\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、に対して、2個のチャートたちのインターセクション（共通集合）上にて、'コーディネート（座標）たちのトランジション（遷移）たちのコンポジション（合成）のパーシャルデリバティブ（偏微分）に対するチェイン（鎖）ルールのように見える'ルールが成立することの記述/証明
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、に対して、2個の任意のチャートたちのインターセクション（共通集合）上にて、'コーディネート（座標）たちのトランジション（遷移）たちのコンポジション（合成）のパーシャルデリバティブ（偏微分）に対するチェイン（鎖）ルールのように見える'ルールが成立するという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(M\): \(\in \{\text{ 全ての } d \text{ -ディメンショナル（次元） } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)
\((U \subseteq M, \phi)\): \(\in \{\text{ 全てのチャートたち }\}\)
\((U' \subseteq M, \phi')\): \(\in \{\text{ 全てのチャートたち }\}\)
\(m\): \(\in U \cap U'\)
\(\{\partial / \partial x^j \vert_m \vert j \in \{1, ..., d\}\}\): \(= T_mM \text{ に対する } U \text{ に関するスタンダード（標準）ベーシス（基底） }\)
\(\{\partial / \partial x'^j \vert_m \vert j \in \{1, ..., d\}\}\): \(= T_mM \text{ に対する } U' \text{ に関するスタンダード（標準）ベーシス（基底） }\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\partial x^j / \partial x^l = \partial x^j / \partial x'^m \partial x'^m / \partial x^l = \delta^j_l\)
//
2: 注
それは、紛らわしくも、\(x \mapsto x' \mapsto x\)のパーシャルデリバティブ（偏微分）のチェイン（鎖）ルールのように見えるが、\(\partial / \partial x^l\)も、\(\partial / \partial x'^m\)も、\(\partial / \partial x^l\)もパーシャルデリバティブ（偏微分）ではない。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(\partial x^j / \partial x^l = \partial_l (\phi^j \circ {\phi}^{-1})\)であることを見る; ステップ2: チェイン（鎖）ルールを\(\partial_l (\phi^j \circ {\phi}^{-1}) = \partial_l (\phi^j \circ {\phi'}^{-1} \circ \phi' \circ {\phi}^{-1})\)に適用する。
ステップ1:
\(x^j\)はファンクション（関数）\(: U \to \mathbb{R}\)、\(= \phi^j\)である。
\(\partial x^j / \partial x^l = \partial / \partial x^l (x^j) = \partial_l (\phi^j \circ {\phi}^{-1})\)、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上のポイントにおけるタンジェント（接）ベクトルたちスペース（空間）に対するチャートに関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）の定義によって。
\(= \delta^j_l\)。
ステップ2:
\(\phi (U \cap U')\)上にて、\(\phi^j \circ {\phi}^{-1}: \phi (U \cap U') \to \mathbb{R} = \phi^j \circ ({\phi'}^{-1} \circ \phi') \circ {\phi}^{-1} = (\phi^j \circ {\phi'}^{-1}) \circ (\phi' \circ {\phi}^{-1}): \phi (U \cap U') \to \phi' (U \cap U') \to \mathbb{R}\)。
それにチェイン（鎖）ルールを適用して、\(\partial_l (\phi^j \circ {\phi}^{-1}) = \partial_l ((\phi^j \circ {\phi'}^{-1}) \circ (\phi' \circ {\phi}^{-1})) = \partial_m (\phi^j \circ {\phi'}^{-1}) \partial_l (\phi'^m \circ {\phi}^{-1}) = \partial / \partial x'^m (x^j) \partial / \partial x^l (x'^m) = \partial x^j / \partial x'^m \partial x'^m / \partial x^l\)、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上のポイントにおけるタンジェント（接）ベクトルたちスペース（空間）に対するチャートに関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）の定義によって。
したがって、\(\partial x^j / \partial x^l = \partial x^j / \partial x'^m \partial x'^m / \partial x^l\)。
