ハウスドルフトポロジカルスペース（空間）のサブスペース（部分空間）はハウスドルフであることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、トポロジカルサブスペース（部分空間）の定義を知っている。
- 読者は、ハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の任意のサブスペース（部分空間）はハウスドルフであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T'\): \(\in \{\text{ 全てのハウスドルフトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(T\): \(\subseteq T'\)でサブスペース（部分空間）トポロジーを持つもの
//
ステートメント（言明）たち:
\(T \in \{\text{ 全てのハウスドルフトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: 任意の\(t_1, t_2 \in T\)で\(t_1 \neq t_2\)を満たすものたちおよび\(t_1, t_2\)の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）たち\(U'_{t_1}, U'_{t_2} \subseteq T'\)、つまり、\(U'_{t_1} \cap U'_{t_2} = \emptyset\)、を取る; ステップ2: \(U'_{t_1} \cap T, U'_{t_2} \cap T \subseteq T\)は\(t_1\)および\(t_2\)のオープンネイバーフッド（開近傍）たちであり、\((U'_{t_1} \cap T) \cap (U'_{t_2} \cap T) = \emptyset\)であることを見る。
ステップ1:
\(t_1, t_2 \in T\)を\(t_1 \neq t_2\)を満たす任意のものたちとしよう。
\(t_1\)および\(t_2\)の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）たち\(U'_{t_1}, U'_{t_2} \subseteq T'\)、つまり、\(U'_{t_1} \cap U'_{t_2} = \emptyset\)、がある。
ステップ2:
\(U'_{t_1} \cap T \subseteq T\)は\(t_1\)のオープンネイバーフッド（開近傍）である、なぜなら、それは、\(T\)上でオープン（開）であり、\(t_1 \in U'_{t_1} \cap T\)。
\(U'_{t_2} \cap T \subseteq T\)は\(t_2\)のオープンネイバーフッド（開近傍）である、同様に。
\((U'_{t_1} \cap T) \cap (U'_{t_2} \cap T) = \emptyset\)、なぜなら、\((U'_{t_1} \cap T) \cap (U'_{t_2} \cap T) \subseteq U'_{t_1} \cap U'_{t_2} = \emptyset\)。
したがって、\(T\)はハウスドルフである。
