件を仮定しよう。
\(w^* M v = w^* {U^*}^{-1} U^* M U U^{-1} v = w^* {U^{-1}}^* (U^* M U) U^{-1} v\)、任意のインバーティブル（可逆）コンプレックス（複素）マトリックス（行列）に対して、当該マトリックス（行列）のエルミートコンジュゲート（共役）のインバース（逆）は当該マトリックス（行列）のインバース（逆）のエルミートコンジュゲート（共役）であるという命題によって、\(= (U^{-1} w)^* (U^* M U) U^{-1} v\)、任意のコンプレックス（複素）マトリックス（行列）たちのプロダクト（積）のエルミートコンジュゲート（共役）は、当該構成要素たちのエルミートコンジュゲート（共役）たちの逆順によるプロダクト（積）であるという命題によって。
もしも、\(U^* M U\)があるゼロコンポーネントを持っていたら、ある非ゼロ\(v' := U^{-1} v\)を\(U^* M U U^{-1} v = 0\)を満たすように選択できる（\(U^{-1} v\)の対応するコンポーネントだけを非ゼロとしよう）、そして、\((U^{-1} w)^* (U^* M U) U^{-1} v = 0\)、各\(w' := U^{-1} w\)に対して; しかし、\(v = U v'\)は非ゼロだということになる、なぜなら、\(U\)はユニタリであった、そして、\(w^* M v = (U^{-1} w)^* (U^* M U) U^{-1} v\)は\(0\)であることになる、各\(w\)に対して、矛盾。
したがって、\(U^* M U\)はゼロコンポーネントを持てない。
第3代替条件を仮定しよう。
前と同様、\(w^* M v = (U^{-1} w)^* (U^* M U) U^{-1} v\)。
各\(w \in \mathbb{C}^n\)に対して\(w^* M v = 0\)であると仮定しよう。
\(w^* M v = (U^{-1} w)^* (U^* M U) U^{-1} v = 0\)、そして、\(U^{-1} w\)を\((U^{-1} w)^* (U^* M U)\)の\(j\)-番目コンポーネントだけが非ゼロ であるように選べる（\(U^{-1} w\)の対応するコンポーネントだけが非ゼロであるようにする）、それが含意するのは、\(U^{-1} v\)の\(j\)-番目コンポーネントは\(0\)であるということ、したがって、\(U^{-1} v = 0\)、したがって、\(v = 0\)。
したがって、本定義の条件は満たされている。
